高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算(...》30PPT课件 一等奖名师

概念升华
思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么
区别？ 答 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.
思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积
的符号由什么来决定的？
夹角θ的范围
0q
2
数量积的符 号
q
2
q
2
答案
两个向量的夹角
定义：已知两个非零向量 a 和 b , 作 OA a
W F s cosq 其 中q 是 F 和 s 的 夹 角.
下面我们引入向量数量积的概念.
W F s cosq 其 中q 是 F 和 s 的 夹 角.
这个公式有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是
量，②|F|是F的
，③|S|
是S的
，④α是
。
你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
如果我们将公式中的力与位移推广到一般向 量，其结果又该如何表述？
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
只能写成 a • b ,中间的“•” 不能去掉，也不能写成“”.
(3) 当 a 与 b 同向时，a b a b ; 当 a 与 b 反向时，a b a b .
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
知道了数量积的概念之后我们可以用一句话概括功的 数学本质：
定义说明：1.书写时a与b之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也不能省去.

A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
2.5平面向量应用举例
【合作探究】
例3、已知O点在 ABC内部,且OA 2OB 3OC 0 ,则ABC与
AOC
面积的比
SABC SAOC
__3___
C O
A
B
例4、已知 ABC 是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PBiblioteka •(PBPC
)
的最小值是(
B)
A.-2
B. 3
C. 4
2
3
D.-1
P A
B
C
【自学自测】
2.5平面向量应用举例
B C
【当堂检测】
2.5平面向量应用举例
D B
②若MA MB MC ,则点M为△ABC的( B ) B
C
③若| MA |2 | BC |2 | MB |2 | CA |2 | MC |2 | AB |2,则点M
为△ABC的( D )
④若 OM OA (
AB
AC
) ( 0) ,则点M的轨迹一定
| AB | | AC | 通过△ABC的( A )
【合作探究】
2.5平面向量应用举例
例1、已知△ABC中 , A(2 , -1) , B(3 , 2) , C(-3 , -1) , AD BC于D
①求D点的坐标
A
②求ABC 的面积
B
DC
例2、已知M是△ABC 所在面上的点
A
①若MA MB MC 0 ,则点M为△ABC的( C )
2 2 2
【自主学习】
2.5平面向量应用举例
1.向量法解几何问题:
几何问题向量化:把向量用一个基底(尽量选互相垂直的向量)表示

y
D
C (a,c)
rห้องสมุดไป่ตู้j
O( A)
r i
B (b,0)
x
坐标法： 建立适当的坐标系
用坐标表示向量
把几何问题转化为向量的坐标运算．
把向量关系翻译成几何关系
用向量方法（基底法、坐标法）解决平面几何问题的 “三步曲”：
用向量表示问题中涉及的几何元
素，几何问题转化为向量问题
转化
通过向量运算研究几何元素之间 的关系
a
x2 y2
(2) 解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系。
共线向量定理：a//
b (b
0)
存在唯一实数 ，使
a
b
x1 y2 x2 y1 0
探究（一）：推断线段长度关系
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图，uAuuCr
uuur AB
uuur AD,
uuur DB
uuur AB
AC2 AE2 CE2
AFD BEC
AC 2 BD2 2 AB2 AD2
探究（一）：推断线段长度关系
rD
C
b
A
基底法：
r aB
还可以选择 其它基底吗？
选择两个不共线的向量作为基底
用基底表示相关向量
把几何问题转化为只含有基底向量的运算
把向量关系翻译成几何关系
探究（一）：推断线段长度关系
uuur AD,
你能发现平行四边
形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
猜想：
D 1.矩形对角线的长度
D
与两条邻边长度之间
有何关系？
2.类比猜想，平行四 边形有相似关系吗？
AA
CC BB

平面向量在物理中的应用
例2.已知船在静水中的速度是v1,水流的速度是v2 ,河的 宽度是 500m.若|v1|=10km/h,|v2|=2km/h,d=500m,则要使船 垂直到达对岸，v1与v2的夹角为多少？航行了多少时间？
精确到0.1min
v1
v
v2
解：如图所示
v2
| vr |
|
r v1
|2
r | v2
标是（ B ）
A.(8,0)
B.(9,1)
C.(-1,9)
D.(3,1)
练习
rr 3、一个物体受到两个相互垂直的力 f1, f2 的作用，两边
大小都为5 3N ，则两个力的合力的大小为（ C ）
A.10 3N B.0N
C.5 6N
D. 5 6 N 2
rr r
4、三个力
rr
F1、F2、F3
同时作用于点O且处于平衡状态，
|2
96(km / h)
t
|
d vr
|
0.5 * 60 3.1(min) 96
答:略
B 水流方向
A
练习：一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到 达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则 船到达B处所需时间为__1_._5_m_i_n__
练习
1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 已知船可垂直到达对岸，则（ B ）
形法则、力的平衡及直角三角形的知
识可知
r
r |G|
| F1 |
2 cos
2
F
θ
F1
F2
∴逐增渐 大当r θ增，由r大0，°而～1c8o0s°2逐的渐值增逐大渐时缩，小2，由因0此°～| F9r10°|逐G渐