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高中数学必修3章节训练-第3章3.3.1同步训练及解析

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人教A 高中数学必修3同步训练1．面积为S 的△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.16解析：选A.向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12. 2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A.112B.38C.116D.56解析：选C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的测度是5，试验的全部结果构成的区域测度是30＋5＋45＝80，则P (A )＝580＝116. 3．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |>1的概率为( )A.78B.56C.34D.12解析：选A.V 球＝43π×23＝323π， 当|OP |≤1时，球的体积为43π×13＝43π， |OP |>1的概率为P ＝1－43π43π×23＝78. 4．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．解析：由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23. 答案：231．先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上颜色，再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，则所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( )A.14B.16C.19D.127解析：选D.由题意，正方体被切割成27块，六个面均没有涂色的只有最中间那一块，则其概率为127.故选D. 2．在2010年山东省召开的全国糖茶博览会期间，4路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19C.111D.910解析：选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1 min ，而整个区域的时间长度为11 min ，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝111. 3．x 是[－4,4]上的一个随机数，则x 满足x 2＋x －2≤0的概率是( )A.12B.38C.58D ．0 解析：选B.求出x 2＋x －2≤0的解集为[－2,1]，区间[－2，1]的长度为3，区间[－4,4]的长度为8，长度之比即是所求的概率为38.故选B. 4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域(如图所示)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则对指针停留的可能性下列说法正确的是( )A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定解析：选B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝、白区域大．故选B.5．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的概率为( )A.12B.13C.34D.23解析：选D.如图所示，图中AB ＝AC ＝OB (半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P ＝240πOB1802πOB ＝23.故选D.6．在面积为S 的△ABC 的内部任取一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.23解析：选C.EF 为△ABC 的中位线．当点P 位于四边形BEFC 内时，S △PBC 的面积小于S 2， 又∵S △AEF ＝14S ，S BEFC ＝34S . ∴△PBC 的面积小于S 2的概率为P ＝34S S ＝34. 7. 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA落在∠xOT 内的概率为________．解：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域测度是60°，所有基本事件对应的区域测度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16. 答案：168．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23. 答案：239．如图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则事件“|OP |>1”的概率________．(2)在其内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈R ，则事件“△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23”的概率是________． 解析：(1)在正方形的四边和内部取点，P (x ，y )且x ，y ∈Z ，所有可能的事件是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，其中满足|OP |>1的事件是(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，所以满足|OP |>1的概率为23. (2)在正方形内部取点，其总的事件的包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23，应该三角形的高大于23，所以这个区域为每个边长从两端各去掉23后剩余的正方形，其面积为23×23＝49，所以满足条件的概率为494＝19. 答案：(1)23 (2)1910．平面上画了两条平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r <a 的硬币任意投掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：设事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，参看图，这样线段OM 长度(记作|OM |)的取值范围是[0，a ]，只有当r <|OM |≤a 时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r ，a ]．所以P (A )＝ r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －r a . 11．街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可免费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交5角，再掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形ABCD 的边相交接是在小圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图(1)中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板的边相交接．因此，试验全部结果构成的区域是边长为9 cm 的正方形，设事件A ：“小圆板压在塑料板边上”．S 正方形＝9×9＝81(cm 2)，S 阴影＝9×9－7×7＝32(cm 2)．故所求概率P (A )＝3281. (2)小圆板与正方形的顶点相交接是在小圆板的中心O 到正方形ABCD 的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)所示的阴影部分．设事件B ：“小圆板压在塑料板顶点上”．S 正方形＝9×9＝81(cm 2)，S 阴影＝π×12＝π(cm 2)，故所求的概率P (B )＝π81.12．已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取一点M ，试求点M 到底面的距离小于h 2的概率． 解：如图，在SA 、SB 、SC 上取点A 1、B 1、C 1，使A 1、B 1、C 1分别为SA 、SB 、SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h 2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S 4.由题意，三棱椎S －ABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1－ABC 的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.故P ＝78.关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

