2016-2017高二文科数学选修1-1试题

学业分层测评(二十)　导数在实际生活中的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝t 3－2t 2，那么43速度为24的时刻是________秒末.【解析】　由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝24，解得t ＝3(t ＝－2舍去).【答案】　32.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为13________万件.【解析】　令y ′＝－x 2＋81＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去).f (x )在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在x ＝9处取最大值.【答案】　93.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.【解析】　设广场的长为x 米，则宽为米，于是其周长为y ＝240000x(x ＞0)，(x ＋40000x)所以y ′＝2，令y ′＝0，(1－40000x 2)解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米.【答案】　8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________.【解析】　设圆锥的高为h cm(0＜h ＜20)，则圆锥的底面半径r ＝ 202－h 2(cm)，400－h 2V ＝V (h )＝πr 2h ＝π(400－h 2)h ＝π(400h －h 3)，∴V ′＝π(400－3h 2)，13131313令V ′＝π(400－3h 2)＝0，13解得h ＝.2033由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】　cm335.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.【解析】　设底面的长为2x cm ，宽为x cm ，则高为 cm ，表面积S ＝2×2x ·x ＋2×x ·＋2×2x ·＝4x 2＋(x ＞0)，36x 236x 236x 2216x S ′＝8x －，由S ′＝0，得x ＝3，x ∈(0,3)时，S ′＜0，x ∈(3，＋∞)时，216x 2S ′＞0，∴x ＝3时，S 最小.此时，长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm.【答案】　6 cm 3 cm 4 cm6.(2016·四川高考改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝Error!图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是________.【导学号：24830092】【解析】由图象易知P 1，P 2位于f (x )图象的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0<x 1<1)，P 2(x 2，ln x 2)(x 2>1)，则函数f (x )的图象在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－(x －x 1)，1x 1即y ＝－＋1－ln x 1.①xx 1则函数f (x )的图象在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝(x －x 2)，即1x 2y ＝－1＋ln x 2.②xx 2由l 1⊥l 2，得－×＝－1，1x 11x 2∴x 1x 2＝1.由切线方程可求得A (0,1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝＝.2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 22x 1＋x 2∴S △PAB ＝×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×122x 1＋x 2＝＝.2x 1＋x 22x 1＋1x 1又∵x 1∈(0,1)，∴x 1＋>2，1x 1∴0<<1，2x 1＋1x 1即0<S △PAB <1.【答案】　(0,1)7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为________.【解析】　设圆柱的高为2h ，则底面圆的半径为，R 2－h 2 则圆柱的体积为V ＝π(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3，∴V ′＝2πR 2－6πh 2.令V ′＝0，解得h ＝R .∵h ∈时，V 单调递增，h ∈时，33(0，33R)(33R ，R)V 单调递减，故当h ＝R 时，即2h ＝R 时，圆柱体的体积最大.33233【答案】　R338.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.【解析】　设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去).因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，此时，L (30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】　23 000元二、解答题9.设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】　设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh ).由V ＝πr 2h ，得h ＝，∴y ＝4m πr 2＋(r ＞0)，Vπr 22mVr ∴y ′＝8m πr －.令y ′＝0，得r ＝.此时h ＝＝4.2mVr 2(V 4π)13Vπr 2(V 4π)13该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.∴当r ＝时，y 有最小值，即h ∶r ＝4∶1时，总(V 4π)13造价最少.10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【解】　(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1).(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝或x 2＝－(舍)，当0＜x ＜时，122312y ′＞0；当＜x ＜1时，y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值.12故改进工艺后，产品的销售价为20＝30(元)时，旅游部门销售该纪念(1＋12)品的月平均利润最大.能力提升]1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________.【解析】　设四角截去的正方形边长为x .∴铁盒容积V ＝4(24－x )2x ，所以V ′＝4(24－x )2－8(24－x )x ＝4(24－x )(24－3x )，令V ′＝0，得x ＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】　8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________.【解析】　依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.0486kx 2，其中x ∈(0，0.0486).所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0＜x ＜0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去).当0＜x ＜0.0324时，y ′＞0；当0.0324＜x ＜0.0486时，y ′＜0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.【答案】　0.03243.如图3­4­2，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积最大值是________.图3­4­2【解析】　设CD ＝x ，则点C 的坐标为，点B 的坐标为.(x2，0)(x2，1－(x2)2)∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·＝－＋x (x ∈(0,2)).[1－(x2)2]x 34由f ′(x )＝－x 2＋1＝0，得x 1＝－(舍去)，x 2＝，∴当x ∈时，342323(0，23)f ′(x )＞0，f (x )是递增的，当x ∈时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，(23，2)∴当x ＝时，f (x )取最大值.23439【答案】　394.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足的函数关系是x ＝2000，乙方t 每年产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？【解】　(1)由题意，得W ＝2000－st ＝－s2＋(t ＞0)，t (t －103s)106s ∴当＝，即t ＝时，W 取得最大值，为，t 103s 106S 2106s 2∴乙方获得最大利润时的年产量为吨.106s 2(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V 元.∵t ＝，∴V ＝st －0.002t 2＝－.106s 2106s 22×109s 4V ′＝－＋， 令V ′＝0，得s ＝20，当s ＞20时，V ′＜0，106s 28×109s 5∴V 在(20，＋∞)上单调递减；当S ＜20时，V ′＞0，∴V 在(0,20)上单调递增.∴当s ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是20元.。

