重大版《高等数学及其应用(上)》第1章参考答案

第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。

高等数学上册教材习题答案第一章函数与极限1.1 函数的概念题目1：已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)的值。

解答：将x = 3代入函数f(x) = 2x + 1中，得：f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7。

题目2：设函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3，求g(-1)的值。

解答：将x = -1代入函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3中，得：g(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 - 2 + (-1) + 3 = -1。

1.2 例题解答题目1：设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(2)的值。

解答：将x = 2代入函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1中，得：f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9。

题目2：已知函数g(x) = 4x - 3，求g(0)的值。

解答：将x = 0代入函数g(x) = 4x - 3中，得：g(0) = 4(0) - 3 = -3。

1.3 习题答案题目1：设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - x，求f(1)的值。

解答：将x = 1代入函数f(x) = x^3 + 2x^2 - x中，得：f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2。

题目2：已知函数g(x) = 2x - 1，求g(-2)的值。

解答：将x = -2代入函数g(x) = 2x - 1中，得：g(-2) = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5。

第二章一元函数微分学2.1 导数的概念题目1：函数f(x) = x^2 + 3x，求f'(2)的值。

解答：对函数f(x) = x^2 + 3x求导数，得到f'(x) = 2x + 3。

将x = 2代入f'(x) = 2x + 3中，得：f'(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7。

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

高等数学一上册教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。

用数学符号表示为：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数关系。

函数的性质（1）定义域和值域定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量对应的所有可能取值的范围。

（2）奇偶性如果对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

（3）单调性如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为增函数；如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为减函数。

1.2 一次函数与二次函数一次函数一次函数的标准式表示为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。

一次函数的图像是一条直线，它的性质包括：与 y 轴平行的直线的斜率为零，与 x 轴平行的直线的斜率为无穷大。

例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，求 f(2) 的值。

解：将 x 替换为 2，得到 f(2) = 3(2) + 2 = 8。

二次函数二次函数的标准式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，它的性质包括：抛物线开口向上（a > 0）或向下（a < 0），顶点的横坐标为 -b/2a。

例题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 1，求 f(-1) 的值。

解：将 x 替换为 -1，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2。

1.3 幂函数与指数函数幂函数幂函数的定义形式为 y = x^p，其中 p 是常数。

幂函数的图像随着 p 的取值不同，可能是增函数、减函数或常数函数。

例题：已知函数 f(x) = x^3，求 f(2) 的值。

重庆大学高等数学教材答案在此提供《重庆大学高等数学教材答案》的文章。

重庆大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数与映射函数是数学中的重要概念之一。

在高等数学教材中，函数被定义为一个一一对应的关系，其中每个自变量对应唯一的一个因变量。

映射是函数的另一个称呼，用来描述函数的输入和输出之间的对应关系。

通过函数和映射的理论，我们可以深入理解数学中的变化规律和性质。

1.2 极限的概念极限是高等数学中的基础概念之一。

在定义中，我们说函数f当自变量趋于某个特定值时，对应的函数值趋于一个确定的常数L，则称函数f在该自变量趋于特定值的情况下有极限L。

通过研究函数的极限，我们可以了解函数的收敛性、趋势以及它们的性质。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是函数在某一点上的局部变化率，通过导数可以研究函数的变化趋势以及各点上的斜率。

在高等数学教材中，我们学习了导数的定义以及导数的一些性质，如导数与函数的连续性、导数的四则运算等。

2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种形式，通过微分我们可以研究函数的变化率和函数在某一点上的线性逼近。

微分在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学中，通过微分可以描述物体的运动轨迹和速度变化。

第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质定积分是高等数学中的重要内容之一，它是对函数在一定区间上面积的度量。

通过定义和性质，我们可以计算函数在给定区间上的定积分，并将其应用于求解几何问题、物理问题等。

3.2 不定积分的计算与应用不定积分是定积分的一种逆运算，通过不定积分我们可以找到函数的原函数。

通过学习不定积分的计算方法，我们可以应用于求解一些特定问题，例如计算曲线的长度、求解微分方程等。

第四章：级数4.1 数列极限的概念与性质数列极限是研究函数序列收敛性的一个重要概念。

通过掌握数列极限的定义和性质，我们可以判断函数序列是否收敛，并了解函数序列的收敛趋势。

4.2 级数的概念与性质级数是数列的和的概念，通过级数我们可以了解数列的求和情况。

习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈ f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒ ∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2) ⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1); 解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xxy -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), - f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3; (3)2211xx y +-=;(4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f xx x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2); (2)y =cos 4x ; (3)y =1+sin πx ; (4)y =x cos x ; (5)y =sin 2 x .解 (1)是周期函数, 周期为l =2π. (2)是周期函数, 周期为2π=l .(3)是周期函数, 周期为l =2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ; (2)xx y +-=11;(3)d cx b ax y ++=(ad -bc ≠0);(4) y =2sin3x ; (5) y =1+ln(x +2);(6)122+=x xy .解 (1)由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为x x y +-=11.(3)由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以dcx b ax y ++=的反函数为a cx b dx y -+-=.(4)由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin 3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5)由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M , 即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ;(2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ;(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2; (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 (1)y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2)y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4)2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5)y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2); (2) f (sin x ); (3) f (x +a )(a >0);(4)f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 (1)由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2)由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4)由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .()⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| ][101)(x e x x e e x f g x f , 即()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| ][1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AC +CD +DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1-37 解40sin h DC Ab ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=.自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为 40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0. 01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0. 01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0. 01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)n n x 21=;(2)n x n n 1)1(-=;(3)212n x n +=;(4)11+-=n n x n ;(5) x n =n (-1)n .解 (1)当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .(2)当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)当n →∞时, 212nx n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n .(4)当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5)当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问nn x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ;(2)231213lim =++∞→n n n ;(3)1lim22=+∞→na n n (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . (1)分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n, 所以01lim 2=∞→n n .(2)分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n 41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)分析 要使ε<<++=-+=-+n a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >.证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→n a n n .(4)分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n .证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M . 又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有My n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }若x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明 因为x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k >2K 1时, 有| x 2k -a |<ε ;∃K 2, 当2k +1>2K 2+1时, 有| x 2k +1-a |<ε..取N =max{2K 1, 2K 2+1}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;(2)12)25(lim 2=+→x x ;(3)424lim22-=+--→x x x ; (4)21241lim31=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)分析|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+∞→x x x ; (2)0sin lim=+∞→xxx .证明 (1)分析333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)分析 xxx xx 1|sin |0sin ≤=-, 要使ε<-0sin x x, 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx, 所以0sin lim =+∞→x xx .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？解 由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<-x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只397301.04||=->x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x xx f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---→→→x xx x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00===+++→→→xxx x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有| f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小. 2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xxy 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M xx>+21,所以当x →0时, 函数x xy 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由:(1)xx n 12lim+∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→xx n .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim20=--→x x x . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ;解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ;解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim-+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim02220220=+=-++=-+→→→.(6))112(lim 2x x x +-∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim242--+∞→x x x x x ; 解 013lim242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零) 或 012111lim13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x xx x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ;解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x x x x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x .(6)nn n x2sin2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x x x nn n n n =⋅=∞→∞→22sinlim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限: (1)x x x 1)1(lim -→;解 {}111)1(101(1[lim (1[lim )1(lim --→-→→=-+=-+=-e x x x x x x x .(2)xx x 1)21(lim +→;解 []222122101)21(lim )21(lim )21(lim e x x x xx x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→;解 []222)11(lim )1(lim e x x x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '.解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明 因为nn 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I, 111lim =+∞→nn .(2)()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明 因为()+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n ,所以 ()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2,22+,222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n nn n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明 当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n ,1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)[]11lim 0=+→xx x . 证明 因为[]x x x 1111≤<-, 所以[]111≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 0==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有[]11lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x -.证明 (1)因为1tan lim arctan lim00==→→y y xxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x . (2)因为()122sin2lim 22sin 2limcos cos 1lim 2211sec lim20222020===-=-→→→→x xx x x x xx x x x x x ,所以当x →0时, 2~1sec 2x x -.4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xxx 23tan lim0→;(2)mn x x x )(sin)sin(lim0→(n , m 为正整数);(3)xx x x 3sin sin tan lim -→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x xx x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性).证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性.在x =-1处, 因为f (-1)=-1, )1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);(3),1cos 2x y = x =0;(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3)因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 2→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型.解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.解(3)函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)3)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0-+→; (5)145lim1---→x xx x ;(6)ax ax a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4)211101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim0000=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(6)ax ax a x ax ax a x a x --+=--→→2sin 2cos2limsin sin lima a a a x ax ax ax ax cos 12cos 22sinlim 2coslim =⋅+=--⋅+=→→.。

