从透视学到射影几何

《数学史概论》课程标准课程名称：数学史概论课程类型：A类课程编码：0702033280适用专业及层次：数学计算机系教育专业、专科层次课程总学时：32学时，其中理论28学时，其他4学时。

课程总学分：2一、课程的性质、目的与任务1.本课程的性质：专业选修课2.课程目的与任务：本课程是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。

数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。

因此，它是培养学生素质以及了解数学发展历史的重要途径，本课程对提升学生的数学文化素养有着重要的意义。

通过教学使学生了解本课程的性质、地位和意义，知道这门课程的研究对象、范围，以及它与所学数学知识的联系，了解数学史在自然科学技术史中的地位和作用，全面提升专业素养；理解数学史的理论、思想和方法。

培养学生综合运用数学理论和方法分析问题、解决问题的能力，提高学生的整体素质；通过数学史的学习，使学生认识到要解决实际问题，自己所学知识远远不够，学而后知不足，激发学生强烈的学习愿望和求知欲。

3.课程与其它课程的联系：《数学史概论》是数学教育专业的选修课程。

数学史是人类文明史的重要组成部分，本课程不仅与数学专业的基础课程及自然科学有直接联系，也与人文历史等学科领域密切相关，所以也可作为其他专业的拓展课程，借以提高学生的整体素养。

二、教学内容、教学要求及教学重难点本课程由六个专题组成，内容应反映出数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法。

教学内容可参考标准给出的可供选择的专题，并在此基础上可根据学生的知识结构及相关课程设置可相应增减专题的内容，如三次数学危机、数学的严格性与三个数学学派、从透视学到射影几何、计算机技术与对数、两项影响最大的国际数学奖励——菲尔兹奖和沃尔夫奖等，体现课程内容一定的弹性和开放性。

本课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次，这四个层次的一般涵义表述如下：知道——是指对这门学科和教学现象的认知。

射影几何是数学中的一个分支，它是关于几何图形经过投影变换后，仍然不会变化的几何性质的研究。

与基本几何相比，射影几何有投影后不变的独特性质，也正是这样的性质，射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。

通过这样的密切联系，可以使用射影几何处理一些度量问题。

基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要，射影几何的发展历史可谓十分悠久，早在古希腊时期，欧几里得就有一些关于透视的发现。

在透视中，两条平行轨道在视线远处将会相交于一点，这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。

为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢？我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何（也被称为欧氏几何）的范畴下阐述的。

几何中的所有图形经过位移或旋转变换后，性质不会发生变化，平行线会一直平行永不相交，这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。

可以说，射影几何的范畴比欧式几何小得多，它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。

射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模，并将这条线看作是“一般”。

如果以解析几何做出射影几何的代数模型，将会用到齐次坐标。

由于射影几何所包含的公理最少，可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础，从范围而言，射影几何＜仿射几何＜欧式几何。

15世纪时，意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究；16世纪末17世纪处，无穷远点的概念被独立提出。

同一时期，法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形，发展出了构建透视图的另一种方法，开始了对圆锥曲线的研究，使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性，成为其他几何系统包括射影几何中的特例。

这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化，发展成为了帕斯卡定理。

射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述，彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。

彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质，并建立了射影性质与度量性质之间的关系。

射影几何的起源在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。

他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。

所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。

则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。

射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。

为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。

公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。

在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。

公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。

他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。

这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。

不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。

这个定理后来便以笛沙格的名字命名。

有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。

即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。

在射影几何中，上述现象具有普遍性。

一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：将得到一个“对偶”的命题。

两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。

这便是射影几何中独有的“对偶原理”。

射影几何有趣知识点总结射影几何有许多有趣的知识点，以下将对一些其原理、性质和应用作一详细总结。

原理射影几何研究的是透视关系下的几何图形。

这种透视关系是我们在现实生活中常见的，比如站在铁轨上看远处的两条平行铁轨会看起来像是会相交一样。

这种现象就是射影几何的基本原理之一。

在射影几何中，有两种基本要素：射影平面和射影点。

射影平面是一个包括了图形在内的平面，射影点是空间中的一个点。

当直线与射影平面相交时，我们可以得到一个射影点。

性质射影几何中有许多有趣的性质。

其中一个重要的性质是“对合性”，即当一个射影点在射影平面上绕一个固定点旋转时，两个相对应的直线在射影平面上的射影点互换位置。

这一性质在许多应用中都有着重要的作用，尤其在建筑设计和艺术创作中。

另一个有趣的性质是“轴点性”。

当一个点在射影平面上绕另一个固定点旋转时，固定点到射影点的直线在射影平面上构成一个圆锥曲线。

这一性质在计算机图形学和光学设计中有着广泛的应用。

应用射影几何在许多领域都有着广泛的应用。

其中一个最直接的应用就是在艺术创作中，例如素描和绘画都会涉及到透视的概念。

另外，在建筑设计中，也需要考虑到建筑物在不同角度观看时的透视效果。

在工程领域，射影几何还被广泛应用于计算机图形学和光学设计中。

在计算机图形学中，可以利用射影几何的原理来模拟现实世界的透视效果，从而实现生动逼真的图形效果。

在光学设计中，也需要考虑到光线在透镜和镜面上的射影效果，从而实现更加精确的光学系统设计。

此外，射影几何还在地理学和天文学领域有着重要的应用。

例如在地理学中，可以利用射影几何的原理来解决地图投影的问题，从而得到更加真实和准确的地图。

在天文学中，也可以利用射影几何的原理来解释天体运动和地心运动的现象。

总结射影几何是一个深奥而有趣的数学分支，它涉及到许多有趣的原理、性质和应用。

射影几何不仅在几何学中有着重要地位，同时也在计算机图形学、建筑设计等其他领域有着广泛的应用。

通过对射影几何的研究，我们可以更好地理解现实世界中的透视关系，从而实现更加精确和生动的图形效果。

什么是射影几何它有什么特点在数学的广袤领域中，射影几何宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。

要理解射影几何，首先得从它的基本概念入手。

射影几何是研究图形在射影变换下不变性质的几何分支。

那么，什么是射影变换呢？简单来说，就是通过中心投影或者平行投影将一个图形映射到另一个图形的过程。

想象一下，你拿着一个手电筒，光线照射在物体上形成的影子，就是一种简单的射影。

射影几何与我们熟悉的欧氏几何有着明显的区别。

在欧氏几何中，距离和角度是非常重要的概念，但在射影几何中，这些概念却不再具有绝对的意义。

比如说，在射影变换下，平行线可能会相交。

这与我们在日常生活中的直观感受大相径庭，但却在射影几何的世界里是合理且有趣的现象。

射影几何的一个显著特点是它更注重图形的整体性质和相互关系，而不是具体的度量。

它关心的是图形的形状、位置和组合方式，而不是像长度、面积这样的具体度量值。

这种特点使得射影几何在解决一些特定的几何问题时具有独特的优势。

射影几何中的一个重要概念是无穷远点。

为了处理平行线相交的情况，我们引入了无穷远点的概念。

想象一下，所有平行的直线都在无穷远处相交于一个点，这个点就是无穷远点。

通过引入无穷远点，我们能够更简洁、更统一地描述和处理许多几何现象。

另一个特点是射影几何中的对偶原理。

对偶原理指出，如果在一个关于射影几何的命题中，把点和直线的概念互换，把“通过”和“在……上”的概念互换，把“共点”和“共线”的概念互换，得到的新命题仍然成立。

这一原理使得我们在研究射影几何问题时，可以通过对偶的方式得到新的结论和方法，大大丰富了我们解决问题的手段。

射影几何在艺术领域也有着广泛的应用。

比如在绘画中，画家常常利用透视原理来表现物体的远近和空间感。

而透视原理本质上就是一种射影变换。

通过巧妙地运用射影几何的知识，画家能够创作出更加逼真、富有立体感的作品。

在建筑设计中，射影几何同样发挥着重要作用。

建筑师在设计建筑物的外观和结构时，需要考虑不同角度的视觉效果和空间布局。

简述几何学的发展史摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。

关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。

在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。

一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。

欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。

全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。

这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。

欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。

他的思想被称作“公理化思想”。

二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。

解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。

解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。

1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。

而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。

三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。

直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。

1854 年德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基的几何思想，从而建立了一种更为一般化的几何，称为“黎曼几何”。

他认为欧氏几何和罗氏几何都是黎曼几何的一种特例。

射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。

概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。

那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。

接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。

（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。

例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。

正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。

这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。

他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。

意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。

一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。

另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。

接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。

但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。

德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。

身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。

帕斯卡：著名的、、和。

主要贡献是在上，发现了，并以其名字命名单位。

帕斯卡没有受过正规的。

他4岁时母亲病故，他父亲是一位受人尊敬的，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通。

简述几何学的发展史发表时间：2011-03-14T09:37:38.280Z 来源：《新校园》理论版2010年第11期供稿作者：张镝[导读] 他们对射影几何作出了突出的贡献，但他们局限于将这种几何学作为欧氏几何的一部分来研究。

张镝（长春医学高等专科学校，吉林长春130031）摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。

关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。

在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。

一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。

欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。

全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。

这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。

欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。

他的思想被称作“公理化思想”。

二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。

解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。

解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。

1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。

而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。

三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。

直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。

射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。

意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。

3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。

4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。

1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。

5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。

7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。