第八章 空间解析几何与向量代数
1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。 解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。
xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；
yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；
zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；
x A P ⊥0轴，
垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。
2．过()0000,,z y x P 分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解：过0P 且平行于z 轴的直线上的点有相同的横坐标0x 和相同的纵坐标0y ，过0P 且平行于xoy 面的平面π上的点，有相同的立标0z 。
3．在空间直角坐标系下，设点()1,3,2-P 关于x 0轴的对称点为1P ，
P 关于xoz 平面的对称点为2P ，关于原点O 的对称点为3P ，求1P 、2P 、3P 。
解：1P 为()1,3,2-，2P 为()1,3,2，3P 为()1,3,2--。
4．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。 解：设所求点为(),,,0z y P 则
()()2
222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，
()()2
2215||-+-=z y PC 。
由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，
于是有：()()()()()()()()
⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222
1522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。
5．已知()
2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。 解：由题设知：{}{}
,2,1,120,23,2121--=---=M M 则
()()
,22
112
22=-
++-=
21c o s -=α，21cos =β，2
2cos -=γ，
于是，32πα=
，3πβ=，4
3πγ=。 6．分别求出向量k j i a ++=，k j i b 532+-=及k j i c 22+--=的模，并分别用单位向量 a ， b ， c 表示向量，，。
解：3111||22
2=++=，
=，38532||222
=++==，()()3212||2
22=+-+-=
c ， c 3=。
7．已知ABC ∆的三个顶点为()2,3,3A ，()1,2,1B ，()0,4,2C ，求角B 的大小。 解：引入向量和：
{}{}1,1,212,23,13=---=BA ，{}{}1,2,110,24,12-=---=BC 则()()
2
1
121112112112cos 2
22222=
-++⋅++-⨯+⨯+⨯=
=∠B 故3
π
=
∠B 。
9．求以()3,2,1A ，()5,4,3B ，()7,2,1--C 为顶点的三角形的面积S 。
解：由向量的定义，可知三角形的面积为AC AB S ⨯=
2
1
，因为{}2,2,2=，{}4,4,2--=AC ，所以
{}4,12,164
4222
2
--=--=
⨯k
j i
AC AB ，
于是， ()().69242162
14
422
222
1
2
22=-+-+=
--=k j i S 10．求与向量{}1,0,2=a ，{}2,1,1-=b 都垂直的单位向量。 解：由向量积的定义可各，若c b a =⨯，则c 同时垂直于a 和b ，且
k
j i
232
11
10
2
--=-=⨯=，
因此，与⨯=平行的单位向量有两个：
()()
()b a c c 2314
1
23123|
||
|2
2
2
--=
-+-+--=
⨯==
和
().2314
1
c ++-=
- 11．求与坐标原点O 及点()4,3,2的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
解：设满足题设条件的点为()z y x ,,，依题意有
()()().2
14322
222
22=-+-+-++z y x z y x 化简整理得
()9116341322
2
2
=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x 。 它表示以⎪⎭⎫ ⎝⎛---34,1,3
2
为球心2932为半径的球面。
