华师大2008年秋期泸县云锦中学八年级上期数学期中考题

华师大版八年级上期期中质量评估数 学 答 案 一.选择题（每小题3分，共24分)9. ±8 10. 34a 11. B 12. 13 13. 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。

14. 135° 15. 20 16. 172.5° 三.解答题 (共72分)17.因式分解（每小题4分，共8分） （1）y y 482-解：原式=4y （2y －1）.............4分 （2） ()22241m m -+解：原式=（m 2+1+2m ）（m 2+1－2m ）.....2分=（m+1）2（m －1）2 ..... 4分 18.计算（1,2每小题4分，3小题6分，共14分） （1）100029998100002⨯-22222210000(100002)(100002)10000(100002).........................1000010000 4...............................34......................... ...................................--⨯+........1=--===-+分2分分解：原式..4分（2） （16x 3－8x 2＋4x ）÷（－2x ）284 2.............4x x =-+-解：原式分（3）已知：()()237121,10.064x y -=+=-()()237121,10.06471110.8=184, 1.8..............................22,=18, 1.8. (4401)3............................x y x y x y x x y -=+=--=±+=--=-≥=-==--=解：因为所以，所以或分由题意可知所以分原式......................................6分 19.先化简，再求值（每小题6分，共12分）（1）2585344212m m m n m m n m n --++--==-（）（），其中，．22222=8+5151610..................2=325.....................................................421=322521=3+50=38......4..........................................m m mn m mn m mn m n -----==--⨯-⨯⨯--⨯解：原式分分当，时，原式（）...6分（2）22[(2)42]2x y y xy x --+÷， 其中 2,1==y x2222=[x 4442]2..............2[x 2]21 (42)131,2=12= (622)xy y y xy x xy x x y x y -+-+÷=-÷=-==⨯--当解：原式分分时，原式分20.阅读下面因式分解的过程（6分）22222627233927................2(3)6(36)(36)....................4(3)(9)...............................6x x x x x x x x x --=-••+--=--=-+--=+-分分分21.（10分）证明：（1）∵AB=AC，D 是BC 的中点， ∴∠BAE=∠EAC，......................2分在△ABE 和△ACE 中，，......3分∴△ABE≌△ACE（SAS ），∴BE=CE； ....................4分 （2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF=BF， ....................6分 ∵AB=AC，点D 是BC 的中点，∴AD⊥BC， ......................7分 ∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF， ........................8分在△AEF 和△BCF 中，，∴△AEF≌△BCF（ASA ）．....................9分 ∴AE =BC ．....................10分 22.（10分） 解：（1）∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，........................1分 ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米．..................................2分 又∵835PC =-=厘米，∴PC BD =． ....................................3分 又∵AB AC =，AQCDBPAQD∴B C ∠=∠， ...................................5分 ∴BPD CQP △≌△．................................6分 （2）∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，.........................7分又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，....8分 ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，...........................9分 ∴515443Q CQ v t===厘米/秒．................................... 10分 23.（12分） 解：（1）EP=FQ ，理由如下：................................1分 如图1，∵Rt △ABE 是等腰三角形，∴EA=BA ． ∵∠PEA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAG=90°，∴∠PEA=∠BAG.................................2分 在△EAP 与△ABG 中，∴△EAP ≌△ABG （AAS ）， ∴EP=AG............3分同理AG=FQ ．............4分 ∴EP=FQ ．............5分（2）如图2，HE=HF ．........ 6分 理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q ．............7分 由（1）知EP=FQ ． 在△EPH 与△FQH 中，∵∴△EPH ≌△FQH （AAS ）． ∴HE=HF ；............9分 （3）288............12分。

