课时限时检测 几何概型(时间：60分钟 满分：80分)命题报告图10－6－51．如图10－6－5，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15 B.14 C.13D.12【解析】 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为1－2×π22π＝12.【答案】 D2．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为( )A.127 B.116C.38D.827【解析】 依题意得，模型飞行“安全飞行”的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫6－263＝827，选D.【答案】 D3．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ≥cos x ”发生的概率为( ) A.14 B.12C.34D ．1【解析】 ∵sin x ≥cos x ，x ∈[0，π]， ∴π4≤x ≤π， ∴事件“sin x ≥cos x ”发生的概率为π－π4π－0＝34.【答案】 C4．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34【解析】 先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.【答案】 B5．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78B.34C.12D.14【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P ＝S 阴影S 矩形＝3π24π2＝34.【答案】 B6．(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14 C.32D.74【解析】由于满足条件的点P 发生的概率为12，且点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB >AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝34x .在Rt △FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ， ∴AD AB＝74. 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·湖北高考)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.【解析】 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 【答案】 3图10－6－68．已知直线AB ：x ＋y －6＝0与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的阴影部分如图10－6－6所示，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．【解析】 从Rt △AOB 区域内任意取一点，满足几何概型．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y －6＝0.求得点C (2,4)．∴S 阴影＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝83＋8＝323.又S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×62＝18.故所求的概率P ＝S 阴影S △AOB ＝1627. 【答案】16279．在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54，则函数f (x )的图象与x轴有公共点的概率等于________．【解析】 若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54的图象与x 轴有公共点，则Δ＝m 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －54≥0，又m ∈[－6,9]，得m ∈[－6，－5]或m ∈[1,9]，故所求的概率为P ＝－－－＋－9－－＝35.【答案】 35三、解答题(本大题共3小题，共35分)图10－6－710．(10分)如图10－6－7所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．【解】 弦长不超过1，即|OQ |≥32. 因Q 点在直径AB 上是随机的，事件A 为“{弦长超过1}．”由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 11．(12分)在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≥0y ≥0内任取一点P ，求点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率．【解】 如图所示，不等式⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≥0y ≥0表示的平面区域是△ABC 的内部及其边界，又圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到x ＋y －2＝0与x －y ＋2＝0的距离均为1， ∴直线x ＋y －2＝0与x －y ＋2＝0均与单位圆x 2＋y 2＝1相切，记“点P 落在x 2＋y 2＝1内”为事件A ，∵事件A 发生时，所含区域面积S ＝12π，且S △ABC ＝12×22×2＝2，故所求事件的概率P (A )＝12π2＝π4.12．(13分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．【解】 (1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2＞0,16－b 2＞0，Δ≥0，即a ＞2，－4＜b ＜4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构的区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程没有实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2＜16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.。
[练案67]第六讲 几何概型A 组基础巩固一、单选题1．(2019·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(x i ，y i )具有较强的相关性，并计算得y ^＝x ＋1.5其中数据(1，y 1)因书写不清楚，只记得y 1是[0,3]上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为( C )A ．16B ．56C ．13D ．23[解析] 依题意可知，估计值为1＋1.5＝2.5，残差为y 1－2.5，依题意得|y 1－2.5|≤0.5，解得2≤y 1≤3，∴所求概率为3－23＝13，故选C.2．(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( D )A ．215B ．715C ．35D ．1115[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－(－6)]＋(9－0)9－(－6)＝1115.故选D. 3．(2020·湖北武汉调研)在长为16 cm 的线段MN 上任取一点P ，以MP ，NP 的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm 2的概率为( A )A ．14B ．12C ．13D ．34[解析] 设MP ＝x cm,0<x <16，则NP ＝(16－x )cm ，由x (16－x )>60，得6<x <10，所以所求概率为P ＝416＝14.故选A.4．(2020·广西河池期末)在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2－ax ＋8＝0有实数根的概率为( D )A ．14B ．23C ．13D ．12[解析] 因为方程2x 2－ax ＋8＝0有实数根，所以Δ＝(－a )2－4×2×8≥0，解得a ≥8或a ≤－8.所以方程2x 2－ax ＋8＝0有实数根的概率p ＝12－812－4＝12.故选D.5．(2019·铁岭模拟)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( C )A ．16B ．13C ．12D ．23[解析]如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6．(2019·山东威海模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长为22，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为( D )A ．14B ．π8C ．π4D ．1－π4[解析] 直角三角形的面积S ＝12×2×2＝2，因为三角形的内角和为π，所以三个扇形的面积和为12×π×12＝π2，可得阴影部分的面积为2－π2，点落在区域M 内的概率为P ＝2－π22＝1－π4. 