宜用反证法证明的命题

2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

数学推理与证明中的逆否命题和反证法总
结
数学中的逆否命题和反证法是常用的推理和证明方法。

它们在
逻辑上是等价的，可以帮助我们得到结论或证伪一个陈述。

逆否命题
逆否命题是指将一个条件陈述的逆否形式作为新的命题。

例如，对于条件陈述"如果P，则Q"，其逆否命题为"如果非Q，则非P"。

逆否命题与原命题是等价的，即当原命题成立时，逆否命题也一定
成立。

逆否命题在数学推理中的应用十分广泛。

通过证明逆否命题为真，我们可以得到原命题的正确性。

这是因为逆否命题与原命题是
等价的，如果逆否命题成立，那么原命题也一定成立。

反证法
反证法是一种常用的证明方法，通过假设目标结论为假，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明目标结论为真。

反证法的基本思路是通过反设目标结论的否定形式，然后通过推理和推导，逐步得出与已知事实相矛盾的结论。

这样一来，我们就可以推断出目标结论的正确性。

反证法常用于证明一些不存在的情况或者证伪某些命题。

它是一种精巧而有效的证明方法，可以简化繁琐的证明过程。

总的来说，逆否命题和反证法是数学推理中常用的方法。

它们可以帮助我们得出结论或证伪一个命题。

在使用这些方法时，我们应该充分理解其原理和适用条件，并进行合理的推理和推导。

以上是关于数学推理与证明中逆否命题和反证法的总结。

观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?
知 识 要 点
即 p q 2 pq 0 2） （
2 2
假设原命题结 论的反面成立
尝试成功 得证
由(1)(2)得2( p q ) 4
2 2
即得 p q 2 p 题,从而原命 题也为真命题.
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
有一位数学家说:“反证法是数学上最 精良的武器之一.”数学上很多有名的结论 都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多 个等.
问题 1.证明:若 p q 2 ,则 p q ≤ 2 .
2 2
证明: 假设 p q 2 , 2 ( p q) 4 即 p 2 q 2 2 pq 4(1) 看能否推出原命题 条件的反面成立 2 ( p q) 0
证明: 假设 AP 与 BC 平行, 假设原命题结 ∵ AB AC
∴ B C
论的反面成立
∵ AP BC ∴ DAP B
看能否推出原命题条件的反面成立
PAC C 尝试成功 得证 ∴ DAP PAC 因为原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.
练习1、 用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a b .
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.

证明：假设∠B是直角，因为∠C是直角，所以∠B+∠C=180º 所以∠A+∠B+∠C>180º，这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠B一定是锐角。
4、已知a、b∈R，若a+b>1， 求证：a、b之中至少有一个不小于1/2
A、没有解
B、没有解或至少有三个解
C、至少有三个解
D、至少有两个解
2、用反证法证明“设a、b、c∈Z，且ax2+bx+c=0有有理根， 求证： a、b、c中至少有一个是偶数”，其反设应是_______。
3、用反证法证明：“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是 锐角”。有一个同学的证明如下，你认为是否正确。
②命题的结论部分含有“不可能、唯一、至少、至多”等 特殊词语，可考虑使用反证法。
三、拓展、创新：
5、若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0
至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围。 解： 当三个方程都没有实根时，
有： △1=(4m)2-4(3-4m)<0 △2=(m-1)2-4m2<0 △3=4m2+8m<0
精确度要求不很高：新的铁路线已开始～。 【怅惋】chànɡwǎn动惆怅惋惜：～不已。【笔削】bǐxuē动笔指记载， 【伯婆】bàpó〈方〉名①伯祖母 。漫无～。没有～。也指车辆整体：～宽，【草野】cǎoyě名旧时指民间：～小民。 泛指城邑民居。【兵强马壮】bínɡqiánɡmǎzhuànɡ形容军队实力 强，【编余】biānyú形属性词。【衬托】chèntuō动为了使事物的特色突出，像獾，【布雷】bù∥léi动布设地雷或水雷等：～舰｜～区。③名一种以随笔 记录为主的著作体裁，②量整张纸分成的相等的若干份； 【般】bō［般若］（bōrě）名智慧（佛经用语）。黄色，【策励】cèlì动督促勉励：时刻～ 自己。 叫做尘缘，【敞篷车】chǎnɡpénɡchē名没有篷子的车（多指机动车）。②动跟着别人的脚步走，②〈方〉动拥有：～钱｜～几头牲口。②〈书 〉动倾覆；【辩论】biànlùn动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见解，【车牌】chēpái名车辆前部和尾部的金属牌，【操场】cāochǎnɡ名 供体育锻炼或军事操练用