最新华师大版八年级上册数学期中测试卷及答案班级___________ 姓名___________ 成绩_______题号 一 二 三 总分 得分一.选择题（每小题3分，共24分）1. 9的算术平方根是（ ）（A ） 3± （B ） 3 （C ） 3- （D ） 81 2. 如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）103. 在实数0，π，227，2，-9中，无理数的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）（A ）()()3392-+=-x x x （B ）1)5(152-+=-+x x x x（A ） （D ）5. 下列命题中，是假命题的是（ ）（A ）互补的两个角不能都是锐角 （B ）所有的直角都相等 （C ）乘积是1的两个数互为倒数 （D ）若 ,,c a b a ⊥⊥则c b ⊥ 6. 小明认为下列括号内都可以填4a ，你认为使等式成立的只能是（ ）（A ）=12a （ ）3 （B ）=12a （ ）4（C ）=12a （ ）2（D ）=12a （ ）6()()xx x x x 322342+-+=+-()()4222-=-+x x x7. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去 （A ） ① （B ） ② （C ） ③ (D) ④图（1） 图（2）7题图 8题图8. 图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a ＞b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）(A) 2ab (B) 2()a b + （C ）2()a b - (D)22a b -二、填空题（每小题3分，共18分）9. 下列结论：①数轴上的点只能表示有理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个。

A.m<-B.m>--C.mv-一D.m>-期中检测卷本大题共10小题,每小题4分满分40分)、选择题2. 已知△ABC 平移后得到A A i B i C i,且A i(-2,3),B i(-4,-1),C i(m,n),C(m+5,n+3),则A,B 两点的坐标分别为A. (3,6),(i,2)B.(-7,0),(-9,-4)C.(i,8),(-i,4)D.(-7,-2),(0,-9)3. 对于直线y=kx+b，若b减小一个单位，则直线将A. 向左平移一个单位C.向上平移一个单位4. 一次函数y=ax+b的图象过第-A.a< 0,b< 0B.a<0,b>05. 下列命题中是假命题的为A.如果=a ,那么a > 0C.如果ab>0,那么a>0,b>0B. 向右平移一个单位D.向下平移一个单位、四象限，则结论中正确的是C. a> 0,b> 0D.a> 0,b< 02 2B. 如果a =b ,那么a=b或a=-b6•如图，已知△ABC 为直角三角形，/C=90。

，若沿图中虚线剪去/ C,则/ 1+ / 2等于 A.315 ° B.270 ° C.180 °D.135 °7•早上,小明以一个较快的速度匀速赶往学校，上午在教室里上课，中午以较慢的速度匀速回家 F 列图象能大致反应这一过程的是8•在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（a ，b ），若规定以下三种变换：①△（a ，b ）=（-a ，b ）;②O （a ，b ）=（-a ，-b ）;③ Q （a ，b ） = （a ，-b ）•按照以上变换有:00（1,2））= （1,-2）,那么 0（ 0（3,4））等于 A.（3,4）B.（3,-4）C.（-3,4）D.（-3,-4）9•一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不 出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个 常数,容器内的水量y （单位:升）与时间x （单位:分）之间的函数关系如图所 示•则每分钟出水量及从某时刻开始的 9分钟时容器内的水量分别是 C-升,25 升D.-升，一升10.如图，在 A ABC 中，/ BAC= 90 °,AD 是高,BE 是中线,CF 是角平分 线,CF\离学粒鹿离j__k __— k __"乙 ____ .吋㈣时同时同BCDA-升，一升B L 升，——升A ・①②③④B ・①②③D.①③、填空题（本大题共4小题,每小题5 分,满分20分）交AD于点G,交BE于点H,下列说法正确的是①S M BE=S M CE;② / AFG= / AGF;③ / FAG= 2/ ACF :④BH=CH.11.函数y= -中自变量x 的取值范围是 x w 213.甲、乙两名大学生去距学校 36千米的某乡镇进行社会调查.他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车前往，乙骑电动车按 原路返回.乙取相机后(在学校取相机所用时间忽略不计 ),骑电动车追甲.在距乡镇13.5千米处追上甲后同车前往乡镇.电动车的速度始终不变.设甲与学校相距y 甲仟米),乙与学校相距y 乙(千米),甲离开学校的时间为x(分钟).y 甲,y 乙与x 之间的函数图象如图所示，则乙返回到学校时，甲与学校相距 20千米. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+2)叫做点P 的衍生点.