数学思想方法的重大突破

数学思想方法的最大突破一、数学思想方法的重大突破之从算术到代数【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。

历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。

算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系。

算术是代数的基础，代数由算术演进而来。

从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破。

一、代数学产生的历史必然性代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数。

初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。

从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础。

我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。

算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。

算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以相象。

在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。

算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算。

也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。

许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的。

算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。

对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，在列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行。

特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的。

算术自身运算的局限性，不仅限制了数学的应用，而且也影响和束缚了数学自身的继续发展。

随着数学自身和社会实践的深入发展，算术解题法的局限性日益暴露出来，于是一种新的解题法-代数解题法的产生也就成为历史的必然。

代数解题法的基本思想是，首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。

初等代数的中心内容是解方程，因而通常把初等代数理解为解方程的科学。

初等代数与算术的根本区别，在于前者允许把未知数作为运算的对象，后者则把未知数排斥在运算之外。

如果说在算术中也论及某个未知数的话，那么，这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用，只能单独地处在等式的左边，静等等式右边的算式完成对具体数字的演算。

也就是说，在算术中，未知数没有参加运算的权利。

而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位，即未知数也变成了运算的对象，和已知数一样，它们可以参与各种运算，并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边。

解方程的过程，实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，已知数置于等式的另一边。

从这种意义上看，算术运算不过是代数运算的特殊情况，代数运算是算术运算的发展和推广。

由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性，因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围，许多算术无能为力的问题，在代数中却能轻而易举地得到解决。

不仅如此，代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关。

例如，对二次方程的求解，导致虚数的发现;对五次以上方程的求解，导致群论的诞生;把代数应用于几何问题，导致解析几何的创立等等。

正因为如此，我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志。

二、代数学体系结构的形成“代数”一词，原意是指“解方程的科学”。

因此，最初的代数学也就是初等代数。

初等代数，作为一门独立的数学分支学科，其形成经历了一个漫长的历史过程，我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志。

从历史上看，它大体上经过了三个不同的阶段：文词代数，即用文字语言来表述运算对象和过程;简字代数，即用简化了的文词来表示运算内容和步骤;符号代数，即普遍使用抽象的字母符号。

从文词代数演进到符号代数的过程，也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程。

在这个过程中，17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献。

他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人，他提出和使用的许多符号，同现代的写法基本一致。

随着数学的发展和社会实践的深化，代数学的研究对象不断得到扩大，其思想方法不断得到创新，代数学也就由低级形态演进到高级形态，由初等代数发展到高等代数。

高等代数有着丰富的内容和众多的分支学科，其中最基本的分支学科有如下几个。

线性代数：讨论线性方程（一次方程）的代数部分，其重要工具是行列式和矩阵。

多项式代数：主要借助多项式的性质来讨论代数方程的根的计算和分布，包括整除性理论、最大公因式、因式分解定理、重因式等内容。

群论：研究群的性质的代数学分支学科，属于抽象代数的一个领域。

群是带有一种运算的抽象代数系统。

群的概念是19世纪初由法国青年数学家伽罗华最先提出的，伽罗华由此成为群论的创立者。

群论发展到现在，已经获得丰富的内容和广泛的应用。

环论：研究环的性质的代数学分支学科，是正在发展着的一个抽象代数领域。

环是带有二种运算的抽象代数系统，有许多独特的性质。

一种特殊的环称为域，如果域的元素是数，则称为数域。

以域的概念为基础，形成了抽象代数学的另一个领域-域论。

布尔代数：也称二值代数、逻辑代数或开关代数，是带有三种运算的抽象代数系统。

由英国数学家布尔于19世纪40年代创立。

近几十年来，布尔代数在线路设计、自动化系统和电子计算机设计方面得到广泛应用。

此外，还有格论、李代数和同调代数等分支学科。

高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别。

初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而高等代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数系统。

因此，高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，这就使高等代数的应用范围更加广泛。

向抽象性和普遍性方向发展，是现代代数学的一个重要特征。

二、数学思想方法的重大突破之从综合几何到几何代数化【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。

历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。

几何学和代数学一样，也是数学中最基础而最古老的分支学科之一。

几何学经过漫长的历史发展，其思想方法发生了一系列重大的变革。

在这些变革中，起决定性的第一个重大变革，则是从综合几何到几何代数化的历史演进。

一、几何代数化思想的由来数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。

在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。

可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。

这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。

我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。

那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。

因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。

由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。

这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。

随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。

正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。

尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。

这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。

历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。

他尝试用代数方法来解决几何作图问题，并隐约出现了用方程表示曲线的思想。

他指出，几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出，所以它们实质上属于代数的运算。

随着代数方法向几何学的渗透，代数方法的普遍性优点日益表露出来，于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了。

实现代数与几何有机结合的关键，在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来。

这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。

笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想，他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性，为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。

1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。

1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题。

此书的问世，标志着解析几何的诞生。

与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马，也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。

他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。

解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来。

而坐标本身就是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此它具有形与数的二重性。

有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。

例如，求两点间的距离，如果两点的坐标(x1，y1)和(x2，y2) 何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题。

再如，求两条曲线的交点，这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定，那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。

随着解析几何的发展，几何代数的内容和方法不断得到丰富。

1704年，牛顿运用坐标方法研究了三次曲线，1748年，欧拉在《分析引论》一书中全面而系统地论述了平面解析几何的理论;1788年，拉格朗日又把力、速度和加速度给予了算术化，由此开创了解析几何中的向量理论研究方向。