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高等数学在电路中的部分应用

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高等数学在电路中的部分应用
作者：李猛
摘要：
作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、

严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著
的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能
使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理
中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循
思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思
维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开
的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更
加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗
透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。高等
数学中的微积分，拉普拉斯变换及矩阵在电路学中的作用非常重要，运
用这些知识可将复杂难解的电路运算简单化，从而便于理解和计算。
关键词：
高等数学的应用 微积分 拉普拉斯变换 矩阵 电路学

一·微积分在电路中的应用

微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。它

是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。
恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明
那样被看作人类精神的最高胜利了。”
美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工
具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。
数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的
学科。微积分在电路学中也随处可见，下面我就以实例简单的介绍下微积分在电路
学中的动态电路的暂态分析中的应用。RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。
图 (a)所示电路在开关闭合前，电感电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关K闭合。
据KVL根,有

由于
所以

若用一般的求解方法，此式是无法解出的，但是用微积分情况就不同了。继续往下
看：
这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为

KR
i
L

U
S
L

u

L

SUuRiLL


tiLuLLd
d

S
L

d dLUi
L

iRtR

SS
()()()ee tRtLLLLUUitititAARR
式中 =L/R是该电路的时间常数。常数A由初始条件确定，即
由此求得
因此，可看出微积分在电路学有关运算当中的作用是极其突出的。
二．拉普拉斯变换在电路学中的应用

对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解微分方程的方法比较困难。例
如对于一个n阶方程，直接求解时需要知道变量及其各阶导数【直至（n-1）阶导数】
在0t时间的值，而电路中给定的初始状态是各电容电压和电感的电流在0t时刻
的值，从这些值求得所需初始条件的工作量很大。积分变换法是通过积分变换，把
已知的时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程化为复频域函数的代数
方程。求出复频域函数后，再作反变换，返回时域，可以满足电路初始条件的原微
分方程的解答，而不需要确定积分常数。拉普拉氏变换就都是积分变换，所以拉普
拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。
当然将数学上的拉普拉氏变换应用到电路分析上来又细微的改变。在数学中拉
普拉斯变换定义中的积分下限为0而在电路分析中积分下限为0即将

0
stFsftedt

变为0stFsftedt。因为在动态与元件分析中电感和电容在

0

时刻时是有可能储能的。
三．矩阵在电路学中的应用

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：
线性代数、线性规划、以及统计分析等[1]，在实际生活中，很多问题都可以借用

000SRUA)(i)(i
LL

R
U
AS
矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念
和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，在电路学中也
可充分的体现出。

以基本割集矩阵为例
：

如图所示电路图，其中4,5,6三条支路为树支，用矩阵形式描述描述基本割集
和支路的关联性质。

Q = { q i j } n-1  b
约定 (1) 割集方向与树支方向相同。
(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。
Q=︴
1 j支路与割集i方向一致

-1 j支路与割集i方向相反
0 j支路不在割集i中

1
２
３
６

５
４
设，C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
4 5 6 1 2 3
B= 1 ｛1 0 0 -1 -1 0｝
2 ｛0 1 0 1 1 -1｝
3 ｛0 0 1 0 -1 1｝
设：
at=[ u4 u5 u
6 ]T

矩阵形式的KCL：Qi=0
矩阵形式的KCL的另一种形式 Qi=0可写为

回路矩阵表示时
回路矩阵和割集矩阵的关系
矩阵形式的KVL Q'Ut=u 即：

T
321654
] [][iiiiiii

ltltii] Q Q[0] Q 1[


l
t

l
i

i

llt
iiQ 
lTtt
iiB 

T
BQtl










3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuu
uuu
uu
u
u
u

u
u
u
例。用矩阵形式表示下图的节点电压方程。
解：1. 画有向图
5


3
1

k
U

Sk
I

Sk
U

k
I

ek
I



k
Y

1
①
2
3

4
5

6
②
③

④
2.



