(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点⎝⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A (－2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的上方)，l 2与椭圆交于M ，N 两点(点M 在点N 的上方)，若直线l 1的斜率为－17，S △MAP ＝2534S △NAQ ，求直线l 2的斜率．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2＋34b 2＝1，2b 2a ＝13，解得a ＝6，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2＝1. (2)由题设可知：直线l 1的方程为x ＝－7y －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 2＝1，x ＝－7y －2，整理得85y 2＋28y －32＝0.y P ＝817，y Q ＝－45.∴|AQ ||AP |＝|y Q ||y P |＝45817＝1710. 设∠MAP ＝∠QAN ＝θ，∵S △MAP ＝2534S △NAQ ， ∴12|AM ||AP |sin θ＝2534×12|AN ||AQ |sin θ， 即|AM ||AN |＝2534×|AQ ||AP |＝2534×1710＝54. 设直线l 2的方程为x ＝my －2(m ≠0)，将x ＝my －2代入x 236＋y 2＝1， 得(m 2＋36)y 2－4my －32＝0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋36，y 1y 2＝－32m 2＋36. 又∵y 1＝－54y 2， ∴－54y 2＋y 2＝4m m 2＋36，－54y 22＝－32m 2＋36， ∴y 2＝－16m m 2＋36，y 22＝1285()m 2＋36， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－16m m 2＋362＝1285(m 2＋36)， 解得m 2＝4，∴m ＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l 2的斜率为±12. 2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24， 所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π. 3．(2018·湘潭模拟)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0是抛物线C ：x 2＝2py ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12上一点，且A 到C 的焦点的距离为58. (1)求抛物线C 的方程；(2)若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：y ＝2x ＋9y 0上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：|AM |2|AN |＝|EF |. (1)解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2py 0＝14，y 0＋p 2＝58，∴18p ＋p 2＝58， ∵p >12，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明 由(1)知，y 0＝18，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2y ，y ＝2x ＋98，得4x 2－16x －9＝0，解得x 1＝－12，x 2＝92， ∴|EF |＝1＋22⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5 5. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22⎝⎛⎭⎪⎫m ≠－12且m ≠92， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上， 则|AM |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 由题意可知直线PN 的方程为y －m 22＝－12(x －m )， 与y ＝2x ＋98联立可得x N ＝15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94， 所以|AN |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94＋12 ＝55⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122， 则|AM |2|AN |＝55，故|AM |2|AN |＝|EF |. 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a ,0)，B (a ,0)，k 1＝ba ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3， 由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0， 因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．(ⅰ)若MB →＝AN →，求k 的值；(ⅱ)若点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2， 又离心率为22，所以ca ＝22，即a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b ×2c ＝2，即bc ＝2，b 2c 2＝4，以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(ⅰ)解 直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y得， (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)，由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以QA →·QB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1)，＝(1＋k 2)2k 2－41＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－74－k 24k 21＋2k 2＋k 2＋4916，＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916，＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516，为定值， 所以QA →·QB →为定值．。