大一高等数学教材习题答案《大一高等数学教材习题答案》第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.1.1 实数集与数轴实数集是指所有有理数和无理数的集合。

数轴是以0为原点，正负数按照一定间隔排列的直线。

1.1.2 函数的定义与性质函数是指具有一对一对应关系的集合间映射关系。

函数具有唯一性和确界性。

1.1.3 函数的表示与运算函数可以用表格、图像、公式等形式来表示。

常见的函数运算有加减乘除、复合运算等。

1.2 极限的概念1.2.1 数列极限数列极限是指随着自变量趋于无穷大时，函数值趋于某个确定的常数。

常见的数列极限有等差数列、等比数列等。

1.2.2 函数极限函数极限是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于某个确定的常数。

常见的函数极限有常数函数、多项式函数等。

1.3 极限运算法则1.3.1 四则运算法则对于函数的加减乘除运算，可以通过对函数的极限进行运算得到最终结果。

1.3.2 复合函数的极限运算对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再将结果代入外层函数中求解最终结果。

1.3.3 连续函数的极限运算对于连续函数，可以直接将自变量的极限带入函数中得到函数的极限。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，可以用极限的形式表示。

导数的存在性意味着函数在一点上可导。

2.1.2 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点上的切线斜率。

切线斜率越大，函数曲线越陡峭。

2.2 导数的基本性质2.2.1 可导函数的连续性可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。

2.2.2 导数的四则运算法则对于函数的加减乘除运算，可以通过对函数的导数进行运算得到最终结果。

2.2.3 复合函数的导数运算对于复合函数，可以利用链式法则求导数，先求内层函数的导数，再将结果代入外层函数的导数中。

2.2.4 反函数的导数如果函数在某一区间上单调可导，那么它的反函数也存在导数。

2.3 微分的概念2.3.1 微分的定义微分是函数在某一点上的近似线性变化量，可以用导数与自变量的乘积表示。

高等数学重庆大学版教材答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限存在准则及常用极限第二章：函数与导数2.1 函数的概念与性质2.2 一次函数与多项式函数2.3 指数函数与对数函数2.4 三角函数与反三角函数2.5 导数的概念及其几何意义第三章：微分学应用3.1 微分学中的中值定理3.2 泰勒公式与函数的凹凸性3.3 曲线的渐近线与曲率第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分公式及其应用4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的计算方法第五章：常微分方程5.1 常微分方程的基本概念与解法5.2 一阶线性常微分方程5.3 高阶常系数线性微分方程第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的偏导数6.3 多元函数的全微分与全导数第七章：多元函数积分学7.1 二重积分及其计算方法7.2 三重积分及其计算方法7.3 曲线与曲面的面积与曲线积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 收敛级数判别法8.3 幂级数及其收敛半径第九章：向量代数与空间解析几何9.1 向量的概念与性质9.2 空间几何与平面方程第十章：连续性与一元函数微积分应用10.1 函数连续性与间断点10.2 一元函数微积分应用第十一章：二重积分与曲线积分应用11.1 二重积分应用11.2 曲线积分应用第十二章：无穷级数与多元函数微积分应用12.1 数项级数的应用12.2 多元函数微积分的应用总结：以上为高等数学重庆大学版教材的答案提纲。

