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先权两部件离散时间温贮备可修系统

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仇 玑 （１）
式中：Ｑ１＝ｑ１口十夕ｌＵｌ，Ｑ２－－－－－ｑ１＂１２２＋户１Ｕ１
２系统的瞬时（稳态）可用度
为求得系统的稳态可用度，先求系统的瞬时可 用度，设时刻ｋ系统状态的概率分布向量：Ｐ（愚）一 （Ｐｏ（愚），．．・，Ｐ６（惫）），则有
Ｐ｛Ｘｔ一志）＝户，口｝～，Ｐｔ＋ｑ；；１；贮备失效维修时间 ｙ２、工作失效维修时间磊分别为Ｐ｛Ｙ２＝ｋ）＝
彬～，乱＋ｖ＝ｌ和Ｐ｛Ｚｉ＝足｝－＇一－Ｕ刃｝～，Ｕｆ＋＂０ｉ＝１，其
中ｉ－－＿１，２；忌＝１，２，…，且所有参数都大于零． 假定４设故障部件可修复如新；在ｔ＝Ｏ时，两 个部件均完好，部件１先开始工作． 令Ｘ（是）为系统在时刻ｋ所处的状态，则系统的 可能状态如下：
Ｇ（ｓ）＝Ｐ（０）（Ｉ—ｎ）一１ 令矩阵日＝Ｊ—Ａ，即
ｔ时刻，部件１在工作，部件２因贮备故障在 ｔ时刻，部件１在工作，部件２因工作故障在
ｔ时刻，部件２在工作，部件ｌ因工作故障在 ｔ时刻，部件１因工作故障在修理，部件２发 ｔ时刻，部件２因贮备故障在修理，部件１发 其中
修理，系统正常工作；
２
修理，系统正常工作；
‘，卜１
Ｉ）
Ｐ｛Ｘ２＝ｋ）一÷・（寺）
ｏ ＾
３系统首次故障前平均时间
为求系统的首次故障前的平均时间，先不加证 明的引用如下结果： 引理１［９３
ｏ卜１
，
Ｐ｛Ｚ２＝ｋ）＝号・（号）
， １
１卜ｌ
厶
Ｐ｛Ｙ２＝忌）＝告・（去）
厶
设Ｄ（５）＝∑ｄ．ｓ“，…＜１，若
利用式（１～３）得到该系统的稳态可靠度：Ａ≈１．２６９， 系统首次故障前平均时间：ＭＴ］曙下ｌ≈３８．７７１．， 通过算例说明，该系统的可靠度并不是部件１ 和２的工作寿命的简单相加，但可以得到一些具体 的可靠性指标的计算值，比参数为连续型的模型更 适合于工程应用．
可靠性指标——系统的稳态可用度及系统的首次故障前平均工作时间．
关键词：优先权；离散时间；温贮备系统；Ｍａｒｋｏｖ过程；可靠性指标 中图分类号：０２１１．６；ＴＢｌｌ４ 文献标识码：Ａ
Ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ－ｔｉｍｅ ｗａｒｍ－ｆｕｎｄ ｍａｉｎｔａｉｎａｂｌｅ ｓｙｓｔｅｍ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｐｒｉｏｒｉｔｙ ＤＵＡＮ Ｈｏｎｇ－ｘｉｎ９１，ＺＨＡＮＧ Ｍｉｎ－ｙｕｅ２，ＢＡＯ Ｌｉｎ－ｔａ０３，ＺＨＵ Ｊｕｎ－ｑｉａｎ９４
ｓｕｂｊｅｃｔ
ｔｏ
ｗａｓ
ｅｓ－
ｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅ Ｍａｒｋｏｖ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄ Ｉ。Ｓ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｕｓｅｄ
ｔｏ
ｄｅｒｉｖｅ
ｓｏｍｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｄｅｃｉｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｏｄｅｌ－ｓｙｓｔｅｍ ｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅ ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｍｅａｎ ｔｉｍｅ－ｐｅ—
７３３００４，Ｃｈｉｎａ；４．ｘｉ’ａｎ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ａｃａｄｅｍｙ，Ｘｉ’ｆｌｉｔ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｒｅｌｉａｂｌｅ ｓｗｉｔｃｈ，ｔｈｅ ｗａｒｍ－ｆｕｎｄ ｓｙｓｔｅｍ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｐｒｉｏｒｉｔｙ ａｎｄ
ｄ。≥ｏ且ｌ髀Ｄ（ｓ）＝ｄ≤∞，则∑ｄ。一ｚ
再令状态４、５、６为吸收态，构造成新的Ｍ’－链
｛Ｘ（忌），ｋ＝ｌ，２，…），即将状态转移概率矩阵Ａ中的 元素为刀ｔ的项改为１，并且把系统处于各个正常状 态之间的转移概率记为矩阵Ｂ：
４结论
在以往的可靠性研究中，人们主要以连续型为
ｆＰｌＵｌ
ｑｌｕ２
ｑｌ
０ ｏ
Ｐｌｖｌ］
工作也不能被修好．对于这类随机现象，文献［５～７］
提出用几何过程维修模型研究这类可修系统． 为了维护系统更高性能的运作，要求对系统中 的一些部件进行优先维护，研究得到该类问题：该类 问题是在开关完全可靠的情况下，对２个有不同优
先权的不同型部件，其工作寿命、修理时间均服从几
何分布，建立离散时间温贮备Ｍａｒｋｏｖ可修模型，并 推导出相应的可靠性指标．
万 方数据
第６期
段红星等：有优先权两部件离散时间温贮备可修系统 蛳
比
１模型的假设与分析
假定ｌ系统由２个不同型部件和１个修理设 备组成，部件１比部件２有优先权（即部件１有优先 使用权和优先修理权），当故障的部件１被修理好 时，部件２正在工作，则部件ｌ立即进入工作状态， 部件２暂停工作而进入温贮备状态；当部件１发生 故障时，若部件２正在修理，则部件２暂停修理而进 入待修状态，修理设备立即修理部件１；部件间的转 换是通过完全可靠的转换开关在瞬间转换完成． 假定２在同一瞬间两个部件都故障的概率可 以忽略不计． 假定３ 设第ｉ个部件的工作时间Ｘ；服从
３
Ｇ（５）２高‘日０，…，Ｈ６／。
（３）
修理，系统正常工作；
４
ｌＨｌ＝（１－－ｓ）（Ｈｏ—Ｈ１＋Ｈ２一Ｈ３＋日４一Ｈ５＋Ｈ６）
生工作故障在等待修理修理，系统失效；
５
日０一一也二噍旦寻皴安地
日３＝一ｓｐｌ＂０１ Ｈｏ／（１～．蹿ｚｖａ）
ｓｑｌ
Ｌｌ一跚１）
生故障，即部件１开始修理，部件２开始等待修理， 系统失效；
（６）
［２］段红星，包林涛．两部件温贮备可修系统的可靠性分析［Ｊ］．甘 肃科学学报，２００７，１９（２）：５８－６０．
第３５卷第６期
２００９年１２月
兰州理工大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ＶｏＬ ３５
Ｎｏ．６
Ｄｅｅ．２００９
文章编号：１６７３—５１９６（２００９）０６－０１４４－０３
有优先权两部件离散时问温贮备可修系统
段红星１，张民悦２，包林涛３，朱军强４