第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时直线与椭圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1．点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2＜a＜ 2 B．a＜－2或a＞ 2 C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1解析：由A(a，1)在椭圆内部，则a24＋122＜1，即a2＜2，则－2＜a＜ 2.答案：A2．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：x225＋y236＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为() A．1 B．1或2 C．2 D．0解析：点(3，－1)满足3225＋（－1）236＜1，即点在椭圆内，过椭圆内部点作的直线与椭圆必有2个交点．答案：C3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是()A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2] 解析：方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.答案：A4．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＞1且m ≠3C ．m ＞3D ．m ＞0且m ≠3解析：由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，所以 Δ＞0，所以 m ＞1或m ＜0. 又因为m ＞0，所以 m ＞1且m ≠3. 答案：B5．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：由x 23＋y 24＝1知a ＝2，b ＝3，c ＝1，e ＝12，则|MF 1|＋|MF 2|＝4，又|MF 1|－|MF 2|＝1， 所以 |MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2，所以 |MF 1|＞|F 1F 2|＞|MF 2|. 因为|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 所以 △MF 1F 2是直角三角形． 答案：C 二、填空题6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12 x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. 所以 弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝ 54（4＋24）＝35. 答案：357．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．解析：由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， 所以 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 所以 (|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以 2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. 所以 |PF 1||PF 2|＝2b 2，所以 S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9.所以 b ＝3. 答案：38．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上若A 点坐标为(3，0)，|AM→|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点． 因为PM →·AM →＝0，所以 AM →⊥PM →. 所以 |PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，因为椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， 所以 |PM →|min ＝ 3. 答案：3 三、解答题9．判断直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1的位置关系．解：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1可得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，所以 Δ＝16(16k 2－5)． (1)当Δ＝16(16k 2－5)＞0，即k ＞54或k ＜－54时， 直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相交．(2)当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝54或k ＝－54时，直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相切．(3)当Δ＝16(16k 2－5)＜0，即－54＜k ＜54时， 直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相离．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b 2＝1，所以 b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，则1－16a 2＝925，所以 a ＝5，所以 C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3， 所以 AB 的中点坐标x —＝x 1＋x 22＝32，y —＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－65. B 级 能力提升1．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当t 变化时，|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：将y ＝x ＋t 代入x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4t 2－45.由|AB |＝1＋12×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 2 80－16t 225，当t ＝0时|AB |最大，最大为2×455＝4105.答案：C2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2.则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：63. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2.又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |k 2＋1，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.。

学业分层测评(十五) 常见函数的导数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 【解析】∴f ′(1)＝13. 【答案】 132.下列命题中，正确命题的个数为________. ①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0； ②(log a x )′＝x ln a ；③加速度是动点位移函数S (t )对时间t 的导数； ④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线.【解析】 ①因为f (x )＝x ，当x 趋向于0时不存在极限，所以f (x )在0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a ，故错误；③瞬时速度是位移S (t )对时间t 的导数，故错误；④y ＝x 2在(0,0)处的切线为y ＝0，故错误.【答案】 03.曲线y ＝sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处切线的斜率为________.【导学号：24830074】【解析】 ∵y ′＝cos x ，∴曲线y ＝sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处切线的斜率为cos π6＝32.【答案】 324.设f (x )＝x 4，若f ′(x 0)＝4，则x 0＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(x 0)＝4x 30＝4，∴x 30＝1，则x 0＝1.【答案】 15.已知函数f (x )＝log 2x ，则f ′(log 2e)＝________. 【解析】 f ′(x )＝1x ln 2，∴f ′(log 2e)＝1log 2e·ln 2＝1.【答案】 16.曲线f (x )＝1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处切线的方程为________.【解析】 ∵f ′(x )＝－1x 2，∴k ＝f ′(2)＝－14，则切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.【答案】 x ＋4y －4＝07.若曲线y ＝x在点(a ，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【答案】 648.设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________. 【解析】 设切点为(x 0，y 0)， 则y ′＝1x ，∴1x 0＝12，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，∴切点为(2，ln 2)，∵切点在切线上，∴ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－1 二、解答题9.求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(4)y ＝e 2.