希望这个提纲能够帮助你更好地学习和理解高等数学的知识。

在实际讲授过程中，还请参考教材详细内容和课堂教学，确保准确性和全面性。

祝你学习进步！。

习题解答习题1.11．求下列函数的定义域： (1) 1arcsin(1)ln1xy x x+=-+-； 解 要使函数有定义，必须111101x x x-≤-≤⎧⎪+⎨>⎪-⎩，解之得01x ≤<，故函数的定义域为[0,1)．(2) 1ln(ln )y x =；解 要使函数有定义，必须ln 0ln 1x x >⎧⎨≠⎩，解之得1x >且e x ≠，故函数的定义域为(1,e)(e,)+∞．(3) y =解 要使函数有定义，必须232020x x x ⎧-+≥⎨-≥⎩，解之得1x ≤或2x =，故函数的定义域为(,1]{2}-∞．(4) y = 解要使函数有定义，必须1101x x ≤-⎪≥⎪+⎩，解之得1x ≥，故函数的定义域为[1,)+∞．(5) y =解 要使函数有定义，必须2sin ()0x π-≥，即2s i n ()0x π=，解之得0,1,2,x =±±，故函数的定义域为整数集Z ．(6) 210301x x y x x -≤<⎧=⎨<<⎩．解 要使函数有定义，必须10x -≤<或01x <<，故函数的定义域为[1,0)(0,1)-．2．判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1) 211x y x -=-，1y x =+；解 这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为(,1)(1,)-∞+∞，而后者的定义域为(,)-∞+∞．(2) 1ln1x y x +=-，ln(1)ln(1)y x x =+--； 解 这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，而后者的定义域为(1,)+∞．(3) y y x =；解 这两个函数相同．因为y x ==所以它们的定义域与对应法则均相同．(4) y =，cos y x =；解 这两个函数不同．因为cos y x ==，所以它们的对应法则不同． (5) e xy =，e ts =．解 这两个函数相同．因为它们的定义域与对应法则均相同．3．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ (1) cos esin x y x x =；解 因为cos()cos ()esin()e sin ()x x y x x x x x y x --=--==，所以所给函数是偶函数．(2) (ln y x =；解 因为((()ln ln ()y x x x y x -=-+==-+=-，所以所给函数是奇函数．(3) ln(y x =；解 因为()()y x y x -≠，且()()y x y x -≠-，所以所给函数是非奇非偶函数． (4) 1ln1xy x-=+； 解 因为11()ln ln ()11x xy x y x x x+--==-=--+，所以所给函数是奇函数． (5) e e x x y -=+；解 因为()e e e e ()x x x x y x y x -+--=+=+=，所以所给函数是偶函数． (6) 1010x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；解 因为10101010()()10101010x x x x x x x x y x y x x x x x x x x x +-<+>-≤-<⎧⎧⎧⎧-=====⎨⎨⎨⎨--≥-≤+>+≥⎩⎩⎩⎩，所以所给函数是偶函数．(7) 1010x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；解 因为()()y x y x -≠，且()()y x y x -≠-，所以所给函数是非奇非偶函数．(8) 100010x x y x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩． 解 因为10(1)0()0000()10(1)0x x x x y x x x y x x x x x ---<--<⎧⎧⎪⎪-=====-⎨⎨⎪⎪-+->-+>⎩⎩，所以所给函数是奇函数．4．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当01x <≤时，2()1f x x x =++，求()f x 的表达式．解 当10x -≤<时，01x <-≤，故22()()()()11f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-+=-+-⎣⎦． 又由奇函数定义得(0)0f =，于是，22110()00101x x x f x x x x x ⎧-+--≤<⎪==⎨⎪++<≤⎩．5．已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，当10x -≤≤时，3()1f x x =+，求()f x 的表达式．解 当01x <≤时，10x -≤-<，故33()()()11f x f x x x =-=-+=-+．于是，33110()101x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-+<≤⎩．6．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的周期为1的周期函数，已知在[0,1)上，2()f x x =，求()f x 在闭区间[0,2]上的表达式．解 当12x ≤<时，011x ≤-<，故2()(1)(1)f x f x x =-=-．又(2)(0)0f f ==，于是，2201()(1)1202x x f x x x x ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪=⎩． 7．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的周期为2π的周期函数，且()f x 是偶函数，已知在[0,π]上，3()f x x =，求()f x 在闭区间[π,2π]上的表达式．解 当[π,2π]x ∈时，02ππx ≤-≤，故3()(2)(2)(2)f x f x f x x =-π=π-=π-．8．求下列函数的反函数： (1) 11xy x-=+； 解 由11x y x -=+得，11yx y-=+．故所给函数的反函数为11x y x -=+． (2) 221xx y =+；解 由221x x y =+得，2log 1yx y=-．故所给函数的反函数为2log 1x y x =-．(3) ln(2)1y x =++；解 由ln(2)1y x =++得，1e 2y x -=-．故所给函数的反函数为1e 2x y -=-．(4) 20xx y xx <⎧=⎨≥⎩． 解 由200xx y xx <⎧=⎨≥⎩得，00yy x y <⎧⎪=≥．故所给函数的反函数为00x x y x <⎧⎪=≥．9．设2211()f x x xx +=+，求1()f x ． 解 因为222111()()2f x x x x x x+=+=+-，故2()2f u u =-．于是，211()2f x x=-． 10．设1()f x x=+()f x ．解 令1t x =，则1x t=，故11()f t t t ==+．于是，1()f x x =+11．设11()211x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，求(1)f x +，(ln )f x 及(sin )f x ．解 21120(1)2111210x x x x f x x x x x ++≤+≤⎧⎧+==⎨⎨++>+>⎩⎩； ln 1ln 1ln 1e(ln )2ln 1ln 12ln 1e x x x x f x x x x x +≤+≤⎧⎧==⎨⎨->->⎩⎩； (sin )sin 1f x x =+．12．设20(1)1020x x f x x x x ⎧<⎪+==⎨⎪>⎩，求(1)f x -，2()f x 及()x f e ． 解 令1x t +=，则1x t =-，故2(1)1()112(1)1t t f t t t t ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩．于是， 2(2)2(1)122(2)2x x f x x x x ⎧-<⎪-==⎨⎪->⎩；2222(1)1()112(1)1x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩；2(e 1)0(e )102(e 1)0x x x x f x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩． 13．设11()0111x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()e x g x =，求[()]f g x 及[()]g f x ． 解 1()11e 1[()]0()10e 11()11e 1x x x g x f g x g x g x ⎧⎧<<⎪⎪====⎨⎨⎪⎪->->⎩⎩；()1e 1[()]e 11e 1f x xg f x x x -⎧<⎪===⎨⎪>⎩． 14．设1()1xe xf x xx ⎧<=⎨≥⎩，220()10x x g x x x +<⎧=⎨-≥⎩，求[()]f g x 及[()]g f x ． 解22121210[()]01x x e x x x f g x ex x x +-⎧<-⎪+-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩2211[()]11x e x g f x x x ⎧-<=⎨-≥⎩．15．设()ln f x x =，2[()]ln 2f x x ϕ=+，求()x ϕ． 解 因为2[()]ln ()ln 2f x x x ϕϕ==+，所以2()2e x x ϕ= 16．已知()f x 的定义域为(0,1]，求下列复合函数的定义域：(1) (ln )f x ； (2) (e 1)xf -； (3) 1133f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解 (1) 函数(ln )f x 的定义域为{}{}ln (0,1]1e (1,e]D x x x x =∈=<≤=．(2) 函数(ln )f x 的定义域为{}{}e 1(0,1]0ln 2(0,ln 2]xD x x x =-∈=<≤=．(3) 函数1133f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为11(0,1](0,1]33D x x x x ⎧⎫⎧⎫=-∈+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭14123333x x x x ⎧⎫⎧⎫=<≤-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭12,33⎛⎤= ⎥⎝⎦．17．指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的： (1) y=解 函数y =y 3221u x x =++复合而成．(2) 2e 1e 1x x y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭；解 函数2e 1e 1x x y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭由2y u =，e 1e 1x x u +=-复合而成．(3) 21arcsin y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；解 函数21arcsin y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由2y u =，arcsin u v =，1v x =复合而成．(4) sine y =解 函数sine y =由u y e =，2u v =，sin v w =，w =(5) 2(sin cos 1)1y x x =+++；解 函数2(sin cos 1)1y x x =+++由21y u =+，sin cos 1u x x =++复合而成．(6) y =．解 函数sin y =sin y u =，u =ln v w =，21w x =+复合而成．习题1.21．观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散．如果收敛，写出其极限：(1) nn x = (2) 121n n x n +=-；(3) 1sin n x n n π=； (4) [1(1)]1n n nx n =+-+； (5) 22n n x n =； (6) 233n nn nx +=． 解 (1) 收敛于0；(2) 收敛于12；(3) 收敛于0；(4) 发散；(5) 发散；(6) 收敛于1．2．根据数列极限的定义证明： (1) 21lim0n n →∞=；证 对于任意给定的正数ε， 要使210n ε-<，只要21n ε<，即n >． 于是，取正整数N≥，则当N n >时，总有210n ε-<．据数列极限的定义，得21lim0n n →∞=．(2) 313lim212n n n →∞-=+．证 对于任意给定的正数ε，由于313521242n n n --=++， 故要使313212n n ε--<+，只要542n ε<+，即524n εε->． 于是，取正整数524N εε-≥，则当N n >时，总有313212n n ε--<+．据数列极限的定义，得313lim212n n n →∞-=+．3．证明：lim 0n n x →∞=当且仅当lim 0n n x →∞=．