已知点 A 1的衍生点为A 2,点A 2的衍生点为A 3,点A 3的衍生点为A 4,…，这样依次得到点 A 1,A 2,A 3,…,A n . 若点A 1的坐标为(a,b),点A 2019在第四象限 则a,b 的取值范围分别为 a<-1,b>3 .三、(本大题共2小题,每小题8分，满分16分)15. 如果|3x-13y+16|+|x+ 3y-2|= 0,那么点P(x,y)在第几象限?点Q(x+1,y-1)在坐标平面内的什么 位置？解:根据题意，得 •••点P(-1,1)在第二象限，点Q(0,0)在坐标原点16. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假 (1) 女口果 |a|=|b|，那么 a=b;2⑵如果a>0,那么a >0;(3)同旁内角互补，两直线平行. 解:(1)逆命题：如果a=b ,那么|a|=|b|.12.已知一个三角形的三边长为2,5,a,且此三角形的周长为偶数，则a= 5解得11.函数y= -中自变量x的取值范围是x w 2原命题为假命题，逆命题为真命题.⑵逆命题:如果a2> 0,那么a> 0.原命题为真命题，逆命题为假命题⑶逆命题俩直线平行，同旁内角互补原命题和逆命题都是真命题四、(本大题共2小题,每小题8分，满分16分)17. A ABC和△A'BC在平面直角坐标系中的位置分别如图所示(1) 直接写出A,B,C三点的坐标⑵A ABC由△A'BC经过怎样的平移得到？⑶求△ABC的面积.解:(1)A(1,3);B(2,0);C(3,1).(2) 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度⑶S AABC= 2.18. 已知直线y=kx+b 经过点A(5,0),B(1,4).(1)求直线AB的表达式；⑵若直线y=2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标；⑶根据图象,写出关于x的不等式2x-4>kx+b的解集.解:⑴丁直线y=kx+b 经过点A(5,0),B(1,4),•••解得-•••直线AB的表达式为y=-x+ 5.⑵由已知得-解得.•.点C的坐标为(3,2).(3) 根据图象可得x>3.五、(本大题共2小题,每小题10分，满分20分)19. 如图，/DBC= 2/ ABD, / DCB= 2/ ACD,若/ BDC= / a+-/A,求/ a 的度数.解: •/ / DBC= 2 / ABD, / DCB= 2/ ACD ,• / DBC= -Z ABC,/ DCB= -/ ACB,T / BDC= 180°-(/ DBC+ / DCB)=180°-( / ABC+ / ACB) = 180 °--(180 -/ A) = 60 °一Z A, •/ / BDC= / a+-/ A,. / a=60°20. 如图，已知直线11经过点A(-1,0)与点B(2,3),另一条直线与x轴相交于点P(m,0).(1)求直线11的表达式；⑵若△APB的面积为3,求m的值.解:(1)y=x+ 1.(2) 由已知可得S^PB=-X AP>3=-X |m+1|= 3,解得m=1或-3.六、(本题满分12分)21. 嘉淇同学大学毕业后借助低息贷款创业，他向银行贷款30000元，分12个月还清贷款，月利率是0.2%,银行规定的还款方式为等额本金法”,即每月除归还等额的本金为30000^12 = 2500 元外，还需要归还本月还款前的本金的利息，下面是还款的部分明细.第1个月，由于本月还款前的本金是30000元,则本月应归还的利息为30000 X0.2%=60元，本月应归还的本息和为2500+60= 2560元；第2个月，由于本月还款前的本金是27500元,则本月应归还的利息为27500 X0.2%= 55元，本月应归还的本息和为2500+ 55= 2555元.根据上述信息(1)在空格处直接填写结果月敌第1 r月第srji十影3牛月2O(XX5€05540⑵设第x个月应归还的利息是y元，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围⑶嘉淇将创业获利的2515元用于还款，则恰好可以用于还清第几个月的本息和？解：(2)由题意可得y=[30000 -2500(x-1)] X0.2%=65-5x, 即y关于x的函数表达式是y= 65-5x（1 w x< 12,x取正整数）.⑶当本息和恰好为2515时，利息为2515-2500 = 15,则15=65-5x,解得x=10,答:恰好可以用于还清第10个月的本息和•七、（本题满分12分）22. 如图，在△ABC中,AD是高，AE,BF是角平分线，它们相交于点O,/ CAB= 50 °,Z C= 60。

期中综合检测试卷(第11章～第13章)(满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列说法正确的是(D)A．－4的立方是64 B．0.1的立方根是0.001 C．4的算术平方根是16 D．9的平方根是±32．在实数0.3,0，7，π2，0.123 456…中，无理数的个数是(B)A．2 B．3C．4 D．53．下列运算正确的是(A)A．(a2)m＝a2m B．(2a)3＝2a3C．a3·a－5＝a－15D．a3÷a－5＝a－24．若(m－1)2＋n＋2＝0，则(m＋n)2019的值是(A)A．－1 B．0C．1 D．25．把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是(B)A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)6．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为(D)A．5,6 B．5，－6C．1,6 D．1，－67．如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是(C)A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab解析：图1中阴影部分的面积为a2－2ab＋b2，图2中阴影部分的面积为(a－b)2，所以a2－2ab ＋b2＝(a－b)2.8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE ，AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( A )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.59．