６
Ｈｓ—ｓｐｌ＂０１Ｈ１／（１—５＂０１＇） Ｈｌ＝一凹１（１一删１）２（１一ｓｑ２＂０１）［（１一鄹１）（１一
ｓｑｌ铆）一ｓｐｌ“ｌｊ
ｔ时刻，部件２因工作故障在修理，部件１发
生故障，即部件１开始修理，部件２开始等待修理， 系统失效； 易知，状态４、５、６的时刻不是系统的再生点，其 状态空间为Ｅ＝｛０，１，２，３，４，５，６），工作状态为Ｗ一 ｛０，１，２，３），故障状态为Ｆ＝｛４，５，６），且易验证 （Ｘ（忌），ｋ一１，２，…）构成一齐次离散时间的马尔可 夫链． 令Ｐｉ（忌）一Ｐ（Ｘ（愚）一歹｝，歹∈Ｅ，表示在时刻ｋ 系统处于状态歹的概率．由齐次离散时间的Ｍ—链， 可得出各状态之间的一步转移概率矩阵：
Ｍａｒｋｏｖ可修系统，得到一些可靠性指标．文献Ｅ３］ 在连续时间内，分析由有不同优先权的２个不同型 部件组成的温贮备可修系统，得到一些模糊可靠性 指标．文献［４］研究由２个不同型部件组成的，开关
寿命为连续型随机变量的温贮备可修系统．在此基
础上，考虑在实际对系统进行定期的检验、维修过程 中发现，系统维修后的逐次工作时间越来越短，而系 统故障后的逐次维修时间越来越长，该系统既不能
Ｈ６＝ｓｐｌ口１Ｈ２／（１一跚１） Ｈ２＝一ｓ３ＰｌＰ２口１Ｕｌ（１一鲫１）［（１一册１）（１一田ｌ口）一 ｓｐｌ“１］
Ｈ４＝ｓ２Ｐ１Ｐ２口１Ｈｏ／［（１一田２口１）（１一册１）］
又因为系统的瞬时可用度为
Ａ（矗）一∑Ｐｊ（志）＝Ｐ。（志）＋Ｐ１强）＋
Ｐ２（忌）＋Ｐ３（忌），
利用式（３），对上式进行ＬＳ反演求极限后得到
（１．南京师范大学泰州学院，江苏泰州２２５３００；２．兰州理工大学理学院，甘肃兰州７３００５０；３．６８３０３部队，甘肃武威７３３００４；４．西 安陆军学院，陕西西安７１０１０８）
摘要：在开关完全可靠的情况下，研究由两个不同型、有优先权的部件和一个修理设备组成的温贮备系统，建立在 部件工作寿命和修理时间均服从几何分布的可修模型，并利用Ｍａｒｋｏｖ过程、母函数、ＬＳ变换推导出该模型的一些
于部件的寿命，对上述系统，文献［１］讨论在连续时 间内２个不同型部件组成，工作部件的工作寿命以 及修理时间服从一般时问分布的温贮备可修系统．
文献［２］讨论在开关完全可靠的情况下，针对由有优 先权的２不同型部件和１个修理设备组成的温贮备
收稿日期：２００９－０３－０６ 基金项目：甘肃省自然科学基金（３Ｚ．Ｓ０４２一Ｂ９５－０１６） 作者简介：段红星（１９８１一），女，河北邯郸人，硕士．
ｏ ０ ｑｚｖｌ
Ｂ—Ｉ仇“９１升Ａ蛳
０ ０
ｑｌ＂０２＋ｐｘＵｌ
，０
Ｉ
Ｊ
研究对象，但不便于工程计算应用．在现实生活中，
修理工人不可能随时随地检测系统的部件是否正 常，他们经常是定期的去检查部件，发现部件失效后
Ｉ
（５）
【ｑ２ｕｔ
才对其进行维修，也就是说部件的寿命是离散的．因
此，有必要研究离散型的可修系统． 本文讨论部件的工作寿命以及维修时间都服从 几何分布的情况，几何分布的好处是在离散时间里 它具有无记忆性，从而可以应用Ｍａｒｋｏｖ过程的性 质来降低问题的复杂程度，且比以参数为连续型的 可修模型更具有工程应用价值．但在现实生活中，部 件的寿命并非具有无记忆性，因此可以进一步研究 部件寿命服从一般分布情况下的性质．
０
｛：揣ｉ嚣竺∽…０
则由式（２）可得
０ ０，。，。０，∽ Ｉ初始分布Ｐ（ｏ）＝（１，ｏ，，，，，ｏ）