证 据数列极限的定义，lim 0n n x →∞=⇔对于任意给定的正数ε， 存在正整数N ，当N n >时，有0n x ε-<；lim 0n n x →∞=⇔对于任意给定的正数ε， 存在正整数N ，当N n >时，有0n x ε-<．由于00n n n x x x -==-，故lim 0n n x →∞=当且仅当lim 0n n x →∞=．4．证明：若lim n n x a →∞=，则lim n n x a →∞=．证 由于()n n n x x a a x a a =-+≤-+， ()n n n n a a x x x a x =-+≤-+，所以n n x a x a -≤-因为lim n n x a →∞=，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε， 存在正整数N ，当N n >时，有n x a ε-<，从而n x a ε-<．再据数列极限的定义，有lim n n x a →∞=．5．对于数列{}n x ，若21lim k k x a -→∞=，且2lim k k x a →∞=，证明：lim n n x a →∞=．证 对于任意给定的正数ε，由21lim k k x a -→∞=知，存在正整数1K ，当1k K >时，有21k x a ε--<；由2lim k k x a →∞=知，存在正整数2K ，当2k K >时，有2k x a ε-<；取{}12max 21,2N K K =-，由当n N >时，有n x a ε-<．因此，lim n n x a →∞=．习题1.31．设e 0()1x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，求lim ()x f x →-∞及lim ()x f x →+∞，并说明lim ()x f x →∞是否存在．解 l i m ()l i m e xx x f x→-∞→-∞==，1lim ()lim0x x f x x→+∞→+∞==．因为lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞==，所以lim ()x f x →∞存在，且lim ()0x f x →∞=．2．设()xf x x =，证明0lim ()x f x →不存在．证 000l i m ()l i m l i m 1x x xx x f x xx ---→→→-===-， 000lim ()lim lim 1x x x x xf x x x+++→→→===． 因为0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以0lim ()x f x →不存在．3．设210()10201x x f x x x x ⎧-<<⎪==⎨⎪<≤⎩，求：(1) 0lim ()x f x →； (2) 1lim ()x f x +→-； (3) 1lim ()x f x -→． 解 (1) 因为2lim ()lim 0x x f x x --→→==，0lim ()lim 20x x f x x ++→→==，故0lim ()0x f x →=． (2) 211lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==．(3) 11lim ()lim 22x x f x x --→→==． 4．设210()201113xx f x xx x x -<<⎧⎪=-<<⎨⎪+≤<⎩，求： (1) 1lim ()x f x +→-；(2) 0lim ()x f x →；(3) 1lim ()x f x →；(4) 2lim ()x f x →；(5) 3lim ()x f x -→． 解 (1) 11lim ()lim 22x x f x x ++→-→-==-．(2) 因为0lim ()lim 20x x f x x --→→==，0lim ()lim (2)0x x f x x ++→→=-=，故0lim ()0x f x →=． (3) 因为11lim ()lim(2)2x x f x x --→→=-=-，11lim ()lim(1)2x x f x x ++→→=+=，故1lim ()x f x →不存在．(4) 22lim ()lim(1)3x x f x x →→=+=．(5) 33lim ()lim(1)4x x f x x --→→=+=． 5．根据函数极限的定义证明： (1) 11lim22x x x →∞+=；证 对于任意给定的正数ε，由于111222x x x+-=， 故要使1122x x ε+-<，只要12x ε<，即12x ε>．于是，取正数12X ε=，则当||x X >时，就有1122x x ε+-<．据函数极限的定义，得11lim22x x x →∞+=．(2) 211lim 21x x x →-=-．证 对于任意给定的正数ε，由于21211x x x --=--， 故要使2121x x ε--<-，只要1x ε-<． 于是，取正数δε=，则当01x δ<-<时，就有2121x x ε--<-．据函数极限的定义，得211lim 21x x x →-=-． 6．证明：lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==．证 (1) 必要性 若lim ()x f x A →∞=，则对于任意给定的正数ε，存在正数X ，当x X >时，有()f x A ε-<，即当x X >或x X <-时，均有()f x A ε-<，故l i m ()x f x A →-∞=，且lim ()x f x A →+∞=．(2) 充分性 若lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==，则对于任意给定的正数ε，存在正数1X 及2X ，当1x X <-或2x X >时，均有()f x A ε-<．令{}12max ,X X X =，则当x X >时，有1x X <-或2x X >，从而有()f x A ε-<，故lim ()x f x A →∞=．7．证明：0lim ()x x f x →＝A 的充分必要条件是0lim ()x x f x -→＝0lim ()x x f x +→＝A ．证 (1) 必要性 若0lim ()x x f x A →=，则对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，即当00x x x δ-<<或00x x x δ<<+时，均有()f x A ε-<，故0lim ()x x f x A -→=，且0lim ()x x f x A +→=．(2) 充分性 若0lim ()x x f x -→＝0lim ()x x f x +→＝A ，则对于任意给定的正数ε，存在正数1δ及2δ，当010x x x δ-<<或002x x x δ<<+时，均有()f x A ε-<．令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有0100x x x x δδ-<-<<或0002x x x x δδ<<+<+，从而有()f x A ε-<，故0lim ()x x f x A →=．习题1.41．下列函数在其自变量的指定变化过程中哪些是无穷小？哪些是无穷大（包括正无穷大与负无穷大）？哪些既不是无穷小也不是无穷大？(1) 1()x f x x-=，当0x →时； 解 因为001limlim 0()1x x xf x x →→==-，所以当0x →时，函数()f x 为无穷大． (2) 221()x f x x+=，当x →∞时； 解 因为221lim ()lim0x x x f x x →∞→∞+==，所以当x →∞时，函数()f x 为无穷小． (3) 21()x f x x+=，当0x →时；解 因为2001lim lim 0()1x x x f x x →→==+，且当(0,1)o x U ∈时，21()0x f x x+=>，所以当0x →时，函数()f x 为正无穷大．(4) 2()(1)xf x x =+，当1x →-时；解 因为2111(1)lim lim 0()x x x f x x→-→-+==，且当(1,1)o x U ∈-时，2()0(1)x f x x =<+，所以当1x →-时，函数()f x 为负无穷大．(5) ()e x f x =，当x →∞时； 解 因为lim ()lim e 0xx x f x →∞→∞=≠且1limlim e 0()x x x f x -→∞→∞=≠，所以当x →∞时，函数()f x 既不是无穷小也不是无穷大．(6) 2()1f x x x =++，当x →-∞时； 解 因为211limlim 0()1x x f x x x →-∞→-∞==++，又当x 充分大，且0x <时，()0f x >，所以当x →-∞时，函数()f x 为正无穷大．(7) sin ()xf x x=，当x →∞时； 解 因为1lim ()lim sin 0x x f x x x→∞→∞==，所以当x →∞时，函数()f x 为无穷小．(8) ()sin f x x =，当x →∞时； 解 因为lim ()lim sin 0x x f x x →∞→∞=≠且11limlim 0()sin x x f x x→∞→∞=≠，所以当x →∞时，函数()f x 既不是无穷小也不是无穷大．2．下列函数在自变量的哪些变化过程中为无穷小？在自变量的哪些变化过程中为无穷大（包括正无穷大与负无穷大）？(1) 31()x f x x+=； 解 当1x →-或x →∞时为无穷小，当0x →时为无穷大．(2) 32()32x xf x x x -=-+；解 当0x →或1x →-时为无穷小，当2x →或当x →∞时为无穷大．(3) ()ln f x x =．解 当1x →时为无穷小，当0x +→时为负无穷大，当x →+∞时为正无穷大． 3．利用无穷小的性质求下列极限： (1) arctan limx xx→∞；解 因为πarctan 2x <，且1lim 0x x →∞=，所以arctan 1lim lim arctan 0x x x x xx →∞→∞==． (2) 2(1)sin limx x x x→∞+； 解 因为sin 1x ≤，且21lim0x x x →∞+=，所以22(1)sin 1lim lim sin 0x x x x x x x x→∞→∞++==． (3) 1cos limx x x→∞+；解 因为1cos 2x +≤，且1lim0x x →∞=，所以 1cos 1lim lim (1cos )0x x x x xx →∞→∞+=+=． (4) 0sin limx x x x→； 解 因为1xx≤，且0lim sin 0x x →=，所以0sin limlim sin 0x x x x xx xx →→==． (5) 2lim 21x x x →∞+；解 因为222121lim lim 0x x x x x x →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2lim 21x x x →∞=∞+．(6) 3lim(1)x x x →∞--；解 因为332311lim lim 01111x x x x x x x→∞→∞==----，所以3lim(1)x x x →∞--=∞．(7) lim sin cos x xx x→∞+；解因为sin cos x x +≤1lim 0x x→∞=，所以sin cos 1lim lim (sin cos )0x x x x x x x x →∞→∞+=+=， 从而 limsin cos x xx x→∞=∞+．(8) 2212lim (1)x x xx →+-．解 因为221(1)lim 02x x x x →-=+，且当(1,1)o x U ∈时，2220(1)x x x +>-，所以2212lim (1)x x xx →+=+∞-． 4．函数sin y x x =在(,)-∞+∞内是否有界？此函数是否为当x →∞时的无穷大？ 解 对任意0M >，必存在正整数k ，使2k M ππ+>．记02x k π=π+，则 00sin ()sin()222x x k k k M πππ=π+π+=π+>，故函数sin y x x =在(,)-∞+∞内无界．对1M =，对任意0X >，存在0x k =π，使0x X >，但00sin sin()01x x k k M =ππ=<=．因此，函数sin y x x =不是当x →∞时的无穷大．习题1.51．求下列极限：(1) 224lim 2x x x →--；解 22224(2)(2)limlim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=--． (2) 230lim x x x x x→-+；解 2322000(1)1lim lim lim 1(1)1x x x x x x x x x x x x x →→→---===-+++．(3) 01lim x x x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 解 201lim lim(1)1x x x x x x →→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭． (4) 22468lim 34x x x x x →-+--；解 2244468(2)(4)22lim lim lim 34(1)(4)15x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===--+-+．