浅析用射影坐标解平面几何问题

射影平面３．1 中心投影与无穷远元素 知识点解析 中心投影定义． 影消点、影消线的概念影消点没有中心投影；影消线也没有投影． 无穷远点、无穷远直线的概念．仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．解题指导（习题选解） 练习３－１１． 证明：中心投影一般不保持共线三点的简比． 证明反证法．假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平行直线？解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．证明同第１题．（略）． ３．２图形的射影性质 知识点解析透视对应、中心透视的概念透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质． 同素性和结合性都是射影不变性质；平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变． 如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们 的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交于l 的直线．利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可 以用来证明一些几何问题． 解题指导（习题选解） 练习３－２１． 求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2l '，则P 点对应无穷远点． 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1l '和2l '的交点，即无穷远点，也就）（图1是1l '∥2l '． ３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．分析这个题目是要证明PQ 的连线通过AB 上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图所示，则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是有2121//R R P P2121//R R Q Q所以2121//Q Q P P即四边形2211P Q Q P 为平行四边形，11Q P ∥22Q P ．则11Q P 通过∞M ，由中心射影保持结合性不变可知，PQ 通过AB 上一定点． ４．在一个平面内的影消线上取定两点A ，B ，C 为该平面内的任意一点，求证∠ACB 投影后是一个常量．分析如图所示，平面α上的 ∠ACB 经射影后，在β平面 上射影成∠B C A '''． 因为A ，B 为影消线上两点，OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X ）图题（第32R 1R ZY X2P 1P ∞B ∞A ∞M ∞O 2Q 1Q所以OA ∥β，且OA ∥A C ''，OB ∥β，且OB ∥B C ''，所以∠B C A '''＝∠ACB ． 而∠ACB 为定角．由于∠ACB 经投影后，不论C 取在平面上任何位置，其射影成的角∠B C A '''永远等于定角∠ACB ，所以为定值．注意：由于射影中心O 和影消线AB 所成平面一定平行于平面β，所以，利用有关立体几何的平面与平面平行的定理，就可以证明此题．３．3笛沙格定理 知识点解析三点形、三线形概念定理3.1（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条线上．定理3.２ 如果两个三点形对应边的交点在一条线上，则对应顶点的连线交于一点（共点）．解题指导（习题选解） 练习３－３１．三角形ABC 的顶点A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动．证明：AB 和BC 分别通过定点P 与Q 时，CA 也通过PQ 上的一个定点．证明如图所示．设三角形C B A ''' 是满足条件的另一个三角形，在三角形ABC 和C B A '''中，由于对应点的连线l ，m ，n 共点O ，由笛沙格定理可知，对应边的交点P ，Q ，R 共线，即AC 与C A ''的交点R 必在直线PQ 上，于是R 为定点．２．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C A题图）（第1ABB 'P ClA 'C 'OQRn m分别通过共线的定点P ，Q ，R ，求证顶点A证明根据图形(见第２题图)可知，Λ),,,(21ΛB B B),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR 是自对应元素，所以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线．３．设A ，B ，C ，D 为平面上的 四点，R CD AB =⨯（AB 与CD 的交点 为R ），P AD BC =⨯，Q BD AC =⨯． 试证：BC 与QR 的交点1A ，CA 与RP 的 交点1B ，AB 与PQ 的交点1C 在同一直线上．证明如图所示．在三角形ABC 和PQR 中，对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ，由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C 共线．３．４齐次坐标 知识点解析 一维齐次坐标),(21x x ，其中1x ，2x 满足x x x =21)0(2≠x 二维齐次坐标),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32)0(3≠x ，),(y x 是欧氏平面内的笛氏坐标．)0,,(21x x （1x ，2x 不同时为0）是一个无穷远点的齐次坐标．A题图）（第21题图）（第3),,(321x x x )0(3≠x 是一个有穷远点的齐次坐标．)0,0,0(不表示一个点的齐次坐标．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标．直线方程欧氏坐标系下直线方程为)0(02221321≠+=++a a a y a x a其中),(y x 是直线上点的非齐次坐标．点),(y x 的齐次坐标为),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32． 直线的齐次方程为)0(022********≠+=++a a x a x a x a过原点的直线的齐次方程为)0(022212211≠+=+a a x a x a无穷远直线的齐次方程为03=x无穷远直线无非齐次方程． 齐次线坐标 直线的齐次方程为0332211=++x u x u x u321,,u u u 叫做直线的齐次线坐标，记为],,[321u u u ．]0,0,1[是y 轴的齐次线坐标． ]0,1,0[是x 轴的齐次线坐标． ]1,0,0[是无穷远直线的齐次线坐标．定理3.3一点),,(321x x x X =在一直线],,[321u u u u =上的充分必要条件为0332211=++x u x u x u直线0332211=++x u x u x u 的非齐次坐标为31u u u =，32u uv =． 所有不通过原点的直线方程都可以写成01=++vy ux两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x即0)()()(312213311312332=-+-+-x b a b a x b a b a x b a b a两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的坐标为),,(122131132332b a b a b a b a b a b a ---解题指导（习题选解） 练习３－４１．试求出下面各点的齐次坐标． （１）)0,0(，)0,1(，)1,0(，)35,2(． （２）以43为方向的无穷远点。