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002第2章ch_2_2离散时间系统分析end_(修复的)_(自动保存的)

002第2章ch_2_2离散时间系统分析end_(修复的)_(自动保存的)

2.2离散系统的时域分析离散系统分析与连续系统分析在于多方面是相互平行的，有许多类似之处。

连续系统可用微分方程描述，离散系统可用差分方程描述。

差分方程和微分方程的许多求解方法在许多方面是相互对应的。

在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在离散系统中，卷积和也具有同等重要的地位。

连续系统分析与离散系统分析的相似性为读者学习本章节提供了有力条件，不过，读者应该十分注意他们之间存在着的重要差异。

在离散系统分析中，激励（输入）用()f n 表示，响应（输出）用()y n 表示，其中n 为整数；初始状态用{}0()x n 表示，其中0n 为正常数，通常取00n =。

下面，从离散系统的差分方程（或系统框图）及其求解开始，研究LTI 离散系统的时域分析。

2.2.1 LTI 离散系统的响应 差分与差分方程与连续时间信号的微分与积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。

设有序列()f n ，则称(2)f n +，(1)f n +，(1)f n -，(2)f n -等为()f n 的位移序列。

序列的差分可分为前向差分和后向差分。

一阶前向差分定义为()(1)()deff n f n f n ∆+-（2.2-1）一阶后向差分定义为()()(1)deff n f n f n ∇--（2.2-2）式中∆和∇称为差分算子。

由式（2.2-1）和（2.2-2）可见，前向差分与后向差分的关系为()(1)f n f n ∇=∆-（2.2-3）二者仅位移不同，没有原则的差别，因而它们的性质也相同。

本书主要采用后向差分，并简称其为差分。

由差分的定义，若有序列1()f n 、2()f n 和常数1a 、2a ，则112211221122[()()][()()][(1)(2)]a f n a f n a f n a f n a f n a f n ∇+=+--+- 111222[()(1)][()(1)]a f n f n a f n f n =--+-- 1122()()a f n a f n =∇+∇（2.1-4）这表明差分运算具有线性性质。

修理工可多重休假的温贮备系统

修理工可多重休假的温贮备系统


摘�要� 研究了修理工可进行多重休假的温贮备系统 . 系 统发生 故障时 � 可能 因修理 工的休假 而得不 到立即 修理 . 因此系统可处于 工作 � 等待修理和修理 3 种状态 . 在假定 部件的 工作时间 � 贮 备时间 � 修理 时间和 修理工 休假时间 分布的前提下 � 利用补充变量法和拉普拉斯变换方法 � 建立了各状态概率的微积分方 程 � 得 到了系统的 一些可靠度 指标 � 此外还通过图像分析考察了系统参数对系统稳态可用度的影响 . 关�键�词� 温贮备系统 �补充变量法 �稳态可用度 �稳态故障频度 �多重休假 中图分类号 � O 2 1 3. 2���� 文献标志码 � A�� �� 文章编号 � 1 0 0 8 9 4 9 7( 2 0 1 2� 0 5 5 1 7 0 7 � �Z MEN G� Y a l i HEN G� H a i i n C � � � � � � � M a � � � � a � � � � � a � � � I � � � � a � � � � � S � � � � � �� W � � � � � �� U � � � � � � � � � g ( � �� � �� � W � � � � � � 3 2 5 0 2 3 Z � � � a � P � � � � � � �� C � � � a� � � �� W a � � � � � a � d b � � e d � � d a � � � � e � a � � a b � e � � � � � e � � � � � � � � � � � � � � e � � a c a � � � � � � � � � a � � e � a � � � a � . J o u r n a l � o f � Z h e j i a n g U n i � e r s i t � � � ( � � ( � � S c i e n c e � E d i t i o n 2 0 1 2� 3 9 5 5 1 75 2 3 �T A b � � � a c � h i s a e r s t u d i e s t h e � a r m s t a n d b r e d u n d a n t r e a i r a b l e s s t e m s � i t h m u l t i l e � a c a t i o n s o f a r e a i r m a n . � p p � � � � � � � p � � � � p � � � � p � � I f t h e s s t e m f a i l s t o b e r e a i r e d i mm e d i a t e l � h i l e t h e r e a i r m a n i s o n � a c a t i o n a � a i t i n r e a i r t i m e i s n e e d e d s o � � � � � � � p � � � � � p � � � � g � p � � � � � t h e � s � s t e m� m a � b e � i n � o n e � o f � t h e � t h r e e � s t a t e st h e � � o r k i n g s t a t et h e � � a i t i n g r e p a i r � s t a t e � a n d � t h e � b e i n g r e p a i r e d . I t � i s � � � � � a s s u m e d � t h a t � t h e � o p e r a t i n g t i m e � a n d � s t a n d b � i n g t i m e � o f � u n i t s � h a � e � e � p o n e n t i a l � d i s t r i b u t i o n � h i l e � t h e � r e p a i r � t i m e � a n d � � t h e � a c a t i o n t i m e h a � e e n e r a l c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n s. B u s i n t h e s u l e m e n t a r � a r i a b l e s a r o a c h a n d e n e r a l � � � � g � � � � g � � p p � � � p p � � g �s i � e d� M a r k o � r o c e s s m e t h o d o m e i m o r t a n t r e l i a b i l i t i n d i c e s a r e o b t a i n e d.I n a d d i t i o n�� e a l s o o b t a i n t h e � p � � p � � � � � � � � � p a r a m e t e r s � e f f e c t � o n � t h e � s t e a d � s t a t e � a � a i l a b i l i t � b � i m a g e � a n a l � � e . � � �� K e W� � d � a r m s t a n d b r e d u n d a n t r e a i r a b l e s s t e m� s u l e m e n t a r � a r i a b l e s a r o a c h� s t e a d s t a t e a � a i l a b i l i �� � � � � p � � p p � � � p p � � � �m t � s t e a d � s t a t e � f a i l u r e � f r e q u e n c � u l t i p l e � � a c a t i o n s
具有优先权的3部件冷贮备退化系统的几何过程模型