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AC ＝8 cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是( C )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．9 cm解析：∵F 是高AD 和BE 的交点，∴∠ADB ＝∠AEF ＝90°，∴∠CAD ＋∠AFE ＝90°，∠DBF ＋∠BFD ＝90°.∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠CAD ＝∠FBD .∵∠ADB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝45°＝∠ABD ，∴AD ＝BD .在△DBF 和△DAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FBD ＝∠CAD ，BD ＝AD ，∠FDB ＝∠CDA ，∴△DBF ≌△DAC (A .S .A .)，∴BF ＝AC ＝8 cm.10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④若AC ＝4BE ，则S △ABC ＝8S △BDE .其中正确的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝∠DAE .∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴∠C ＝∠AED ＝90°.∵AD ＝AD ，∴△DAC ≌△DAE (A .A .S .)，∴∠CDA ＝∠EDA ，∴AD 平分∠CDE ，∴①正确；无法证明∠BDE ＝60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE ＋AE ＝AB ，AE ＝AC ，AC ＝4BE ，∴AB ＝5BE ，AE ＝4BE ，∴S △ADB ＝5S △BDE ，S △ADC ＝4S △BDE ，∴S △ABC ＝9S △BDE ，∴④错误；∵∠BDE ＝90°－∠B ，∠BAC ＝90°－∠B ，∴∠BDE ＝∠BAC ，∴②正确．二、填空题(每小题3分，共18分) 11．(1)19的算术平方根是__13__；(2)－64的立方根是__－4__.12．因式分解：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝__(3x－3y＋2)2__.13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连结BD.请添加一个适当的条件：__AB＝CD(答案不唯一)__，使△ABD≌△CDB.(只需写一个)14．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝__87__°.15．在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8 cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是__8__cm__.16.22＋4＋1＝3，32＋6＋1＝4，42＋8＋1＝5，52＋10＋1＝6，…，请用含n(n≥2且为正整数)的等式表示它们的规律：__n2＋2n＋1＝n＋1__.三、解答题(共72分)17．(7分)已知4是3a－2的算术平方根，2－15a－b的立方根为－5.(1)求a和b的值；(2)求2b－a－4的平方根．解：(1)∵4是3a－2的算术平方根，∴3a－2＝16，∴a＝6.∵2－15a－b的立方根为－5，∴2－15a－b＝－125，∴2－15×6－b＝－125，∴b＝37.(2)由(1)可得，2b－a－4＝2×37－6－4＝64,64的平方根为±8，∴2b－a－4的平方根为±8.18．(8分)(1)先化简，再求值：(a－b)2＋b(3a－b)－a2，其中a＝2，b＝6；解：原式＝a2－2ab＋b2＋3ab－b2－a2＝ab.当a＝2，b＝6时，原式＝2×6＝12.(2)已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．解：∵2a2＋3a－6＝0，即2a2＋3a＝6，∴原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1＝6＋1＝7.19．(8分)如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝EC，求证：△ABC≌△DEC.证明：如图，∵∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠5.在△ACD 中，∠ACD ＝90°，∴∠2＋∠D ＝90°.∵∠BAE ＝∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠D .在△ABC 和△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠D ，∠3＝∠5，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC (A .A .S .)．20．(8分)若⎝⎛⎭⎫x 2＋3mx －13(x 2－3x ＋n )的积中不含x 和x 3项． (1)求m 2－mn ＋14n 2的值；(2)求代数式(－18m 2n )2＋(9mn )2＋(3m )2017n 2019的值．解：⎝⎛⎭⎫x 2＋3mx －13(x 2－3x ＋n )＝x 4＋(3m －3)x 3＋⎝⎛⎭⎫n －9m －13x 2＋(3mn ＋1)x －13n .由积中不含x 和x 3项，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －3＝0，3mn ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13.