高一数学上册指数函数知识点及练习题含答案.doc

课时 4 指数函数

一. 指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果x n a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号n a

表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号n a 表示；0的 n 次方根是0；负数 a 没有 n 次方根．

②式子n a叫做根式，这里n

叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶数时，a 0 ．

③根式的性质： ( n a )n a ；当 n 为奇数时，n

a n a ；当n为偶数时，n a n | a | a (a 0) ．

a (a 0)

（ 2）分数指数幂的概念

m

n a m ( a

①正数的正分数指数幂的意义是： a

n 0, m, n N , 且 n 1) ．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分

m m

n (1

)m( a

数指数幂的意义是： a

n (1) n 0, m,n N , 且 n 1) ．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：

a a

底数取倒数，指数取相反数．

（ 3）分数指数幂的运算性质

① a r a s a r s (a 0, r , s R) ② (a r ) s a rs (a 0, r , s R) ③ (ab)r a r b r (a 0, b 0, r R)

二.指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称

定义

y

图象

y 1

指数函数

函数 y a x (a 0 且 a1) 叫做指数函数y a x y a x y

y1(0,1) (0,1)

定义域

值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况

O x O x

（ 0,+ ∞）

图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．

非奇非偶

在 R 上是增函数在 R 上是减函数

y＞1(x ＞ 0),y=1(x=0),0 ＜y＜1(x ＜

＜0),y=1(x=0),0 ＜y＜1(x ＞0)

0) y＞1(x

a变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近y 轴；在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近y 轴；图象影响在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近x 轴．在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近x 轴．

三.例题分析

1.设 a、 b 满足 0

A.a a

B.b a

C.a a

D.b b

解析： A、B 不符合底数在 (0,1) 之间的单调性 ;C、 D指数相同 , 底小值小 . 故选 C.

2.若 0

解析：当 0

3.设指数函数f(x)=a x(a>0 且 a≠ 1),则下列等式中不正确的是(D)

A.f(x+y)=f(x)f(y)

B.f(x-y)=

f ( x)

f ( y)

C.f(nx)= ［ f(x) ］n

D.f ［(xy) n］= ［f(x) ］n［ f(y) ］n(n∈ N* )

解析：易知 A、B、C都正确 .

对于 D,f ［ (xy) n］ =a(xy)n , 而［ f(x) ］n·［ f(y) ］n=(a x) n· (a y ) n=a nx+ny, 一般情况下 D 不成立 .

1

,b= (4

)

1 3

4.设 a= (3

)3 4 ,c= (

3

)4 ,则 a、b、 c 的大小关系是 (B) 4 3 2

A.c

B.c

C.b

D.b

3 解析： a= () 1 1 1 1

(

8 1 3

3 (

4

)3 (

4

)4 =b,b= (

4

)4 ) 4 (

3

) 4 =c. ∴a>b>c.

3 3 3 27 2

5.设 f(x)=4 x-2x+1,则 f-1(0)=______1____________.

解析：令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0即有4a-2·2a=0.

2a· (2 a-2)=0, 而 2a>0, ∴ 2a=2 得 a=1.

6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3) ____________.

解析：因 y=a x的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位得到 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5). 故其反函数过定点 (5,3).

7.已知函数 f(x)= 10x 10 x .证明 f(x) 在 R 上是增函数 .

10x 10 x

证明：∵ f(x)=

10

x

10 x 102 x 1 , 10x

10 x

102 x 1

设 x 1

则 f(x 1)-f(x

2

)=

10x 1 10

10x 1 10

x 1

10x

2

10 x 2 102x

1

1 10

2 x

2

1 2(10 2x 1

102 x

2

)

.

x 1

10

x

2

10 x 2

10

2x

1

1 10

2 x

2

1

(10

2x

1

1)(102 x 2 1)

∵ y =10x 是增函数 ,

∴ 10 2 x 1 102 x 2 <0.

而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,

故当 x 1

2

)<0,

即 f(x 1

)

).

所以 f(x) 是增函数 .

b, a b,

3-x 的值域为 (A)

8.若定义运算 a b=

a 则函数 f(x)=3

x

a, b,

A.(0,1]

B. ［1,+∞)

C.(0,+ ∞ )

D.(- ∞ ,+∞ ) 解析： 当 3x ≥ 3-x , 即 x ≥0 时 ,f(x)=3 -x ∈ (0,1 ］;

x

-x , 即 x<0 时 ,f(x)=3 x

∈(0,1).

3 x , x 0, 当 3 <3

∴f(x)=

x

值域为 (0,1).

3x ,

0,

9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠ 1)的图象 (C)

A. 关于 x 轴对称

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线 y=-x 对称

解析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.

10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x

-2 的值域为 _______［ -

5

,1 ］___________.

3

解析： f(x) 在［ -1,1 ］上单调递增 .

11.设有两个命题 :(1)关于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0 对一切 x ∈ R 恒成立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x 是减函数 .

若命题 (1)和(2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)