《自动控制原理》第4章第二次课

自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。

解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。

对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。

将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。

解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。

⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。

④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。

根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。

⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。

0
kr 0
3 0(舍 去 )
-p2
kr
s j
- p 3
1
kr
0
j ( j 3) ( j )2 2( j ) 2
-p1
-1
-p4
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real A x is
• 用劳斯表求解与虚轴的交点
与虚轴相交表示有一对虚根，虚根的出现则在劳斯表中有首列的零元素 求解方法：辅助方程
nm
3
夹角
(2k 1)
nm
(2k 1) k 0,1,2
3
1 60 2 180 3 60
5 实轴上根轨迹的分布：在 0~1, 2~ 之间
根轨迹图
Im a g A x is
3
kr
2
1
kr 0
0
kr
-1
kr 0
kr 0
4. 分离点
Q (s)dG 1(s)H 1(s)0
ds
解得分离点为： s=-2.3
5. 出射角 z (2 k 1 ) (p 3 p 1 ) (p 3 p 2 ) (p 3 p 4 )
得
z 7 .6 1
6. 根轨迹与虚轴的交点
用特征方程求解
交点 (046)03.33
3
夹角 (2k1)60, 18 0
3
分离点： Q(s)1 1 1 0 s s4 s6
得 s 1 1 .5(k r 7 1 )7 , s 2 5 .1 ( 舍 ) 去
与虚轴交点：特征方程 令 sj j(j4)(j6)kr 0

第四章 根 轨 迹 法 4.2.3 MATLAB绘制根轨迹
在MATLAB中提供了绘制系统根轨迹的rlocus( )函数。 已知系统开环传递函数的形式, 利用此函数可以方便地绘制出系 统的根轨迹。
【例 4-5】 设一单位负反馈系统的开环传递函数如下:
G(s) K(s 1) s(s 2)( s 3)
a
(2) 2(4) (1) 4 1
3
φa1=60° (q=0), φa2=180° (q=1),φa3=300° (q=2)
结合实轴上的根轨迹, 绘制系统的根轨迹如图4-4(b)所示。
第四章 根 轨 迹 法 图 4-4 例 4-2 根轨迹图
第四章 根 轨 迹 法 4. 求出分离点
两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的
(2) 当0＜k＜1时, s1, s2均为(-2, 0)区间内的负实数；
(3) 当k=1时, s1 = s2=-1, 即两闭环极点重合； (4) 当1＜k＜∞s1时 ,1 j k 1, s2 1 j k 1 , 即 两 闭 环 极点互为共轭；
(5) 当k→∞时, s1, s2将沿着直线σ=-1趋于无穷远处。
G(s) k(s 1/ )
s(s 1/T )
第四章 根 轨 迹 法
式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环 零点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根 轨迹从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知 实轴上的(z1，p1)和(-∞, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨 迹图如图4-3所示, 其中“×”表示开环极点, “○”表示开环 零点。

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第四章 线性系统的根轨迹法
法则6：根轨迹的起始角和终止角 起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切 线与实轴的夹角。以 pi 表示。
终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的 切线与实轴的夹角。以 z i 表示。
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第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念
1、根轨迹图
根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点） 随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面 上的变化轨迹。
例4-1：求下图所示系统的闭环特征方程式 的根随K变化的轨迹。
R (s )
K s(0.5 s 1)
上面根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系 统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方程的根 就比较困难了。如果要研究系统参数的变化对闭环 系统特征方程根的影响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（W·R·EVANS）解决了这个问题， 提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特 征方程，只需依据开环传递函数便可绘制出系统的 根轨迹图。 2、开环零极点与闭环零极点之间的关系
(s z )
i
f
(s p )
i i 1
i 1 q
KG：前向通道增益
KG*：前向通道根轨迹增益
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第四章 线性系统的根轨迹法
H ( s) K
H
(s z
* H
l
(s p
j 1
l i