指数与指数函数
【考纲要求】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
4.掌握指数函数图象：
5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念
()
()),0(1
010*
Z*n a a a a a Z n a a a a n
n a
n n ∈≠=
≠=∈???=-43
421Λ个
(2)运算法则 ①n
m n
m
a a a +=?；
②()
mn n
m
a a =；
③()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，； ④()m
m m
b a ab =.
指数与指数函数
图象与性质
指数运算性质
指数函数的图像与
指数的概念
考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为
n
y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为
0=.
(2)根式的意义与运算法则
y y n n =)(
??
?=)
(||)
(,为偶数为奇数n a n a a n
n 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1
n
a =
m m n
a ==
-
1m n
m n
a
a
=
考点四、有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a
α
β
αβ
+?=
(2)();a a αβαβ
= (3)();ab a b ααα
=
当a>0，p 为无理数时，a p
是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
244
2)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
14
2)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义：
函数y=a x
(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. (2)y=a x
0 a>1时图象 图象 性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞） ②a 0 =1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0 <1 ⑤x<0时，0 <1 x>0时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 【典型例题】 类型一、指数运算、化简、求值 例1.已知c b a ==53，且21 1=+b a ，求c 的值。 【解析】 21 3log 31log 31log 3 111 log 52log 3log 52log 15215015 a a c c c c c c c c a a b a b c c c ==∴=∴==+=∴+=∴=∴=>∴=Q Q 由得同理可得 【总结升华】运算顺序(能否应用公式)； 举一反三： 【变式】计算下列各式： (1)1 200.2563 43 3721.5()82(23)()63 - ?-+-； (2)63425.0031 )32(28)6 7()81(?+?+-?-； (3) 3 3 3 233 23 134)21(428a a b b ab a b a a ?-÷++-. 【解析】(1)原式1 1 3 1 231 334422()2223()242711033 =+?+?-=+?=； (2)原式=6 2 16 3 141413 ) 3 1 )(1()3()2(2)2(18 ?+?+?--112322 2324 143=?++=+； (3)原式3 13 13 13 12 313 13 12 313 12) 2(2)()8(a b a a b b a a b a a ?-? ++-= a b a b a a =--= ++3 313 31313131) 2()() 8(. 类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域. (1)212x x y =+；(2)y=4x -2x +1；(3)||3()2 x y -=； (4)y =为大于1的常数) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，2x ≠-1). ∵ x x x y 2 111211)21(+-=+-+=，又∵ 2x >0， 1+2x >1， ∴ 12110<+< x ， ∴ 02 11 1<+-<-x ， ∴ 12 11 10<+- ， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，4 3)212(12)2(22+-=+-=x x x y ， ∵ 2x >0， ∴ 212=x 即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于4 3的实数， ∴ 值域为[+∞,4 3 ). (3)定义域为R ，∵|x|≥0， ∴ -|x|≤0， ∴ 1)2 3(0| |≤=<-x y ，∴ 值域为(0，1]. (4)∵ 01 1 112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ 11 1 011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a y a y x x x x ≠=≥=-+-+11 211 21且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中 11 2 111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三： 【变式】求下列函数的定义域： (1)y = y = 0,1)y a a =>≠ 【解析】(1)(]-3∞， 需满足3-x ≥0，即3x ≤ (3)[)0,+∞ 为使得函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0 (4)a>1时，(]-0∞，；0 例3．判断下列各数的大小关系： (1)2 4 -231(),3,()331 (2)22.5，(2.5)0， 2.51()2 (3)1.080.3 与0.983.1 (4)0,1)a a >≠ 【解析】 (1)2-24311()<()<333 (2) 2.50 2.5 1()<(2.5)<22 (3)1.080.3 >1>0.983.1 (4)a>1时，< 0 【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写； (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1). 举一反三： 【变式1】（2015 西安模拟）已知3 a π=，3 b π=， c e π =，则,,a b c 的大小关系为（ ） .Aa b c >> .B a c b >> .C b c a >> .C b a c >> 【答案】D 【解析】解：因为函数()y x π =是R 上的增函数,且31e >> 所以31e ππ >>即1b c >> 构造函数()33x f x x =-则()30f =， ()'233ln3x f x x =-Q ()' 32727ln30f ∴=-< ()'44881ln30f =-< 所以函数()f x 在()3,4上单调递减. ()()30f f π∴<=330ππ∴-<即33ππ 又3 e e π ππ< 【变式2】求函数2 323x x y -+-=的值域及单调区间. 