——努瓦列斯2、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。

——罗巴切夫斯基3、宁可少些，但要好些。

——高斯4、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。

——罗素5、获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

——克莱因6、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。

——高斯7、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。

——柯普宁8、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。

——卡罗斯9、第一是数学，第二是数学，第三是数学。

——伦琴10、数学的本质在於它的自由。

——康扥尔11、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。

——广中平佑12、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。

——华罗庚13、宁可少些，但要好些，二分之一个证明等于0。

——高斯14、从最简单的做起。

——波利亚15、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。

——拉普拉斯16、每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止。

——牛顿17、下棋要找高手…。

只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步，自学，不怕起点低，就怕不到底。

——华罗庚18、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。

——纳皮尔19、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。

数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。

——拿破仑20、每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。

这样做并没有什么目的，只是让自己有个机会充分享受一下专心思考的愉快。

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高中数学必修3第三章课后习题解答

高中数学必修3第三章课后习题解答

新课程标准数学必修3第三章课后习题解答第三章概率3．1随机事件的概率练习（P113）1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面.（2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25.2、略3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1.练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次.练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B习题3.1 A组（P123）1、D.2、（1）0；（2）0.2；（3）1.3、（1）430.067645≈；（2）900.140645≈；（3）7010.891645-≈.4、略5、0.136、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1.3．3几何概率练习（P140）1、（1）1；（2）38.2、如果射到靶子上任何一点是等可能的，那么大约有100个镖落在红色区域.说明：在实际投镖中，命中率可能不同，这里既有技术方面的因素，又是随机因素的影响，所以在投掷飞镖、射击或射箭比赛中不会以一枪或一箭定输赢，而是取多次成绩的总和，这就是为了减少随机因素的影响.习题3.3 A组（P142）1、（1）49；（2）13；（3）29；（4）23；（5）59.2、（1）126；（2）12；（3）326；（4）326；（5）12；（6）313.说明：（4）是指落在6,23,9三个相邻区域的情况，而不是编号为6,7,8,9,四个区域.3、（1）25； （2）115； （3）35. 说明：本题假设在任何时间到达路口是等可能的. 习题3.3 B 组（P142） 1、设甲到达的时间为x ，乙到达的时间为y ，则0,24x y <<. 若至少一般船在停靠泊位时必须等待，则06y x <-<或06x y <-<，必须等待的概率为：22189711241616-=-=.2、D .第三章 复习参考题A 组（P145）1、56，16，23. 2、（1）0.548； （2）0.186； （3）0.266.3、（1）38； （2）14.4、（1）813； （2）726； （3）665. 5、分别计算两球均为白球的概率、均为红球的概率、均为黑球的概率，然后相加，得1223311166666636⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯. 6、56. 说明：利用对立事件计算会比较简单. 第三章 复习参考题B 组（P146）1、第一步，先计算出现正面次数与反面次数相等的概率46328=. 第二步，利用对称性，即出现正面的次数多于反面次数的概率与出现反面的次数多于正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于反面次数的概率为35(1)2816-÷=. 2、（1）是； （2）否； （3）否； （4）是.3、（1）45； （2）15； （3）25； （4）25. 说明：此题属于古典概型的一类“配对问题”，由于这里的数比较小，可以用列举法.4、参考教科书140页例4.。

必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：

必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

最新人教版高中数学必修3第三章同步训练1(附答案)