110100
001110100011A
关于矩阵在电路中的应用还有很多内容，如割集矩阵，回路矩阵，关联矩阵等，在
这我也不一一详细介绍了，总之在电路运算中使用矩阵，不仅用助于分析电路，而
且更加方便计算，减少大量的人力物力，作用极大。
总结：
以上的种种都很有力的说明了，高等数学在电路学的重要作用。运用高

等数学的相关知识，在电路学的分析，计算中能达到事半功倍的突出效果。在分析
电路图中，它可以将复杂难以理清的电路抽象化，变成简化的，能够让人理解的图，
然后再利用相关公式求出电路中的未知量。在电路的计算过中它的意义就更不用说
了，如果没有高数中的有关知识，有些电路运算根本无法进行。
虽然高数在电路中的实际应用很大，但其也存在着一定的不足。比如在进行大规
模电路运算时，用人工去做是相当费时费力的，有时还很容易出错。在这里我建议
使用MATLAB这一软件，因为这一软件是在计算机上运行的，它只需你编道程序，然
后将其输入软件系统内，点击运行，只要稍稍的几秒中，就能解决庞大的运算，而

3.

110.220.52diagY

4.

T
000005SU

5.

T
031000SI

SSnn
UIUYA-AY
6.




311042127.25.015.05.3321nnnU
U
U



得
且基本上不会出错。所以当我们在用高数知识解决电路学中的相关问题时，我们应
该适时的使用MATLAB这一软件。这样我们在计算方面就不成问题了。
参考文献：

郝万新 荆轲 《电路基础》新世纪高职高专教材编审委员会组

编 2005年11月。
张克新 邓乐斌 《应用高等数学》高等教育出版社 2010年8
月。
《同济高等数学》 同济大学出版社 2010年2月

李长茂《高等数学在电气自动化中的应用》 2010年6月

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谈电路中的最大功率问题

谈电路中的最大功率问题

2 2 2 2
( 2) 负载电阻 R 不等于电源内阻 R 0 当负载电阻 R 不等于电源内阻 R 0, 无法 实现内外 电阻相等时 , 要使电源输 出最大功 率 , 就要结合电源输出功 率与负载电阻 R 变 化 的曲线进 行求 解 , 如图 4 所示 . 从图中可发现: 当 负 载电 阻 R 小 于 电 源 内 阻 R 0 时, 随着 负载 电阻 R 的增大 , 电源输出功率跟着增大; 当负载电阻 R 大于电源内阻 R 0 时, 随着负载电阻 R 的增 大 , 电源输出功率反而减小. 例 3: 图 5 电路中, 可变电 阻 RP 为何值 时电源的输出功率最大? 最大功率是多少? 分析: 电源内 阻为 10 , 负载电 阻 R = R1+ R 2R P R 2 + RP
2 ∃( 10+ 5+ 3)
∃ 6= 0 67 W
以上介绍了各种最大功率的问题, 在电源 输出最大功率时 , 由于负载电阻与电源内阻相 等 , 所以电源内阻损耗的功率与负载电阻消耗 的功率相等 , 这时电源的效率不高只有 50 %. 在电子技术中, 常要求电源的输出功率尽可能 大些, 此时 , 负 载电阻 应尽可 能等于 电源内 阻 ; 在电工技术中, 又要求在一定功率输出的
后 , 精选具有代表性的习题, 习题不宜过于复 杂 , 但要涵盖较多的知识点, 通过习题的解答 着重于训练学生的学习方法和综合运用所学知 识解决问题的能力, 激发创造力和应变能力. 总之, 教学有法 , 教无定法. 教师要在教 学过程中注意进行教学方法创新, 引导学生在 自主活动中激活创新思维 , 提高学生的学习兴 趣 , 有效挖掘自 学潜力 , 提高 本课程 教学质 量 , 使学生成绩得到显著提高 , 从而为后续课 程学习打下良好的基础, 也为学生以后从事本 专业的工作铺平道路 .
高等数学(电子版)

高等数学(电子版)