【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u ， 其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2 +3x-2在3(,]2 x ∈-∞上单增， u=-x 2 +3x-2在3[,)2 x ∈+∞上单减， 则2 32 3x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2 x ∈+∞上单减. 又u=-x 2 +3x-22311 ()244 x =--+≥， 2323x x y -+-=的值域为1 4(0,3]. 例4.化简：4233 -2a a a + 【解析】2 1 2 422121333 3 3 3 3 3 12 33-,1 -2---,01 a a a a a a a a a a a a a ?>???+===? ????< 类型四、判断函数的奇偶性 例5．判断下列函数的奇偶性：)()2 1 121( )(x x f x ?+-= (()x ?为奇函数) 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ?定义域关于原点对称， 且f(x)的定义域是()x ?定义域除掉0这个元素)， 令21 121)(+-=x x g ，则211222*********)(+--=+-=+-=--x x x x x x g )()2 1 121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----= ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ?为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 举一反三： 【变式】判断函数的奇偶性：()2 21x x x f x =+-. 【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}， 又112121 ()()()()222211221x x x x x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111 ()(1)()()222 212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题 例 6.（2015 贵阳二模）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等 式一定成立的是（） .0a Ab > .0B a b +> .1b C a > .log 2a D b > 【答案】D 【解析】由图像可知，a >1,b <0;所以log 20a b >> 故选D. 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 【巩固练习】 一、选择题： 1.若1,0a b ><，且22b b a a -+=，则 b b a a --的值等于（ ） A.6 B.2± C.2- D.2 2.函数( ) 2 ()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.2 D.12a << 3.已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >； (2)22a b >；(3)b a 11<；(4)11 33a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.函数21 21 x x y -=+是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5.(2015 泉州模拟)函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图像如图所示，则函数()x g x a b =+的大致图像是（） 6.已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.2()1()(0)21x F x f x x ? ? =+ ?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( ) A.是奇函数 B.可能是奇函数，也可能是偶函数 C.是偶函数 D.不是奇函数，也不是偶函数 8.(2015 河南二模)已知(),,x f x e x R a b =∈<，记()()A f b f a =-， ()()()()1 2 B b a f a f b = -+，则,A B 的大小关系是（ ） .A A B > .B A B ≥ .C A B < .D A B ≤ 二、填空题： 9.设函数[) 2 2,(,1) (),,1,x x f x x x -?∈-∞?=?∈+∞??若()4f x >，则x 的取值范围是_________. 10.函数2281 1(31)3x x y x --+??=-≤≤ ? ?? 的值域是_______________. 11.函数2 233x y -=的单调递减区间是_______________. 12.(2015 福建高考)若函数()2 ()x a f x a R -=∈满足()()11f x f x +=-， 且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 . 三、解答题： 13.已知[]3,2x ∈-，求11 ()142x x f x = -+的最小值与最大值. 14.设a R ∈，22 ()()21 x x a a f x x R ?+-= ∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数. 15.已知函数225 13x x y ++??= ? ?? ，求其单调区间及值域. 16.若函数4323x x y =-?+的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围. 17.已知函数1 ()(1)1 x x a f x a a -=>+， (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明()f x 是R 上的增函数. 【参考答案与解析】 5.A 【解析】由()f x 的图像可知01a <<，1b <-，则函数()g x 为减函数，且()010g b =+<，故答案为A . 8.C 【解析】考查选项，不妨令1,0b a ==，则1A e =-，1 2 e B +=显然A B <，排除,A B 选项. 若A B =则()()1 2 b a a b e e b a e e -= -+ 整理得()()22b a b a e b a e -+=-+ 观察可得a b =，与a b <矛盾，排除D .故选C . 12.【答案】1 【解析】()()11f x f x +=-Q ，()f x ∴关于1x =对称， Q 函数()()2x a f x a R -=∈，x a =为对称轴，1a ∴= ()f x ∴在[1,)+∞上单调递增, ()f x Q 在[,)m +∞上单调递增, m ∴的最小值为1. 二、填空题 9.