具有优先权的3部件冷贮备退化系统的几何过程模型

具有优先权的3部件冷贮备退化系统的几何过程模型张芳;刘卫东;董秋仙【摘要】A cold standby repairable system consisting of three different components and one repairman was investigated in this study.It was assumed that the working time and the repair time distributions of the three di?erent components were exponentially distributed.And component 2 was a redundant of compo-nent ponent 3 was given priority and it was found as good as new after repair,but component 1 and component 2 were not so well as new system.The system was analyzed using the geometric process and the method of supplementary variable under these assumptions.Some reliability could induce the system availa-bility,reliability,MTTFF,ROCOF and the idle probability of the repairman.%研究3个不同型部件和一个修理工组成的冷贮备可修系统，针对3个部件的工作时间和维修时间都服从指数分布，部件2为部件1的冷贮备，部件3具有优先修理权且故障后可以修复如新，对于部件1、2故障后均不能修复如新的情况建立了该系统的一般模型，运用几何过程理论和补充变量法得到了系统的可用度、可靠度、首次故障前平均工作时间（MTTFF）、系统瞬时故障频度（ROCOF）和修理工空闲的概率等可靠性指标的 Laplace 变换式。

修理工休假的温贮备可修系统的瞬时可用度分析

修理工休假的温贮备可修系统的瞬时可用度分析

修理工休假的温贮备可修系统的瞬时可用度分析张静;岳德权;王丽花【摘要】A repairable system with warm standbys and R repairmen with multiple synchronous vacations is studied. At the same time, balking of fault units is also considered. The differential-difference equations of state probabilities are obtained by Markov process theory, and the exact expression of failure state probability is derived by using matrix theory and inverse of Laplace-transform. Then instantaneous availability and steady-state availability of the system is presented.%研究了R个修理工进行同步多重休假的带有多个温贮备部件的可修系统,同时考虑了故障部件可能止步的现象.文中利用Markov过程理论建立了系统状态概率的微分差分方程组,利用矩阵理论和Laplace变换反演的方法求解出了系统故障状态概率的精确表达式,从而得到了系统的瞬时可用度和稳态可用度的精确表达式.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(050)005【总页数】6页(P28-33)【关键词】止步;温贮备;同步多重休假;瞬时可用度【作者】张静;岳德权;王丽花【作者单位】燕山大学理学院,河北秦皇岛066004;燕山大学理学院,河北秦皇岛066004;燕山大学理学院,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】O22620世纪80年代开始，很多学者开始研究带有温贮备部件的可修系统，详见文献[1-7]，其在实际生活中，特别是在生产制造系统、电力系统和工业系统等领域有广泛的应用。