矩阵分析课后习题解答(整理版)

2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。

（1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。

(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。

选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。

当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，51）T是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152 -，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。

a a a a a B12 ，其中 B11 b b b ， B12 b b ； E c c c b b a b A12 B12 c A22 0 0 a a a 2 a 5 b b b 3 b 2 c c c 1 c 6 0 0 4 0 0 0 0 4
2 1 1÷ 7 4 4 ç ÷ ç ÷ 3 1 0÷ 9 4 3 (1) ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 3 4 ç0 1 2÷ cos q - sin q ÷ ÷ ( 2) ç ç ÷ ,n> 0 ； ç sin q cos q ÷
【解析】
n
2
cos q - sin q sin q cos q
本题主要考察逆矩阵的判别和求逆矩阵.
习题 2.3 矩阵的分块
1．将矩阵分块并计算 AB
1 ç ç ç 0 ç ç ç A=ç 0 ç ç ç 0 ç ç ç ç0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
5 ÷ ÷ ÷ 3 -2 ÷ ÷ ÷ ÷ ， -1 6 ÷ ÷ ÷ ÷ 4 0 ÷ ÷ ÷ ÷ 0 4 ÷
求 4 A - 3B ，
1 ( A + B) ． 3 1 8 3 3 1 5 3 3 5 8 3 3 0 1 2 3
1 1 3 2 24 11 3 7 1 1 1 【解析】 4 A 3B 18 25 4 1 5 ； ( A B ) 3 3 3 1 2 6 4 15 5 11 3 3
è1 3ø
．
2 -23÷ =ç ÷ ç ç0 ÷ 1 8 ÷
( 2)
-1 1 4 0,
=
0 -1 0

南航矩阵论课后习题答案南航矩阵论课后习题答案矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。

南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重要环节。

在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。

下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。

1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。

解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。

一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。

计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。

因此，矩阵A可逆。

接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。

首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。

计算得到A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。

最后，将伴随矩阵除以行列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。

2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。

解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。

特征方程的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。

计算得到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。

解这个二次方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。

接下来，我们可以求解对应于每个特征值的特征向量。

将特征值代入(A - λI)x = 0，即可求解出特征向量。

对于特征值λ1 = 1，解得特征向量x1 = [1; -1]；对于特征值λ2 = 5，解得特征向量x2 = [1; 3]。

3. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的奇异值分解。

解析：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。

1
2
3
解：AB
A 2B
即( A
2I ) B
A．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
2
2
3
1
4
3
1
而( A
2I )1
1
1
0
1
5
3 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
1
2
1
1
6
4
精彩文案
实用标准文档
1
4
3
4
2
3
所以B ( A 2I )1A
1
5
3
1
1
0
1
6
4
1
2
3
3
8
6
=2
9
6
四、解答题：
1
1
1
1
2
3
1.给定矩阵A2
1
3
，B
2
2
1
，求BTA及A1
3
4
4
3
4
3
解：
1
2
3
1
1
1
4
9
5
BTA 2
2
4
2
1
3
6
12
8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..（5
3
1
3
3
4
4
4
8
6
分）
401
A11
1
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
2
2
2
5
1
1
2
2
2
1
0
1
1
1