(),2(2,)-∞-+∞U ， ()4,f x >Q 当1x <时，由24x ->可知，2x <-； 当1x ≥时，由2 4x >可知，2x >， ∴ 2x >或 2x <-. 10.991,33?????? ??????? ，令22 2812(2)9U x x x =--+=-++， ∵ 31,99x U -≤≤∴-≤≤， 又∵13U y ?? = ???为减函数， ∴9 9133y ?? ≤≤ ??? . 11.()0,+∞，令2 3,23U y U x ==-， ∵3U y =为增函数， ∴2 233x y -=的单调递减区间为()0,+∞. 12. 0，3 221 (125)(5)(5)220f f f ?-===-= 三、解答题： 13.2 21113()142122124224x x x x x x x f x -----? ?=-+=-+=-+=-+ ?? ?， ∵[]3,2x ∈-， ∴1 284 x -≤≤. 则当12 2x -= ，即1x =时，()f x 有最小值4 3； 当2 8x -=，即3x =-时，()f x 有最大值57. 14.要使()f x 为奇函数，∵ x R ∈，∴需()()0f x f x +-=， ∴1 222(),()212121x x x x f x a f x a a +-=--=-=-+++， 由12202121x x x a a +-+-=++，得2(21)2021 x x a +-=+，1a ∴=. 15.令13U y ??= ??? ，2 25U x x =++，则y 是关于U 的减函数， 而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数， ∴225 13x x y ++??= ? ?? 在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数， 又∵2 2 25(1)44U x x x =++=++≥， ∴225 13x x y ++??= ? ?? 的值域为410,3?? ?? ? ? ????? . 16.243232 323x x x x y =-?+=-?+，依题意有 22(2)3237(2)3231x x x x ?-?+≤??-?+≥??即1242221 x x x ?-≤≤??≥≤??或，∴ 224021,x x ≤≤<≤或 由函数2x y =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞U . 17.（1）∵定义域为x R ∈，且11()(),()11x x x x a a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数； （2）1222()1,11,02,111 x x x x x a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵ 即()f x 的值域为()1,1-； （3）设12,x x R ∈，且12x x <， 1212 1212 121122()()011(1)(1) x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零，且12x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数. 高中数学函数相关知识点整理 函数在高中数学中的地位不可动摇，考生必须掌握函数相关知识点，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高中数学反比例函数知识点 形如 y=k/x(k为常数且k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(xm)m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 高中数学对数函数知识点 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形， 因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1，0)这点。 (4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 高中数学指数函数知识点 指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 可以得到： (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 指数函数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???=)(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； 指数函数基础知识 指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。 一、指数函数的定义： 函数 )10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。 注意点1：为什么要规定01a a >≠且呢？ ①若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x <时，x a 无意义. ②若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于 14x = ，1 2x =，…等等，在 实数范围内函数值不存在. ③若1a =，则对于任何x R ∈，1x a =，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定01a a >≠且。在规定以后，对于任何x R ∈，x a 都有意义，且0x a >. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,)+∞ 。 注意点2： 上述指数函数的定义是形式上的定义，它实质上是一种指数的对应关系，以a 为底数 作为指数对应过去。从对应的角度看指数函数的话，就能很容易理解为什么函数1 3+=x y 不 是指数函数，也能理解指数函数的解析式x y a =中，x a 的系数为什么是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 x y a k =+ (01a a >≠且，k Z ∈)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如x y a -= (01a a >≠且)，因为它可以化为 1x y a ?? = ???，其中10a >，且1 1 a ≠。 二、函数的图象 （1）①特征点：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点. ②指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象中，y ＝1反映了它的分布特征；而直线x ＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x ＝1和y ＝1为指数函数的两条特征线(如右图所示). （2）、函数的图象单调性 当a ＞1时，函数在定义域范围内呈单调递增； 当0＜a ＜1时，函数在定义域范围内呈单调递减； 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：>.
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