7．(2019·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为( C )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 设六角星的中心点为O ，分别将点O 与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P ＝12，故选C.8．(2020·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( C )A ．18B ．78C ．14D ．34[解析] 设这两个数分别为x ，y ，则由条件知0<x <2，0<y <2，y ≥4x 或x ≥4y ，则所求概率P ＝2×12×2×122×2＝14.9. (2020·河南三门峡模拟)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S －ABCD ，该四棱锥的体积为423，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为( A )A ．1πB ．2πC ．3πD ．2π[解析] 设球半径为R ，正四棱锥底面边长为a ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2R13a 2R ＝433，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2R ＝2，∴所求概率P ＝4232π3(2)3＝1π，故选A.10．(2020·安徽合肥质检)若在x 2＋y 2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x |＋|y |≤1所围区域内的概率是( B )A ．1πB ．2πC ．12πD ．1－1π[解析] 不等式x 2＋y 2≤1表示的区域是半径为1的圆，面积为π，且|x |＋|y |≤1满足不等式x 2＋y 2≤1表示的区域是边长为2的正方形，面积为2，∴在x 2＋y 2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x |＋|y |≤1所围区域内的概率为2π，故选B.二、多选题11．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是( ABC )A ．P (B )＝710B ．P (A ∪B )＝910C ．P (A ∩B )＝0 D ．P (A ∪B )＝P (C )[解析] 由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P (B )＝710，P (A )＝210，P (C )＝110，则P (A ∪B )＝910，故A 、B ，C 正确；故D 错误．故选ABC.12．(2018·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ACD )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 1的最大值为2π＋2D ．p 3的最小值为π－2π＋2[解析] 设AB ＝c ，AC ＝b ，则区域Ⅰ的面积S 1＝12bc ；区域Ⅲ的面积S 3＝18π(b 2＋c 2)－12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝18π(b 2＋c 2)－S 3＝12bc ＝S 1，由几何概型可知p 1＝p 2，故A 正确；又整个区域的面积S ＝18π(b 2＋c 2)＋12bc ，∴p 1＝12bc 18(b 2＋c 2)π＋12bc ＝2(b 2＋c22bc )π＋2≤2π＋2.(当且仅当b ＝c 时取等号)，即p 1的最大值为2π＋2，B 正确；∴p 3＝1－2p 1≥π－2π＋2(当且仅当b ＝c 时取等号)，即p 3的最小值为π－2π＋2，显然B 错．故选ACD.三、填空题13．(2019·福建漳州调研)在半径为2的圆C 内任取一点P ，则以点P 为中点的弦的弦长小于23的概率为 34.[解析] 由题可知，当且仅当弦心距d >22－(232)2＝1，即|CP |>1时，以点P 为中点的弦的弦长小于23，由几何概型的概率公式可得所求概率为π×22－π×12π×22＝34.14．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别是这个圆柱上底面和下底面的圆心，在该圆柱内随机取一点P，则点P到O1，O2的距离都大于1的概率是59.[解析]由题意，所求概率为1－4π3×13π×12×3＝1－49＝59.15．(2019·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是2－33π.[解析]∵阴影部分面积为12×(16πR2－R2×3R2)＝(2π－33)R2，∴飞镖落在黑色部分的概率为(2π－33)R2πR2＝2－33π，故答案为2－33π.B组能力提升1. (2020·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(D)A ．110B ．13C ．310D ．25[解析] 设直角三角形较短的直角边的边长为a ，则小正方形的边长为2a ，大正方形的边长为10a ，∴所求概率P ＝4a 210a 2＝25.故选D.2．(2019·福建省厦门市质检)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分，在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为( B )A ．π8B ．π4C ．14D ．34[解析] 由图可知各正方形的边长为：1,1,2,3,5,8，矩形ABCD 的面积为：S 1＝8×13＝104， 阴影部分面积为：S 2＝14(π＋π＋4π＋9π＋25π＋64π)＝104π4，所求概率为：P ＝104π4104＝π4.3. (2019·福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为( A )A ．(3－22)π2B ．π6C.(3－22)π4D ．π8[解析] 分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R ，该正方形的边长为l ，2l ＝2(2R ＋R )，∴l ＝(2＋2)R ，∴所求概率P ＝πR 2(2＋2)2R 2＝(3－22)π2.故选A.4．(2019·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( D )A ．14B ．13C ．23D ．12[解析]以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0， 所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴S △PBC ＝12S △ABC ，∴所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12.故选D.5．(2019·湖北武汉武昌区调研)已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数f (x )＝ax 2－bx＋1在[2，＋∞)上单调递增的概率为( D )A ．18B ．38C ．58D ．78[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤4，0≤b ≤4，函数f (x )在[2，＋∞)上递增⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤4，b 2a ≤2即⎩⎨⎧0<a ≤4，b ≤4a由图可知所求概率 P ＝16－216＝78.故选D.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021年高考数学一轮复习 11.3几何概型课时达标训练 文 湘教版一、选择题1．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.12C.34D.23【解析】 如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34，故选C.【答案】 C2．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )A.45B.35C.π60D.π3【解析】 由题意可知，三角形的边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.故选A.【答案】 A3．(xx·北京海淀区三模)如图所示，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，豆子在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为( )A.ma nB.na mC.ma 2nD.na 2m【解析】 由题知S ΩS 正方形≈mn，所以S Ω≈m n ·S 正方形＝ma 2n ，即图形Ω面积的估计值为ma 2n.故选C.【答案】 C4．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为( )A.15B.25C.35D.45【解析】 ∵∠B ＝60°，∠C ＝45°， ∴∠BAC ＝75°.在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ， 则BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生． 