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高三数学第二次模拟考试试题
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|x(x －5)＜0}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2
的模为________． 3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为________．
(第3题)
(第4题)
4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．
5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．
6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x ＋
，则f(a)的值为________．
7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π
3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的
图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．
8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．
9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．
10. 已知点P 是抛物线x 2
＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PF
PA
的最小值为________． 11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．
12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2
(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．
13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →
|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．
14. 已知函数f(x)＝e x
－x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)
恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC∥平面PDE ；
(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC⊥平面ABC.
16. (本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；
(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－7
25
，求b 的值．
如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵
，记∠CBD 为θ.
(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，且过点(0，
3)．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．
① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．
已知函数f(x)＝x 3－x 2
－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导
函数h′(x)在[5
2
，4]上存在零点．
(1) 求实数a 的取值范围；
(2) 若存在实数a ，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；
(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．
已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .
(1) 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；
(2) 若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T n
a n
<2，求数列{a n }的通
项公式；
(3) 若数列{T n }的通项为T n ＝n （n ＋1）
2
，求证：数列{a n }为等差数列.
