微专题二 三角函数的图象与性质三角函数的图象和性质在近几年的高考题中考察难度较低，主要以填空题为主，如2016年T9,2018年T7，前两个解答题中三角函数的性质也有考察，如2017年T15，在图形应用题中会出现三角函数性质的研究，如2018年T18难度为中档题．目标1 三角函数的周期性和对称性例 1 (1) 若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上的所有点向右平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.(2) 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 点评：【思维变式题组训练】1.若将函数f (x )＝3cos x －sin x 的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线x ＝π6对称，则θ的最小正值为________．2.设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则φ＝________.3.已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．4.已知角φ的终边经过点P (1，－1)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的任意两点，当|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值． 目标2 三角函数的单调性和值域例 2 (1) 若函数y ＝sin ωx 在区间[0,2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．(2) 已知函数f (x )＝a －cos x sin x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数，则实数a 的取值范围是________．例3 (1) 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________．(2) 函数y ＝1－sin x cos x sin x －cos x ＋1(0<x <π)的最小值是________． 点评：【思维变式题组训练】1.函数y ＝(1＋sin α)2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2的最小值为________．2.已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是________．3.已知函数f (x )＝(3cos x ＋sin x )2－23sin2x .(1) 求函数f (x )的最小值，并写出f (x )取得最小值时自变量x 的取值集合； (2) 若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，求函数f (x )的单调递增区间．目标3 三角方程及三角函数零点例4 (1) 函数f (x )＝(x －1)sin πx －1(－8＜x ＜10)的所有零点之和为________．(2) 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f (x )在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．(3) 设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y ＝3cos2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．点评：【思维变式题组训练】 1.设π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个零点，则函数f (x )在区间(0,2π)内所有极值点之和为________．2.在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝1与函数y ＝3sin π2x (0≤x ≤10)的图象所有交点的横坐标之和为________．3.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin2x 与y ＝18tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上交点的横坐标为α，则sin2α的值为________．。
微专题1“变角”与“变式”在三角求值中的应用真题感悟(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，因此cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）1＋tan 2αtan（α＋β）＝－211.考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtanβ.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2.2.公式的变形与应用(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).(2)升幂、降幂公式1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2；sin2α＝1－cos 2α2，cos2α＝1＋cos 2α2.(3)角的拆分与组合2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3等.热点一三角函数式的化简与求值【例1】(1)(2019·泰州模拟)化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝________.(2)若tan α＝2tanπ5，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝________.解析(1)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2×sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝（2cos 2x －1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3. 答案 (1)12cos 2x (2)3探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】 (1)(2019·徐州调研)计算：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.(2)(2019·南京、盐城联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________. 解析 (1)原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 70°＝－2cos 10°sin 10°cos 70°＝－sin 20°cos 70°＝－1. (2)∵α为锐角，cos α＝17.∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.。
微专题5三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6. (1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围；(2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值；(2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]． 解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分 则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac，所以sin B ＝3cos B .4分 因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分 (2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分 由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3. 所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分 所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分。