高等数学（电子版）第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。

1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。

1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。

当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。

这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。

1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。

无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。

1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。

如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。

间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。

第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。

它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。

2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。

这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。

2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。

它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。

高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。

2.4 微分的概念微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。

微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。

2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

三角函数的周期性与变化规律

三角函数的周期性与变化规律

三角函数的周期性与变化规律三角函数是高等数学中的重要知识点之一，它们具有独特的周期性和变化规律。

在本文中，我将详细介绍三角函数的周期性及其相关的变化规律，并对其应用进行一些实际案例分析。

一、三角函数的周期性-----------------------三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性。

正弦函数的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值将重复。

这是因为正弦函数的定义是在单位圆上，随着自变量的增长，对应的函数值会不断重复。

余弦函数也具有相同的周期，即在每个2π的区间内，函数的值会周期性地重复。

与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量增长时，对应的函数值与正弦函数有90°（或π/2）的相位差。

正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数的值将周期性地重复。

正切函数的定义是通过正弦函数和余弦函数来计算的，因此也具有相同的周期性。

二、三角函数的变化规律-----------------------1. 正弦函数的变化规律正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，且当自变量为0时，函数取得最小值0。

当自变量增加时，正弦函数的值会先上升到最大值1，然后下降到最小值-1，再回升到0，不断重复这一过程。

2. 余弦函数的变化规律余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间，且当自变量为0时，函数取得最大值1。

当自变量增加时，余弦函数的值会先下降到最小值-1，然后上升到最大值1，再下降到0，也会不断重复这一过程。

3. 正切函数的变化规律正切函数的取值范围是整个实数轴，即它可以取任意实数值。

正切函数在某些自变量的取值下是无界的，例如在π/2和3π/2等点。

当自变量增加时，正切函数的值会在相邻的两个无界点之间不断变换，呈现出周期性的特点。

三、三角函数的应用实例-----------------------三角函数的周期性和变化规律在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

下面将以振动和电路分析为例，说明三角函数在实际问题中的应用。

浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用

浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用

浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用线性代数是一门研究线性空间、线性变换以及线性方程组的数学分支。

它是现代科学、工程技术和计算机科学领域中最基本的数学工具之一。

在高等数学中，线性代数方法广泛应用于解决各种数学问题。

本文将探讨其中的几个应用。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种用于解线性方程组的方法。

这种方法的基本思想是将线性方程组中的未知量通过消元的方式逐步求出，最终得到每个未知量的值。

高斯消元法常常用于解决从物理、化学等领域中抽象出的线性代数问题，如电路分析、稳态化学反应等。

此外，高斯消元法还可以用于解决三角函数、指数函数等的方程式。

2. 矩阵分解矩阵分解是一种将一个矩阵分解成两个或多个较简单矩阵的方法。

这种方法广泛应用于各种数学问题中。

在高等数学中，矩阵分解有助于解决线性方程组、矩阵方程等问题。

例如，矩阵的LU分解可用于求解线性方程组，特别是当计算机计算的精度不足时。

此外，矩阵的特征值分解和奇异值分解可以应用于解决许多数学问题，如求解差分方程、求解积分方程等问题。

3. 矩阵的逆和伴随矩阵的逆和伴随也是线性代数方法在高等数学中的应用之一。

矩阵的逆是指如果一个矩阵 A 与其逆矩阵 B 相乘得到单位矩阵，那么 B 就是 A 的逆矩阵。

这个概念可用于解决线性方程组、矩阵方程等问题。

伴随矩阵是另一种与矩阵 A 相关的矩阵，它通常用于求解线性方程组的解。

伴随矩阵的求法比较繁琐，但是可以用矩阵分解的方法来计算。

4. 线性变换线性变换是指一个向量空间（如 Rn）中的每个向量都与另一个向量一一对应的线性函数。

线性变换有许多重要应用，比如计算机图形学、统计学、地理信息系统（GIS）等。

在高等数学中，线性变换可以用于解决几何问题。

例如，利用线性变换，可以将一个向量从极坐标系（或任何其他坐标系）映射到笛卡尔坐标系上，从而得到它在二维平面上的位置。

综上所述，线性代数方法在解决高等数学问题中有着广泛的应用。

无论是解决线性方程组、矩阵方程，还是求解特征值和特征向量，线性代数方法都提供了有力的工具。