(5) 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； 解 32211113(1)(2)2lim lim lim 111(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→-++⎛⎫-===-⎪----++-++⎝⎭． (6) 2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭； 解 222241(2)11lim lim lim 42(2)(2)24x x x x x x x x x →→→---⎛⎫-===-⎪--+-+⎝⎭． (7) 322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；解 322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫-⎪-+⎝⎭3222111lim lim (21)(21)4(2)(2)x x x x xx x x x→∞→∞++===-+-+． (8) 3(2)(23)(34)lim n n n n n→∞+++； 解 3(2)(23)(34)234limlim 1236n n n n n n n n n →∞→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (9) 111lim 1242n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭； 解 1111112lim 1lim2124212n n n n +→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++⋅⋅⋅+== ⎪⎝⎭-．(10) 21lim 31n n n →∞+-；解 212133lim lim 03113nn n nn n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--． (11) sin limsin x x xx x→∞+-；解 11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x x x→∞→∞++==--． (12) 22arctan lim 231x x x xx x →∞+++．解 22211arctan arctan 1lim lim 11231223x x xx x x x x x x x→∞→∞++==++++． 2．设3222221133()1232222x x x x x x f x x x x x x x x ⎧-+-<⎪-⎪-⎪=<<⎨-+⎪-⎪>⎪--⎩，试分别求()f x 在点1x =及2x =处的左右极限，并说明1lim ()x f x →与2lim ()x f x →是否存在．解 32211122lim ()lim lim(2)31x x x x x x f x x x ---→→→-+-==+=-， 2111333lim ()lim lim 3322x x x x f x x x x ++-→→→--===-+-， 因为11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()3x f x →=． 2222333lim ()lim lim 322x x x x f x x x x ---→→→--===+∞-+-， 2222211lim ()lim lim 213x x x x f x x x x +++→→→-===--+， 因为2lim ()x f x -→不存在，所以2lim ()x f x →不存在． 3．设334342312()342041x x x x x f x x x x x x x ⎧++<⎪⎪+=⎨++⎪≥⎪++⎩，求lim ()x f x →-∞及lim ()x f x →+∞，并说明lim ()x f x →∞是否存在．解 33231lim ()lim22x x x x f x x x →-∞→-∞++==+，434342lim ()lim 341x x x x xf x x x →+∞→+∞++==++， 因为lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞≠，所以lim ()x f x →∞不存在．4．设243()1x f x ax b x +=++-，若已知： (1) lim ()0x f x →∞=； (2) lim ()2x f x →∞=； (3) lim ()x f x →∞=∞，试分别求这三种情形下常数a 与b 的值．解 2243(4)()(3)()11x a x b a x b f x ax b x x +++-+-=++=--． (1) 由lim ()0x f x →∞=得40a b a +=⎧⎨-=⎩，故4a b ==-．(2) 由lim ()2x f x →∞=得402a b a +=⎧⎨-=⎩，故4a =-，2b =-．(3) 由lim ()x f x →∞=∞得40a +≠，故4a ≠-，b 为任意实数．5．已知232lim 3x x x k x →-+-存在且等于a ，求常数k 与a 的值．解 因为232lim3x x x ka x →-+=-，故 222333322lim(2)lim (3)lim lim(3)0033x x x x x x k x x kx x k x x a x x →→→→-+-+-+=-=⋅-=⋅=--． 另一方面，23lim(2)3x x x k k →-+=+，故3k =-．于是233323(3)(1)lim lim lim(1)433x x x x x x x a x x x →→→---+===+=--．6．已知21lim 1x x kx x →∞⎛⎫+-⎪+⎝⎭存在且等于a ，求常数k 与a 的值． 解 因为221(1)1lim lim 11x x x k x kx kx a x x →∞→∞⎛⎫+--+-== ⎪++⎝⎭， 故10k k a -=⎧⎨-=⎩，由此得：1k =，1a =-．7．设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞．指出下列陈述哪些是正确的，哪些是错误的．如果是正确的，说明理由；如果是错误的，给出反例．(1) n n a b < ()+N n ∀∈； (2) n n b c < ()+N n ∀∈； (3) lim 0n n n a c →∞=； (4) lim n n n a c →∞=∞；(5) lim n n n a c →∞不存在； (6) lim n n n b c →∞不存在．解 (1) 错误，例如：2n a n =，1n n b n =+． (2) 错误，例如：1n nb n =+，(1)n n c n =-． (3) 错误，例如：1n a n =，n b n =．(4) 错误，例如：1n a n =，n b n =．(5) 错误，例如：1n a n=，n b n =．(6) 正确，因为若lim n n n b c →∞存在，则11lim lim lim()lim n n n n n n n n n n n c b c b c b b →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也存在，与已知条件矛盾．习题1.61．求下列极限：(1) 222233331111lim 2(1)n n n n n nn n n n n n n →∞⎡⎤+++++++⋅⋅⋅+⎢⎥+++-⎣⎦； 解 因为222222333333(1)1111(1)(1)2(1)n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++⋅⋅⋅+≤+-+++-， 而且223211(1)lim lim 111(1)1n n n nn n n n n n→∞→∞++==+-+-，232(1)1lim lim(1)1n n n n n n →∞→∞+=+=， 故由夹逼准则得222233331111lim 12(1)n n n n n n n n n n n n n →∞⎡⎤+++++++⋅⋅⋅+=⎢⎥+++-⎣⎦．(2) lim n →∞⎛⎫⋅⋅⋅+； 解 因为≤≤，而且lim1n n ==，1n n ==，故由夹逼准则得lim 1n →∞⎛⎫⋅⋅⋅+=． (3) 1234lim 3x x xxx →+∞⎛⎫++⎪⎝⎭；解 因为1111442343443333x x x x xxxxx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅=≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而且14lim43x x→+∞=，故由夹逼准则得1234lim 43x x xxx →+∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭．(4) n 解 因为133n n+≤≤=，而且1lim 33n nx +→+∞=，故由夹逼准则得3n =．2．利用极限存在准则证明：(1) !lim0nn n n →∞=；证 记!n n n x n =，则1(1)!(1)1!(1)nn n n nn x n n n x n n +++==<+，故数列{}n x 单调减少；又!0n n n x n=>，故数列{}n x 有下界．由单调有界准则得，lim n n x →∞存在．令lim n n x x →∞=，则由1(1)nn n nn x x n +=+两边令n →∞得，1e x x =，故0x =．于是， !lim0nn n n →∞=．(2) lim 0(0)!nn a a n →∞=>； 证 记!n n a x n =，则11(1)!11!n n n n a x a n a x n n +++==<+（当n 充分大时），故数列{}n x 单调减少；又0(0)!nn a x a n =>>，故数列{}n x 有下界．由单调有界准则得，lim n n x →∞存在． 令lim n n x x →∞=，则由11n n ax x n +=+两边令n →∞得，0x =．于是， lim 0(0)!n n a a n →∞=>． (3) 222111lim 123n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭存在． 证 因为 222111111011231223(1)n n n<+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ 111111(1)()()2231n n =+-+-+⋅⋅⋅+--122n=-<，故数列222111123n ⎧⎫+++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭有界，又显然数列222111123n ⎧⎫+++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭单调增加，故由单调有界准则得，222111lim 123n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭存在． 3．设1x (0)a >，1n x +=(1,2,)n =⋅⋅⋅，证明lim n n x →∞存在，并求该极限．证 先用数学归纳法证明1n n x x +>：由于21x x ==>=，故当1n =时，1n n x x +>成立．假设当n k =时，1n n x x +>成立，即1k k x x +>，则21k k x x ++=，故当1n k =+时，1n n x x +>也成立．据归纳法原理得，对任意正整数，均有1n n x x +>，即数列{}n x 单调增加．又由1n n x x +=>得，20n n x x a --<，从而12n x +<，故数列{}n x 有上界．由单调有界准则得，lim n n x →∞存在．令lim n n x x →∞=，则由1n x +=n →∞得，20n n x x a --=．于是，1lim 2n n x →∞=． 4．求下列极限：(1) lim sinn n n→∞π；解 ππsinπlim sin limππn n n n n n→∞→∞⋅==． (2) 0sin 2lim tan 3x xx→；解 00sin 22sin 222lim lim sin 3333x x xx x x x→→⋅==⋅．(3) 31sin(1)lim 1x x x →--； 解 3211sin(1)sin(1)1limlim 1(1)(1)3x x x x x x x x →→--==--++． (4) 2cos lim2x xx π→-π；解 π22πsin()cos 12lim lim π222()2x x x x x x π→→-==--π--． (5) sin lim tan x xxπ→；解 sin limlimcos 1tan x x xx x →π→π==-． (6) 20sec cos lim x x xx →-；解 22200sec cos sin limlim 1cos x x x x xx x x →→-==．(7) 0lim x -→解0022lim limlim lim 22x x x x x x xx----→→→→⋅====(8) 01cos 4limsin x xx x→-；解 222000sin 281cos 42sin 2(2)limlim lim 8sin sin sin x x x xx x x x x xx x x→→→⋅-===．(9) 02sin lim 2sin x x xx x→-+；解 00sin 22sin 1lim lim sin 2sin 32x x x x x x x x x x→→--==++． (10) lim 2sin (0)2nn n x x →∞≠．解 sin 2lim 2sin lim 22n n n n n nx xx x x →∞→∞⋅==．5．求下列极限：(1) 3lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；解 33333lim 1lim 1e xxx x x x ---→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． (2) 21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭； 解 22211lim lim 1e xx x x x x x →∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．