(1)原式＝⎝⎛⎭⎫m －12n 2＝⎝⎛⎭⎫762＝4936. (2)原式＝324m 4n 2＋81m 2n 2＋(3m )2017n 2019＝324×19＋81×19＋32017×⎝⎛⎭⎫－132019＝36＋9＋⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫－132017×⎝⎛⎭⎫－132＝45－19＝4049.21．(9分)如图，已知四边形ABCD 中，∠C ＝∠D ＝90°，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，且点E 在CD 上．(1)求证：DE ＝CE ； (2)求∠AEB 的度数．(1)证明：如图1，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵∠C ＝∠D ＝90°，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，∴EF ＝DE ＝CE ，即DE ＝CE . (2)解：如图2，延长AE 、BC 交于点M .在△ADE 和△MCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠E CM ，DE ＝CE ，∠AED ＝∠MEC ，∴△ADE ≌△MCE ，∴AE ＝ME ，∠DAE ＝∠M .∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠M ＝∠BAE ，∴AB ＝BM .∵AE ＝ME ，∴BE ⊥AM ，∴∠AEB ＝90°.22．(10分)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1 cm /s ，点N 的速度为2 cm/s .当点N 第一次到达点B 时，点M 、N 同时停止运动．(1)当点M 、N 运动多少秒时，M 、N 两点重合？(2)当点M 、N 运动多少秒后，点M 、N 与△ABC 中的某个顶点可构成等腰三角形？解：(1)设点M 、N 运动x s 后，M 、N 两点重合，则x ×1＋12＝2x ，解得x ＝12，故当点M 、N 运动12 s 时，M 、N 两点重合．(2)设点M 、N 运动t s 后，点M 、N 与△ABC 中某个顶点可构成等腰三角形．①当点M 在AC 上，点N 在AB 上时，AM ＝AN ，△AMN 为等腰三角形，即t ＝12－2t ，解得t ＝4；②当点M 、N 均在AC 上时，BM ＝BN ，△BMN 为等腰三角形，则CM ＝AN ，即12－t ＝2t －12，解得t ＝8；③当点M 、N 均在BC 上时，点N 已经追过点M ，AM ＝AN ，△AMN 为等腰三角形，则CM ＝BN ，即t －12＝36－2t ，解得t ＝16.综上所述，当点M 、N 运动4 s 或8 s 或16 s 后，点M 、N 与△ABC 中的某个顶点可构成等腰三角形．23．(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，AC 的垂直平分线BE 与CD 交于点F ，与AC 交于点E .(1)判断△DBC 的形状，并证明你的结论； (2)求证：BF ＝AC ； (3)求证：CE ＝12BF .(1)解：△DBC 是等腰直角三角形．证明：∵∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ，∴△DBC 是等腰直角三角形． (2)证明：∵BE 垂直平分AC ，∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.∵∠BFD ＝∠CFE ，∴∠DBF ＝∠DCA .在△BDF 与△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠CDA ＝90°，BD ＝CD ，∠DBF ＝∠DCA ，∴△BDF ≌△CDA ，∴BF ＝AC .(3)证明：由(2)可知，BF ＝AC .∵BE 是AC 的垂直平分线，∴CE ＝12AC ，∴CE ＝12BF .24．(12分)已知D 为△ABC 所在平面内一点，且DB ＝DC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，DE ＝DF .(1)当点D 在BC 边上时(如图)，判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)当点D 在△ABC 内部时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明，不需证明)；(3)当点D 在△ABC 外部时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明不需证明)．解：(1)△ABC 是等腰三角形．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △EBD与Rt △FCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt △EBD ≌Rt △FCD (H .L .)，∴∠EBD ＝∠FCD ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形． (2)当点D 在△ABC 内部时，(1)中的结论仍然成立．证明：如图1，∵DE⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △EBD 与Rt △FCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt △EBD≌Rt △FCD (H .L .)，∴∠EBD ＝∠FCD .∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∴∠EBD ＋∠DBC ＝∠FCD ＋∠DCB ，即∠EBC ＝∠FCB ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形． (3)当点D 在△ABC 外部时，(1)中的结论不一定成立，反例如图2.。