由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25，故选B. 【答案】 B5．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14【解析】 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P＝2π32π＝13.【答案】 C6．(xx·广东调研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为( ) A.13B.23C.19D.29【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＝0，x＋y＝6得D(4，2)，区域Ω为△OAB，区域A为△OCD，所求概率P ＝S△OCDS△OAB＝12×4×212×6×6＝29.【答案】 D二、填空题7．(xx·厦门模拟)向边长为2 m的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则P点到A点的距离大于1 m，同时∠DPC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的概率为________．【解析】由题意知P点在以DC为直径的圆外，且在以A为圆心1为半径的圆外，即P 点在如图所示的阴影部分内，则概率为P＝2×2－34π×122×2＝1－3π16.【答案】1－3π168．在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量OG＝OE＋OF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为__________．【解析】基本事件的总数是4×4＝16，在OG＝OE＋OF中，当OG ＝OP ＋OQ ，OG ＝OP ＋ON ，OG ＝ON ＋OM ，OG ＝OM ＋OQ 时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.【答案】 349．如图，已知正三棱锥SABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取一点M ，则点M 到底面的距离小于h2的概率P ＝________.【解析】 在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.由题意，三棱锥SABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1ABC 的体积为 13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78， 故P ＝78.【答案】 7810．两个CB 对讲机(CB 即CitizenBand 民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为20 km ，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30 km 以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40 km 以内的某地向基地行驶，则在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率为________．【解析】 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30，0≤y ≤40. 他们所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过20 km 时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤20的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤400，右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1 200 km 2，而事件的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×(20)2＝100π，于是有P ＝100π1 200＝π12.【答案】π12三、解答题11．已知等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM <30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM <30°的概率． 【解析】 (1)设CM ＝x ，则0<x <a .(不妨设BC ＝a )．若∠CAM <30°，则0＜x ＜33a ， 故∠CAM <30°的概率为 P ＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a 的长度区间（0，a ）的长度＝33.(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°， 若∠CAM <30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM <30°的概率为P ＝（0°，30°）的长度（0°，45°）的长度＝23.12．(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )，若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率；(2)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解析】 (1)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0， 即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1 ， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.(2)设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，即如图矩形OBCD 及内部，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }，即如图矩形内阴影部分，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.13．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1，1，2，3}和Q ＝{－2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．【解析】 (1)抽取的全部结果所构成的基本事件为：Ω＝{(－2，－2)，(－2，3)，(－1，－2)，(－1，3)，(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)}共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A ，则A ＝{(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)}共6个基本条件．所以P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示，使函数图象过第一、二、三象限的(m 、n )的区域为第一象限的阴影部分即m ＞0，n ＞0.所以所求事件的概率为P ＝1272＝17.T20879 518F 冏24005 5DC5 巅4I21688 54B8 咸35529 8AC9 諉24898 6142 慂23920 5D70 嵰40272 9D50 鵐39825 9B91 鮑< 6。
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 9.5古典概型、几何概型随堂训练 文1．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算 解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：B2．连续抛掷两次骰子得到点数分别为m ，n ，记向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.56 解析：根据题意得到的点(m ，n )共36个，a ·b ＝m －n ≥0，所以m ≥n ，满足条件的点(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以所求概率为2136＝712. 答案：C3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12解析：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个结果，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P ＝410＝25. 答案：C4．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率为________．解析：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602 ＝3 600－2 0253 600＝716. 所以两人能会面的概率是716. 答案：716。