(3) ()cot 0lim 1tan xx x →-；解 ()[]11cot 1tan 0lim 1tan lim 1(tan )e xx x x x x ---→→⎧⎫-=+-=⎨⎬⎩⎭． (4) ()311lim 32x x x -→-；解 ()[]613622111lim 32lim 1(22)e x x x x x x ----→→⎧⎫-=+-=⎨⎬⎩⎭． (5) 2csc 0lim(cos 2)xx x →；解 22221csc 2csc222sin 00lim(cos 2)lim(12sin )lim 1(2sin )e xxx x x x x x x ---→→→⎧⎫⎡⎤=-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭． (6) 2lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭； 解 422444244lim lim 11e 1e 222x xx x x x x x -→∞→∞⎧⎫⎡⎤+⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+=⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭． (7) 224lim 21xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭； 解 521215552455lim lim 11e 1e 212121x xx x x x x x -+----→∞→∞⎧⎫⎡⎤---⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+=⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭． (8) 2223lim 1n n n n →∞⎛⎫+⎪+⎝⎭； 解 222112222222322lim lim 11e 1e 111n n n n n n n n +-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+=⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭． (9) 211lim x x x-→；解 []22121111lim lim 1(1)e x x x x xx --→→⎧⎫=+-=⎨⎬⎩⎭． (10) 11lim(2)x x x x +→-+．解 [][]1(1)11111lim(2)lim 1(1)1(1)e x x x x x x x x ⋅--++→-→-⎧⎫+=++++=⎨⎬⎩⎭．习题1.71．当0x →时，2x x -与23x x -相比，哪一个是高阶无穷小？解 因为23200lim lim 0x x x x x x x →→-==-,所以当0x →时，23x x -是比2x x -高阶的无穷小.2．当1x →时，无穷小1x -与下列无穷小是否同阶？是否等价？(1) 21x -； (2) 1)； (3)11x-； (4) ln x ． 解 (1) 因为211111lim lim 112x x x x x →→-==-+,所以当1x →时，无穷小1x -与21x -同阶但不等价．(2) 因为111lim 12x x →→==,所以当1x →时，无穷小1x -与1)同阶且等价．(3) 因为111limlim()111x x x x x→→-=-=--,所以当1x →时，无穷小1x -与11x -同阶但不等价．(4) 因为111111limlim lim 1ln ln[1(1)]1x x x x x x x x x →→→---===+--,所以当1x →时，无穷小1x -与ln x 同阶且等价．3．设当0x →时，sec cos x x -a 与n ．解 因为当0x →时，sec cos x x -22000lim112x x x xnxxa→→→→====, 由此得:14a=，2n=.4．设当0x→时，21cos()x-是sin nx x的高阶无穷小，而sin nx x又是2e1x-的高阶无穷小，求正整数n．解因为当0x→时，2411cos()~2x x-，1sin~n nx x x+，22e1~x x-，故由题设得:412n>+>，从而2n=.5．已知当0x→时，x的k阶无穷小，求常数k．解因为当0x→时，x的k阶无穷小，且2 0000111ln[1(cos1)](cos1)224lim lim limk k k x x x xx x xx x x →→→→+---===,故12a=，2k=.6．利用等价无穷小代换法求下列极限：(1)arctan2limarcsin3xxx→；解00arctan222lim limarcsin333x xx xx x→→==．(2)21lime1xx→-；解222001112lim lim2e1xx xxx→→==-．(3)23sinlimtan()xx xx→；解223300sinlim lim1tan()x xx x x xx x→→⋅==．(4) 0ln(12)lim 1sec x x x x→--；解 0002ln(12)ln(12)cos (2)lim lim lim 411sec (1cos )2x x x x x x x x x x x x x→→→--⋅-===----．(5) 20sin tan limln(1)x x xx x →-+；解 22220001()sin tan tan (cos 1)12lim lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===-++⋅． (6) 1e e lim ln x x x→-；解 1111e e e(e 1)e(1)lim lim lim e ln ln[1(1)]1x x x x x x x x x -→→→---===+--．(7) 1lim lnx x x x→∞+； 解 111lim lnlim ln 1lim 1x x x x x x x x x x →∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (8) 0sin()lim sin m n x x x→(,)+N m n ∈． 解 0000sin()limlim lim 1sin mmm n n n x x x m nx xx m n x x m n -→→→>⎧⎪====⎨⎪∞<⎩．习题1.81．研究下列函数在指定点处的连续性：(1) ()110()exx x f x x ⎧⎪-≠=⎨=⎪⎩，0x =；解 因为()110lim ()lim 1e (0)xx x f x x f -→→=-=≠，所以()f x 在点0x =处不连续．(2) sin 0()1x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，0x =；解 因为00sin lim ()lim1(0)x x xf x f x→→===，所以()f x 在点0x =处连续．(3) 20()20111x x f x xx x x ⎧<⎪=<<⎨⎪-≥⎩，0x =，1x =． 解 因为()f x 在点0x =处无定义，所以()f x 在点0x =处不连续．因为11lim ()lim 22x x f x x --→→==，11lim ()lim(1)0x x f x x ++→→=-=，所以11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠， 从而()f x 在点1x =处不连续．2．讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型：(1) 221()32x f x x x -=-+；解 ()f x 为初等函数，其定义域为(,1)(1,2)(2,)-∞+∞．由初等函数的连续性知，函数()f x 在其定义区间(,1),(1,2),(2,)-∞+∞内连续，而点1x =及2x =为间断点．因为2211111lim ()lim lim 2322x x x x x f x x x x →→→-+===--+-， 所以1x =是)(x f 的第一类间断点，且是可去间断点．因为22221lim ()lim 32x x x f x x x →→-==∞-+， 所以2x =是)(x f 的第二类间断点，且是无穷间断点．(2) 22()(1)x xf x x x -=-； 解 ()f x 为初等函数，其定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞．由初等函数的连续性知，函数()f x 在其定义区间(,1),(1,0),(0,1),(1,)-∞--+∞内连续，而点1x =-，0x =及1x =为间断点．因为2211lim ()lim (1)x x x xf x x x →-→--==∞-， 所以1x =-是)(x f 的第二类间断点，且是无穷间断点．因为220001lim ()lim lim 1(1)(1)x x x x x f x x x x ---→→→-===---+， 220001lim ()lim lim 1(1)1x x x x x f x x x x +++→→→-===-+， 所以0x =是)(x f 的第一类间断点，且是跳跃间断点． 因为2211111lim ()lim lim (1)12x x x x x f x x x x →→→-===-+， 所以1x =是)(x f 的第一类间断点，且是可去间断点．(3) 21e 0()10e 10xx x f x x x x⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩； 解 ()f x 为分段函数，显然()f x 在区间(,0),(0,)-∞+∞内连续．因为100lim ()lim e 0xx x f x --→→==， 22000e 1lim ()lim lim 0x x x x x f x xx +++→→→-===，但(0)1f =，所以0x =是)(x f 的第一类间断点，且是可去间断点．(4) 2ln 01()(1)122x x f x x x x ⎧⎪<<⎪⎪=-≤≤⎨⎪>．解 ()f x 为分段函数，显然()f x 在区间(0,1),(1,2),(2,)+∞内连续． 因为11lim ()lim ln 0x x f x x --→→==， 211lim ()lim(1)0x x f x x ++→→=-=， 且(1)0f =，所以1x =是)(x f 的连续点．因为222lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=，2222(2)lim ()lim lim 2)42x x x x x f x x ++++→→→→-====-， 所以2x =是)(x f 的第一类间断点，且是跳跃间断点．3．求函数()f x =2lim ()x f x →． 解 ()f x 为初等函数，其定义域为(,3)[1,2)(2,)-∞--+∞．由初等函数的连续性知，函数()f x 的连续区间为(,3),[1,2),(2,)-∞--+∞．22lim ()x x x f x →→→===4．设21cos 0()00x x x f x bx x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨> (0)a > 当常数,ab 为何值时，(1) 0x =是函数()f x 的连续点？ (2) 0x =是函数()f x 的可去间断点？ (3) 0x =是函数()f x 的跳跃间断点？解 22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x ---→→→-===，0lim ()lim lim x x x f x +++→→→===， (0)f b =．(1) 当0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，即11,2a b ==时，0x =是函数()f x 的连续点．(2) 当0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→=≠，即11,2a b =≠时，0x =是函数()f x 的可去间断点．(3) 当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，即1a ≠，b 为任意实数时，0x =是函数()f x 的跳跃间断点．5．求函数212()lim 1n nn x x f x x +→∞-=+的间断点，并判别间断点的类型．解 2121()lim0111n nn x x x x f x x x x x +→∞⎧<-⎪===⎨+⎪->⎩． 因为1(1)lim ()1x f x --→--=-=，1(1)lim 1x f x ++→--==-，所以1x =-为()f x 的第一类间断点，且为跳跃间断点．因为1(1)lim 1x f x --→==，1(1)lim()1x f x ++→=-=-，所以1x =为()f x 的第一类间断点，且为跳跃间断点．6．求下列极限：(1) 1x → 解11x →==．(2) 2x解22112342x x --==．(3) 2x →解22x →==(4) 2csc 0lim(cos )xx x →；解 []2222021cos 1121limlim csc sin 2sin 0lim(cos )lim 1(cos 1)eee x x x x xxx x x x x x →→---→→=+-===(5) ()10lim 1ex xxx x +→+；解 ()11lim e lim e (1)lim 1eeee xx x x x x x x xxxx x →→+++→+===(6) 22221lim x x x x x x →∞⎛⎫++⎪+⎝⎭；。