【导学号：24830074】【解】 (1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4. (3)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . (4)y ′＝(e 2)′＝0.10.求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.【解】 方法一：依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最小，设切点为(x 0，x 20)，∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12， ∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.方法二：设点(x ，x 2)是抛物线y ＝x 2上任意一点，则该点到直线x －y －2＝0的距离d ＝|x －x 2－2|2＝|x 2－x ＋2|2＝22|x 2－x ＋2|＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋728，当x ＝12时，d 有最小值728，即所求的最短距离为728.能力提升]1.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n 等于________.【解析】 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1).令y ＝0得x n ＝n n ＋1. 【答案】n n ＋12.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.【解析】 y ′＝2x ，切线斜率k ＝2a k ，切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0，－a 2k ＝2a k ·x －2a 2k ，∴a k ＋1＝12a k ， 若a 1＝16，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 【答案】 213.抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________. 【解析】 当切线平行于直线x ＋2y ＋4＝0时，切点为所求， 令y ′＝2x ＝－12，得x ＝－14，所以距离最短的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，116.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1164.已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.【解】 不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， 所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即cos x 0·sin x 0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.。

2016-2017下学期数学选修1-1期末考试试卷副标题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设m∈R且m≠0，“不等式m+4m＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A.m＞0B.m＞1C.m＞2D.m≥23.若双曲线y2a -x2b=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=33x，则该双曲线的离心率为（）A.3B.3C.2D.24.设椭圆x24+y23=1长轴的两端点为A1，A2，点P在直线l：x=4上，直线A1P，A2P分别与该椭圆交于M，N，若直线MN恰好过右焦点F，则称P为“G点”，那么下列结论中，正确的是()A.直线l上的所有点都是“G点”B.直线l上仅有有限个“G点”C.直线l上的所有点都不是“G点”D.直线l上有无穷多个点(不是所有的点)是“G点”5.如图为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x•f′(x)＜0的解集为()A.(-∞，−3)B.(0，3)C.(3，+∞)D.(-∞，−3)∪(0，3)6..已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为A. B. C. D.7.若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A.2f（1）＜f（2）B.2f（1）＞f（2）C.2f（1）=f（2）D.f（1）=f（2）8.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足，则必有( )A.f (0)＋f (2)<2f (1)B.f (0)＋f (2)≤2f (1)C.f (0)＋f (2)≥2f (1)D.f (0)＋f (2)>2f (1)9.如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A. 13B. 15C.2D. 310.已知f （x ）为R 上的可导函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x ）＞f ′（x ），则有（ ）A.e 2014f （-2014）＜f （0），f （2015）＞e 2015f （0）B.e 2014f （-2014）＜f （0），f （2015）＜e 2015f （0）C.e 2014f （-2014）＞f （0），f （2015）＞e 2015f （0）D.e 2014f （-2014）＞f （0），f （2015）＜e 2015f （0）11.对于三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），给出定义：设f ′（x ）是函数y =f （x ）的导数，f ″（x ）是f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y =f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g （x ）=13x 3-12x 2+3x -512，则g （12015）+g （22015）+…+g （20142015）=（ ）A.2 013B.2 014C.2 015D.2 01612.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按 胡克定律F=kl 计算．今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：J ）A.0.196B.0.294C.0.686D.0.98二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为F 1（1，1），F 2（5，2），则原点O 到其左准线的距离为 ______ ．14.已知函数f （x ）=（x -a ）（x -b ）2，（0＜a ＜b ），g （x ）=k （x -b ），（k ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）在R 上的单调性；（2）讨论f （x ）与g （x ）的交点个数．15.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA •OB=2（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 ______ ．16.已知点P （x 0，y 0） 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上，如果经过点P 的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P 称为切点，这条切线方程可以表示为：x 0x a +y 0y b =1．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L ：x 216+y 29=1，若Q （u ，v ）是椭圆L 外一点（其中u ，v 为定值），经过Q 点作椭圆L 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程是 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的标准方程；（2）当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．18.已知函数f（x）=2x-lnx-m，g（x）=mx-1（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y=0，求实数m的值；（Ⅱ）若直线y=-1与函数f（x）=2x-lnx-m的图象无公共点，求实数m的取值范围．19.已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）当a=e时，g（x）=mx2（m＞0，x∈R），①求H（x）=f（x）g（x）的单调增区间；②当x∈[-2，4]时，讨论曲线y=f（x）与y=g（x）的交点个数．（2）若A，B是曲线y=f（x）上不同的两点，点C是弦AB的中点，过点C作x轴的垂线交曲线y=f（x）于点D，k D是曲线y=f（x）在点D处的切线的斜率，试比较k D与k AB的大小．20.已知函数f（x）=e x lnx+2e x−1x．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）＞1．21.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，右焦点到直线xa+yb=1的距离d=217，O为坐标原点．(I)求椭圆C的方程；(II)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB 的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．22.已知函数f（x）=a（x+1）+2lnx，g（x）=x2．x（Ⅰ）若a＞0且a≠2，直线l与函数f（x）和g（x）的图象切于同一点，求切线l的方程；（Ⅱ）若∀x1[e-1，e]，∃x2[-1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，求a的取值范围．。