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3.3 几何概型 3．3.1 几何概型1．一只蚂蚁在如图所示的地板砖上(除颜色不同外，其余全部相同)爬动，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )A.13B.23C.14D.18 2．(2009福建泉州高中毕业班质量检查，文5)拉练行军中，某人从甲地到乙地共走了500 m ，途中涉水横穿过一条宽为x m 的河流，该人不小心把一件物品遗落在途中，若物品遗落在河里找不到，否则可以找到，已知找到该物品的概率为45，则河宽为( )A ．40 mB ．50 mC ．80 mD ．100 m3．在区间(0,3)中随机地取1个数，则这个数大于2的概率是__________．4．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．答案：1．A 记“小蚂蚁停留在黑色地板砖上”为事件A ，则P(A)＝412＝13.2．D 由题意可知，该人找不到物品的概率为15.由x 500＝15，得x ＝100(m)． 3.13 所求概率为大于2的区间长度与总区间长度之比，即P ＝3－23＝13. 4．解：记F ＝{作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE ，使∠AOD＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P(F)＝3090＝13.1．已知直线y ＝x ＋b 的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y 轴上截距b 大于1的概率是( )A.15B.25C.35D.452．如下图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是( )A.13B.14C.15D.163．如图所示，墙上挂有一块边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，以a2为半径的扇形，某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则击中阴影部分的概率是( )A ．1－π4B ．1＋π4C ．1－π3D ．1－π64．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的概率为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，设Ω是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，Φ是到原点的距离不大于1的点构成的区域．向Ω中随机投一点，则所投的点落在Φ中的概率是__________．6．一海豚在水池中自由游弋．水池为长30 m 、宽20 m 的长方形．求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．答案：1．A P ＝2－12－(－3)＝15.2．D 记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A.事件A 的几何度量是60°，而所有区域的几何度量是360°，故P(A)＝60°360°＝16.3．A 由题意知，正方形木板的面积为a 2，则阴影部分的面积为a 2－4×14×π×(a2)2＝a 2－14πa 2，根据几何概型的概率计算公式可知，击中阴影部分的概率是a 2－14πa 2a 2＝1－π4.4.23 如图，AB ＝AC ＝OA ＝R ，则优弧BC 的长÷圆O 的周长＝23，故弦长超过半径的概率为23.5.π16本小题考查几何概型．如图，区域Ω表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域Φ表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.6．解：如图所示，区域Q 是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，于是S Q ＝30×20＝600 m 2，S A ＝30×20－26×16＝184 m 2.P(A)＝S A S Q ＝184600＝2375≈0.31.1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案：B 记“看见的是红灯”为事件A ，则P(A)＝3030＋5＋40＝25.2．在半径为1的圆中随机地撒一大把豆子，则豆子落在圆内接正方形中的概率是( ) A.1π B.2π C.2π D.3π答案：B 豆子落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为 2.∴P ＝2×2πr 2＝2π. 3.有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )答案：C 设备选答案A 、B 、C 、D 所表示的事件分别为A 、B 、C 、D.则P(A)＝38，P(B)＝26＝13，P(C)＝πa 24a 2＝π4，P(D)＝12×2r ×r πr 2＝1π.显然P(C)最大． 4．(2009福建高考，文14)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为__________．答案：23如图，点B可落在优弧上，其弧长为2，由几何概型知概率为23.5．向面积为20的△ABC 内任投一点P ，则使△PBC 的面积小于5的概率为__________．答案：716P 点所在区域为图中阴影部分，取高AD 的4等分点并作BC 的平行线，交AB 、AC 于G 、H ，得四边形BGHC 为P 点位置，故所求事件的概率为P ＝S 四边形BGHC S △ABC＝716.6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求该正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．答案：解：若正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，则正方形的边长AM 介于6 cm与9 cm 之间．所以正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为312＝14.7．在一个边长分别为a 、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为13a 与12a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，求所投的点落在所画的梯形内部的概率．答案：解：记“所投点落在所画的梯形内部”为事件A ，则事件A 所占的区域面积S A ＝12×(13a ＋12a)·b ＝512ab.整个基本事件的区域面积S Ω＝ab ，由几何概型的概率公式得P(A)＝S A S Ω＝512ab ab ＝512，即所投点落在所画的梯形内部的概率是512.8．在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．答案：解：在AB 上截取AC ′＝AC ，于是，P(AM<AC)＝P(AM<AC ′)＝AC ′AB ＝ACAB ＝22. 9．已知棱长为2的正方体的内切球O.若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？答案：解：球的直径就是正方体的棱长2.∴球O 的体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V ＝23＝8.由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A)的概率为P(A)＝V －V 球V ＝8－4π38＝1－π6.∴所求概率为1－π6.点评：一般地，在几何区域Q 中随机地抽取一点，记“该点落在其内部的一个区域A 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P(A)＝A 的测度Q 的测度.这里要求Q 的测度不为0，其中“测度”的意义依Q 确定，当Q 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．几何概型的试验中，事件A 的概率P(A)只与区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．10．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．答案：解：令x ＝1，得y ＝23；令y ＝－1，得x ＝16.所以阴影部分三角形的面积为12(1－16)(1＋23)＝2536.正方形的面积为4，所以飞镖落在阴影部分的概率为2536×4＝25144. 点评：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．。

