抽屉原理与容斥原理

有人说：13个人中至少有两个人出生在相同月份；又说：某校一个年级的400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日，你认为他的说法对吗？你能说明为什么对或为什么不对吗？
1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。

这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。

但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。

以上问题就是数学中的一类与存在性有关的问题。

解决以上这几个问题，要用到数学中的抽屉原理。

我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。

用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n为正整数）。

这就是抽屉原理，也称为鸽笼（巢）原理。

这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。

抽屉原理还有另外的常用形式：
抽屉原理2：把m个元素任意放入个集合里，则一定有一个集合里至少有k个元素，其中：
<<<12345678&&&抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

现在你能肯定前面的两种说法是正确的吗？你能说明这两种说法是正确的吗？
利用抽屉原理，可以解决一些相当复杂甚至感到无从下手的问题，抽屉原理也是解决存在性问题的常用方法。

例1. 在1，4，7，10，&，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。

分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55&&，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。

解：1，4，7，10，&&，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，&&， {49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则
有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。

试一试：从2，5，8，11，&&，101中任取20个数，其中必有两对数，它们的和为106。

例2. 任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。

解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。

任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。

<<<12345678&&&例3. 在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8。

解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4。

把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。

显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。

反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。

我们知道。

将正方形分成面积均为1/4的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是1/4，但这样构造抽屉不能证到结论。

可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。

<<<12345678&&&试一试：在边长为1的等边三角形中有10个点，证明其中必有两个点之间的距离不大于1/4。

例4. 有一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点上分别填上从1到496中的一个整数（可以重复）。

证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

分析：由于结果与直径两端的和有关，因此考虑直径两端数的和共有从1+1到496+496的991种情况，可以将这991种情况作为991个抽屉，而直径两端的和共有993个数，由抽屉原理，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。

证明：因为直径两端的和从2到992共有991种不同的结果，993条直径两端的和共有993个数，由抽屉原理可知，一定存在两条直径，它们的两端数的和相等。

试一试：圆桌周围均匀地放了10个座位，桌边上放有10位客人的名字。

当客人随意入座后，发现没有一个人对着自己的名字，试证明，可以转动圆桌，使得至少有两位客人同时对着自己的名字。

应该注意的是用抽屉原理解决问题，只能证明具有某种性质的对象的存在性，却不一定能具体指出这些对象是谁。

一般来说，题目中不会明确什么是抽屉，有几个抽屉，确定抽屉是用抽屉原理解题时需要做的工作。

以上讨论了抽屉原理以及它的一些应用，我们来看下面一类计数问题：
某班50名学生，在第一次测验中26人满分，在第二次测验中21人满分，如果两次测验中都没得到满分的学生有17人，那么两次测验中都获得满分的人数是_____________。

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，也叫做包含排除原理。

<<<12345678&&&容斥原理1
如果被计数的事物有a、b两类，那么，a类或b类元素个数=a类元素个数+b类元素个数一既是a类又是b类的元素个数。

例5. 从1到200中能被3或5整除的整数共有_____________个。

分析与解：依题意，被计数的事物有能被3整除和能被5整除两类，把能被3整除称为a类元素，能被5整除称为b类元素，能被3整除又能被5整除称为既是a类又是b类元素，
a类元素的个数=(200/3)=66
b类元素的个数=(200/5)=40
既是a类又是b类元素的个数200/15=13 所以，由容斥原理知，从1到200中能被3或5整除的整数的个数=66+40-13=93。

试一试：一次测试，某班有15人语文得满分，有12人数学得满分，并且有4人语文、数学都是满分，那么这个班至少有一门得满分的有多少人？
例6. 某班50名学生，在第一次测验中26人满分，在第二次测验中21人满分，如果两次测验中都没得到满分的学生有17人，那么，两次测验中都获得满分的人数是___________。

分析与解：依题意，被计数的事物有两类：第一次测验得满分和第二次测验得满分。

把第一次测验得满分称为a类元素，第二次测验得满分称为b类元素，两次测验都得满分称为既是a类又是b类元素。

因为两次测验都没有得满分的学生有17人，所以，两次测验中至少有一次得满分的学生有人，即a类或b类元素的个数是33。

又a类元素个数=26，b类元素个
数=21，根据容斥原理，
既是a类又是b类的元素个数=a类元素个数+b类元素个数－a类或b类元素的个数=26+21－33=14。

即两次测验中都获得满分的人数是14。

容斥原理2
如果被计数的事物有a、b、c三类，那么，a类或b类或c类元素个数=a类元素个数+b 类元素个数+c类元素个数－既是a类又是b类的元素个数－既是a类又是c类的元素个数－既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数。

例7. 某次考试，某班语文成绩优秀的有28人，数学成绩优秀的有32人，英语成绩优秀的有34人，语文、数学成绩都是优秀的有22人，语文、英语成绩都是优秀的有24人，数学、英语成绩都是优秀的有25人，语文、数学、英语成绩都达到优秀的有18人，那么，该班语文、数学、英语三科中至少有一科成绩是优秀的有几人？
分析与解：依题意，被计数的事物有语文成绩优秀、数学成绩优秀、英语成绩优秀三类，把语文成绩优秀称为a 类元素，数学成绩优秀称为b类元素，英语成绩优秀称为c类元素，语文和数学成绩都是优秀称为既是a类又是b类的元素，语文和英语成绩都是优秀称为既是a类又是c类的元素，数学和英语成绩都是优秀称为既是b类又是c类的元素，语文、数学、英语三科成绩都是优秀称为既是a类又是b类而且是c类的元素，语文、数学、英语三科中至少有一科成绩是优秀称为a类或b类或c类的元素。

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