高等数学重大版教材答案**注意：本文仅提供高等数学重大版教材答案，不含任何解题思路和详细解释。

**第一章：函数与极限1.1 函数概念及表示法1.2 映射与初等函数1.3 函数的极限与连续第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.2 基本微分法与常见初等函数的导数2.3 高阶导数与隐函数及参数方程的导数2.4 微分中值定理与导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 有理函数的积分法3.4 特殊函数的积分法第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 牛顿-莱布尼茨公式4.3 定积分的计算方法4.4 定积分的应用第五章：定积分的应用5.1 几何应用5.2 物理应用5.3 统计应用第六章：多元函数微分学6.1 二元函数及其表示6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数及参数方程的偏导数6.4 多元函数的极值与最值第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算方法第八章：无穷级数8.1 无穷数列8.2 无穷级数8.3 幂级数8.4 函数项级数第九章：常微分方程9.1 一阶微分方程9.2 高阶微分方程9.3 变量可分离的方程9.4 齐次方程第十章：向量代数与空间解析几何10.1 向量的表示与运算10.2 空间直线与平面的方程10.3 空间曲线与曲面的方程10.4 空间曲线与曲面的切线与法线第十一章：多元函数积分学的应用11.1 二重积分的应用11.2 三重积分的应用第十二章：常系数线性微分方程12.1 齐次线性微分方程12.2 非齐次线性微分方程12.3 常系数高阶线性微分方程第十三章：傅里叶级数13.1 傅里叶级数的定义与性质13.2 傅里叶级数的计算13.3 奇偶函数的傅里叶级数13.4 周期函数的傅里叶级数第十四章：拉普拉斯变换14.1 拉普拉斯变换的定义与性质14.2 拉普拉斯变换的计算14.3 拉普拉斯逆变换与初值问题14.4 拉普拉斯变换的应用第十五章：曲线积分与曲面积分15.1 曲线积分15.2 曲面积分第十六章：无穷级数的收敛与发散16.1 正项级数与一般级数16.2 收敛级数的性质16.3 判别级数敛散的方法总结- 文章连接思路清晰，按照教材章节顺序排布，每章标题精确对应教材内容。

重大高等数学上教材答案在高等数学教学中，教材答案是学生们学习和掌握数学知识的一种重要辅助工具。

通过查阅教材答案，学生可以及时了解自己的学习进展，并对自己的错题进行复习和纠正。

本文将为大家提供重大高等数学上教材的答案。

第一章：函数及其图像1.1 函数的概念题目1：判断下列是否为函数解答：a) 是函数，因为一个自变量x只对应一个唯一的函数值y。

b) 不是函数，因为一个自变量x对应两个函数值y1和y2。

...第二章：极限与连续2.1 极限的定义题目1：计算极限解答：a) 当x趋于0时，sinx/x的极限是1。

b) 当x趋于正无穷时，e^x/x的极限是正无穷。

...2.2 连续的概念题目2：判断函数在指定点是否连续解答：a) 函数在x=2处连续。

b) 函数在x=0处不连续，因为左极限不等于右极限。

...第三章：导数与微分3.1 导数的概念题目1：求函数的导数解答：a) f(x)的导数为f'(x)=2x。

b) g(x)的导数为g'(x)=3cosx。

...3.2 导数的运算法则题目2：利用导数的运算法则，求函数的导数解答：a) h(x)=3x^2，则h'(x)=6x。

b) f(x)=sinx+2x^3，则f'(x)=cosx+6x^2。

...第四章：定积分4.1 定积分的概念题目1：计算定积分解答：a) ∫[0,1] (2x+1)dx = 2∫[0,1] xdx + ∫[0,1] dx = 2(1/2) + 1 = 2。

b) ∫[-π,π] sinx dx = 0。

...4.2 定积分的计算方法题目2：利用定积分的计算方法，计算定积分解答：a) ∫[0,1] x^2 dx = 1/3。

b) ∫[1,2] (x^3+2x-1) dx = (1/4)x^4 + x^2 - x ∣[1,2] = (1/4)2^4 + 2^2 - 2 - ((1/4)1^4 + 1^2 - 1) = 5.5。