高中数学必修3章节训练-第3章3.1.2同步训练及解析

高中数学必修3章节训练-第3章3.1.2同步训练及解析

人教A 高中数学必修3同步训练1．关于天气预报中的“预报某地降水概率为10%”，下列解释正确的是( )A ．有10%的区域降水B ．10%太小，不可能降水C ．降水的可能性为10%D ．是否降水不确定，10%没有意义解析：选C.根据概率的含义判定．2．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每个学生被抽到的概率为14，则下列解释正确的是( )A ．4个人中，必有1个被抽到B ．每个人被抽到的可能性为14C ．由于有被抽到与不被抽到两种情况，故不被抽到的概率为14D ．以上说法都不正确解析：选B.显然C 、D 两个选项错误．A 选项错误的原因是忽略了是从整个班级内抽取，而不是仅从一部分中抽取，误解了前提条件和概率的意义．3．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜D ．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同甲获胜，否则乙获胜解析：选B.B 中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都正面向上的概率为14，所以对乙不公平． 4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的球是________．解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是910，估计其概率约是910，那么取出黑球的概率约是110，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．答案：白球1．某彩票中奖的概率是1%，则下列说法正确的是( )A ．买1张彩票一定不会中奖B ．买100张彩票一定能中奖C ．买1000张彩票一定有10张彩票中奖D ．买1张彩票可能中奖解析：选D.彩票中奖的概率是1%，因为每次买彩票的结果是随机的，所以买1张彩票可能中奖，但买100张彩票也不一定能中奖，买1000张彩票不一定有10张中奖．2．投掷1枚骰子(均匀的正方体)，设事件A 为“掷得偶数点”，事件B 为“掷得奇数点”，则P (A )与P (B )的大小关系为( )A ．P (A )>P (B ) B ．P (A )＝P (B )C ．P (A )<P (B )D ．不确定解析：选B.概率分别是P (A )＝12，P (B )＝12，所以P (A )＝P (B )． 3．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是14，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话`( )A ．正确B ．错误C ．有一定道理D ．无法解释解析：选B.从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，14是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．4．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷的结果的预测，下列说法中正确的是( )A ．一定出现“6点朝上”B ．出现“6点朝上”的概率大于16C ．出现“6点朝上”的概率等于16D ．无法预测“6点朝上”的概率解析：选C.随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．5．下列结论中正确的是( )A ．事件A 的概率P (A )必有0<P (A )<1B ．事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显疗效的可能性为76%D ．某奖券中奖率为50%，则某人买此券10张，一定有5张中奖解析：选C.A 项应为0≤P (A )≤1；B 项中的事件A 是随机事件；D 项中，此人中奖的奖券张数为0～10中的任意一值，不定．6．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是( )A ．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败B ．这个手术一定成功C ．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术D ．这个手术成功的可能性是99%答案：D7．给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51100； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是950. 其中正确命题有________．解析：①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．答案：④8．有以下一些说法：①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1365；②乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；③昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为90%”是错误的． 根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是________．解析：③中对概率的理解不正确，所以③错，故选①②.答案：①②9．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下： 抽查件数 50 100 200 300 500合格品件数 47 92 192 285 478________件产品．解析：产品总数为1150，合格品数为1094.合格率为10941150≈95%,950÷95%＝1000. 答案：100010．某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元即可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1,2,3,4,5的5个小球(小球只是号码不同)中摸出一球，若号码是2则中奖，奖品为一张精美图片．(1)摸奖一次时，得到一张精美图片的概率是多少？得不到精美图片的概率是多少？(2)一次，小聪购买了10元钱的物品，可获得5次摸奖机会，前4次都没有中奖，他想：“第5次摸奖我一定能中”，你同意他的想法吗？说说你的想法．解：(1)摸奖一次时，得到一张精美图片的概率是15，得不到精美图片的概率是45； (2)不同意．因为小聪每一次的摸奖结果都是随机的，第5次摸奖得到一张精美图片的概率仍是15，所以他第5次摸奖不一定中． 11．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，并从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的？解：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100. 乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100. 由此看到，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多．由极大似然法，既然在一次抽样中取到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．12．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：A ．猜“是奇数”或“是偶数”B ．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C ．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．解：(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”或C，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，“是大于4的数”的概率为610＝0.6，它们都超过了0.5，故乙应可以尽可能地获胜．(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。