《用坐标方法解决几何问题》讲义一、坐标方法的基本概念在数学中，坐标是用于确定点在空间或平面中位置的一组数值。

通过建立坐标系，我们可以将几何图形中的点与有序的数对（或数组）相对应。

常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系，其中直角坐标系在解决几何问题中应用更为广泛。

直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，通常分别称为 x 轴和 y 轴。

平面上的任意一点 P 都可以用一个有序数对（x, y) 来表示，其中x 表示点 P 在 x 轴上的坐标，y 表示点 P 在 y 轴上的坐标。

二、坐标方法解决几何问题的优势1、直观性坐标方法将几何图形转化为数字和方程，使得图形的特征和关系更加直观清晰。

我们可以通过坐标的数值直接观察和分析图形的位置、形状和大小。

2、量化分析能够对几何对象进行量化的计算和分析。

例如，通过两点的坐标可以方便地计算出两点之间的距离、线段的长度，以及直线的斜率等。

3、简化证明一些复杂的几何定理和问题，在使用坐标方法后，可以通过代数运算和方程推导来进行证明和求解，大大简化了证明的过程。

三、用坐标方法求两点之间的距离假设在平面直角坐标系中有两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则两点之间的距离公式为：d ＝√（x2 x1)²＋（y2 y1)²例如，点 A(1, 2) 和点 B(4, 6)，则它们之间的距离为：d ＝√（4 1)²＋（6 2)²＝√（9 ＋ 16) ＝ 5四、用坐标方法求线段的中点坐标若有线段 AB，点 A 的坐标为(x1, y1)，点 B 的坐标为(x2, y2)，则线段 AB 的中点坐标为：（（x1 ＋ x2) ／ 2, （y1 ＋ y2) ／ 2)比如，已知点 A(2, 3) 和点 B(6, 9)，则其中点坐标为：（（2 ＋ 6) ／ 2, （3 ＋ 9) ／ 2) ＝（4, 6)五、用坐标方法判断直线的平行与垂直1、平行对于两条直线，如果它们的斜率相等，那么这两条直线平行。

《用坐标方法解决几何问题》讲义一、坐标方法的基本概念在数学的广袤领域中，坐标方法是一种强大的工具，它为我们解决几何问题提供了全新的视角和有效的途径。

简单来说，坐标就是用数字来确定点在平面或空间中的位置。

在平面直角坐标系中，我们通过一对有序数对（x，y）来确定一个点的位置。

x 轴和 y 轴相互垂直，将平面分成了四个象限。

而在空间直角坐标系中，则需要三个坐标（x，y，z）来确定一个点的位置。

坐标方法的核心思想是将几何图形中的点与数字对应起来，从而把几何问题转化为代数问题进行求解。

二、用坐标方法表示点、线、面1、点的坐标表示任何一个点在平面直角坐标系中都可以用唯一的有序数对来表示。

例如，点 A 的坐标为（2，3），就意味着它在 x 轴上的投影是 2，在 y 轴上的投影是 3。

2、直线的坐标表示对于直线，我们可以通过其斜率和截距来确定它的方程。

一般式为y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是截距。

如果已知直线上的两个点（x1，y1）和（x2，y2），则斜率 k ＝（y2 y1）／（x2 x1）。

3、曲线的坐标表示常见的曲线如圆、椭圆、抛物线等都有各自的方程。

以圆为例，其标准方程为（x a）²＋（y b）²＝ r²，其中（a，b）是圆心的坐标，r是半径。

4、平面的坐标表示在空间直角坐标系中，平面可以用一个线性方程来表示，如 Ax ＋By ＋ Cz ＋ D ＝ 0，其中 A、B、C 不同时为 0。

三、利用坐标方法计算线段长度当我们知道两个点的坐标（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用距离公式来计算它们之间的线段长度。

距离公式为：d ＝√（x2 x1）²＋（y2 y1）²例如，点 A（1，2）和点 B（4，6）之间的距离为：d ＝√（4 1）²＋（6 2）²＝√9 ＋ 16 ＝ 5四、利用坐标方法求三角形的面积已知三角形三个顶点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），则可以使用行列式的方法来计算三角形的面积。

利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。

平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。

因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。

解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。

例1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。

求证：1=++CFPFBE PE AD PD . [2]C图1证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。

P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，DC DP BD D P AD PD '''==，所以BCP P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=， 所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。

（梅涅劳斯定理 ）[3]分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 。

其逆命题亦成立 。

NBAL'(L)A'C B AMMNA'L C图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。

如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。

（2）证明逆命题成立证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。