高数上册课后习题答案高数上册课后习题答案高等数学作为大学本科教育中的一门重要课程，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。

然而，由于高数上册课程的难度较大，学生们往往会在课后习题上遇到一些困难。

为了帮助大家更好地理解和掌握高数上册的知识，本文将提供一些常见习题的答案和解析。

第一章：极限与连续1. 计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 + 2x^2 - 5}$。

解析：将分子和分母同时除以$x^3$，得到 $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}$。

当$x$趋向于无穷大时，分子的前两项趋近于0，分母的后两项趋近于0，所以原式等于$\frac{0}{1+0-0}=0$。

2. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

解析：将分子展开，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...)-1-x}{x^2}$。

化简后得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...}{x^2}$。

当$x$趋向于0时，分子的每一项都趋近于0，所以原式等于 $\frac{0}{1}=0$。

第二章：导数与微分1. 求函数 $y = x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ 在点 $x = 2$ 处的导数。

解析：对函数进行求导，得到 $y' = 3x^2 - 8x + 3$。

将$x$的值代入，得到$y'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 3 = 4$。

所以函数在点 $x = 2$ 处的导数为4。

大学高等数学上册教材答案导言：大学高等数学上册是一门重要的数学课程，对于大学生学习数学以及发展逻辑思维具有重要意义。

在学习过程中，答案是一个必不可少的辅助工具，能够帮助学生检验学习的掌握程度。

本文将为大学高等数学上册教材中的部分习题提供答案与解析，有助于学生查漏补缺，提高数学能力。

1. 第一章：函数与极限1.1 概念与性质1.1.1 【例1】已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求函数f(x)在x=2处的极限值。

答案：首先将x=2代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=9。

因此，函数f(x)在x=2处的极限值为9。

1.2 函数的极限1.2.1 【例2】求函数f(x)=3x^2-2x+5在x趋于无穷大时的极限。

答案：当x趋于无穷大时，可以使用“洛必达法则”来求解极限。

根据洛必达法则，对于f(x)=3x^2-2x+5，在x趋于无穷大时，求导得到f'(x)=6x-2。

因此，函数f(x)在x趋于无穷大时的极限为正无穷。

2. 第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 【例3】已知函数f(x)=2x^3-4x+1，求函数f(x)的导数。

答案：对函数f(x)=2x^3-4x+1求导数，即对各项依次求导。

得到f'(x)=6x^2-4。

2.2 基本初等函数的导数2.2.1 【例4】求函数f(x)=sin(3x)的导数。

答案：根据基本初等函数的导数性质，对于函数f(x)=sin(3x)，其导数为f'(x)=3cos(3x)。

3. 第三章：微分中值定理与导数应用3.1 微分中值定理3.1.1 【例5】应用微分中值定理证明: 函数f(x)=x^3-4x在开区间(-2,2)内至少有一个零点。

答案：根据微分中值定理，对于函数f(x)=x^3-4x，当x在(-2,2)内取到两个不同的值时，必然存在某个c，使得f'(c)=0。

因此，函数f(x)=x^3-4x在开区间(-2,2)内至少存在一个零点。

重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。

解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。

2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。

解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。

然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。

第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。

解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。

首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。

将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。

2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。

解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。

对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。

由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。

于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。

第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。

解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高等数学1教材答案解析完整版一、函数与极限在高等数学1教材中，函数与极限是一个重要的章节。

本章主要介绍了函数的定义、性质和分类，以及极限的概念、性质和计算方法。

1. 函数的定义和性质函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个数集之间的对应关系。

在高等数学1教材中，函数的定义为：设有两个非空数集A和B，如果对于每一个A中的元素x，都有且只有一个B中的元素y与之对应，那么就称这种对应为函数。

函数通常用f(x)表示。

函数还有一些重要的性质，包括定义域、值域和图像。

定义域是指函数的自变量可能取值的集合，值域是指函数的因变量可能取值的集合，图像是指函数在平面上的点的集合。

通过这些性质，我们可以更好地理解函数的特点。

2. 极限的概念和性质在高等数学1教材中，极限是函数与变量之间的重要关系。

极限的概念可以从两个方向进行讨论：自变量趋于某一点时的极限和自变量趋于无穷大时的极限。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限。

极限还具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保号性。

唯一性指的是函数的极限值是唯一确定的；局部有界性指的是在某一点的某一邻域内，函数的值有上界和下界；保号性指的是当函数的极限存在且不为零时，函数在某一点附近总是保持正号或负号。

二、导数与微分导数与微分是高等数学1教材中的另一个重要章节。

本章主要介绍了导数与微分的概念、性质和计算方法。

1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的局部性质。

在高等数学1教材中，导数的定义为：设函数f(x)在点x处有定义，在x处若极限\[f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数。

常用的导数符号为f'(x)或$\frac{df}{dx}$。

大学教材高等数学上答案第一章：极限与连续性1.1 极限的概念与性质1.2 无穷大与无穷小1.3 极限存在准则1.4 极限运算法则1.5 两个重要极限1.6 函数连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.2 导数的基本公式2.3 常见函数的导数2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程2.6 微分与微分近似第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 导数的应用3.3 泰勒公式与多项式逼近3.4 曲线凹凸性与拐点3.5 最值与最优化问题第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分公式与常见积分4.3 积分方法与换元积分法4.4 分部积分法与三角函数积分4.5 有理函数的积分4.6 径向函数的积分第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 牛顿-莱布尼茨公式5.3 定积分的计算5.4 反常积分5.5 曲线的弧长与曲面的面积第六章：定积分的应用6.1 几何应用6.2 物理应用6.3 概率统计应用6.4 空间曲线的长度6.5 平面曲线的面积6.6 周期函数的平均值与均值公式第七章：常微分方程7.1 基本概念与术语7.2 可分离变量方程7.3 一阶线性微分方程7.4 高阶常系数线性微分方程7.5 非齐次线性微分方程7.6 二阶常系数线性微分方程7.7 模拟与改进第八章：多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续性8.2 偏导数与全微分8.3 隐函数与逆函数8.4 方向导数与梯度8.5 高阶导数与泰勒展开8.6 多元函数的极值与条件极值第九章：多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算9.3 二重积分的应用9.4 三重积分的概念与性质9.5 三重积分的计算9.6 三重积分的应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 基本的曲线积分计算10.4 曲线积分的应用10.5 第一类曲面积分10.6 第二类曲面积分10.7 张量计算第十一章：向量场与无散场11.1 向量场11.2 梯度场与势函数11.3 散度与无散场11.4 协变导数与无旋场第十二章：级数12.1 数项级数的概念与性质12.2 正项级数的审敛法12.3 一般级数12.4 幂级数与函数展开12.5 函数与级数之间的转换本文是关于大学教材高等数学上的答案整理，按照教材的章节顺序进行内容概述，考虑到篇幅限制，只给出了每一章的主要内容。