复变函数--幅角原理

定义

邻域－定义 点的邻域指：

聚点、内点、孤立点－定义 给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。 若，但非的聚点，则称为的孤立点;

若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。

开集、闭集－定义 若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。

有界性－定义 点集称为有界集，若使有。

区域－定义 非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。

闭域－定义 区域加上它的边界称为闭域，记为：。

约当曲线－定义 设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程

所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点 。

单连通区域－定义 设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。

复变函数－定义 设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。 若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。

复变函数的极限－定义 设，为的聚点。若存在一复数，使，， 只要，就有

则称沿于有极限，并记为。

连续函数－定义 设子点集上有定义，为的聚点，且。若

即对任给的，，只要，，就有

则称沿于连续。

复球面 复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。

无穷远点 考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。

主要定理

约当定理－定理 任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足

（1）彼此不交

（2）是一个有界区域（称为的内部）

第六章 留数理论及其应用

§1.留数

1.（定理6.1 柯西留数定理）：

∫𝒇(𝐳)𝐝𝐳=𝟐𝛑𝐢∑𝑹𝒆𝒔(𝒇(𝒛),𝒂𝒌)𝒏𝒌=𝟏𝑪

2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，

𝐟(𝐳)=𝝋(𝒛)(𝒛−𝒂)𝒏,

其中𝝋(𝒛)在点a解析，𝝋(𝒂)≠𝟎，则

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),𝐚)=𝝋(𝒏−𝟏)(𝒂)(𝒏−𝟏)!

3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，

𝛗(𝐳)=(𝐳−𝐚)𝐟(𝐳),

则

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),𝐚)=𝛗(𝐚)

4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点

𝛗(𝐳)=(𝒛−𝒂)𝟐𝒇(𝒛)

则

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),𝐚)=𝛗′(𝐚)

5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式

6.无穷远点的留数：

𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)=𝟏𝟐𝝅𝒊∫𝒇(𝒛)𝒅𝒛𝚪−=−𝒄−𝟏

即，𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中𝟏𝒛这一项系数的反号

7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为𝒂𝟏,𝒂𝟐,…,𝒂𝒏,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)=𝟎，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式： 𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝐳),∞)=−𝐑𝐞𝐬(𝐟(𝟏𝒕)𝟏𝒕𝟐,𝟎)

§2.用留数定理计算实积分

一.∫𝑹(𝒄𝒐𝒔𝜽,𝒔𝒊𝒏𝜽)𝒅𝜽𝟐𝝅𝟎型积分 → 引入𝐳=𝒆𝒊𝜽

注：注意偶函数

二.∫𝑷(𝒙)𝑸(𝐱)𝒅𝒙+∞−∞型积分

1.（引理6.1 大弧引理）：𝑺𝑹上

(完整)《复变函数》练习题

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福师12秋《复变函数》练习题

注:

1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。

一、单项选择题

1．2sini=（ )

A． B.

C． D．

答案：D

2．函数在复平面上（ ）

A．处处不连续 B.处处连续，处处不可导

C。处处连续，仅在点z=0可导 D.处处连续，仅在点z=0解析

答案:C

3．设C是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )

A． B． C． D．0

答案：C

4．，分别是正向圆周与，则 ( ）

A． B．cos2

C．0 D．sin2

答案：D

二、填空题 1()eei1()eei1()eei1ee2()fzz00z530()Czdzzz2i3020zi502zi1C2C1z21zdzzzidzzeiccz212sin212212i(完整)《复变函数》练习题

1. 设，则________。

考核知识点:复数代值。

2．设是解析函数．若,则______．

考核知识点:解析函数的导数.

3. 设C为正向圆周,则 。

考核知识点：柯西积分公式.

4．幂级数的收敛半径为_________. 考核知识点：幂级数的收敛半径。

开放映射定理

开放映射定理是数学中的重要定理之一，它在复分析和拓扑学中有广泛的应用。这个定理的证明非常复杂，涉及到许多高级数学概念和技巧。在这篇文章中，我将简要介绍开放映射定理的概念和其证明的思路。

开放映射定理是指对于一个复变函数，如果它在某一区域内解析，那么它将这个区域内的开集映射成另一个区域内的开集。简单来说，开放映射定理说明了解析函数在局部的扩张特性，它可以将一个点的邻域映射到另一个点的邻域，这种映射保持了开集的性质。

证明开放映射定理的思路是利用导数的连续性和零点的性质。首先，我们需要使用导数的连续性来保证解析函数的导数在整个区域内都存在。然后，我们利用零点的性质来证明解析函数在局部是开放映射的。具体来说，我们假设解析函数f在某一点z0处的导数不为零。由于导数的连续性，可以找到一个邻域U，使得在U中，f的导数不为零。根据零点的性质，这意味着在U中，f没有零点。因此，f将U中的点映射到某一区域V中，且保持零点的性质。由于V是映射f的开集，这证明了解析函数在局部是开放映射的。

然而，当解析函数在某一点z0处的导数为零时，情况变得更加复杂。在这种情况下，我们不能直接应用前面的证明思路。为了解决这个问题，我们需要引入另一个定理，即Riemann映射定理。该定理说明了任何两个不同的单连通域可以通过一个解析函数互相映射。利用Riemann映射定理，我们可以找到一个解析函数g，将给定区域U映射到单位圆盘D上。然后，我们可以将开放映射定理应用于单位圆盘上的解析函数g。由于单位圆盘是乘积拓扑的子集，我们可以通过一系列嵌入和投影将开放映射定理扩展到给定区域上的解析函数f。通过这种方式，我们可以证明解析函数在整个区域内都是开放映射的。

总的来说，开放映射定理是复分析和拓扑学中一项重要的定理，它说明了解析函数在局部的扩张特性。它的证明过程需要利用导数的连续性和零点的性质，以及引入Riemann映射定理。这个定理的证明相当复杂，需要运用许多高级数学概念和技巧。它在数学理论和实际问题中都有重要的应用，为我们深入理解解析函数提供了重要的工具和方法。开放映射定理在复分析中有许多重要的应用。其中一个重要的应用是在复变函数论中的辐角原理。辐角原理是指解析函数的辐角变化在开区域内满足一定的性质。通过开放映射定理，我们可以证明辐角原理。具体来说，假设f是一个解析函数，它将一个开区域U映射到另一个开区域V。设z0是U的一点，w0是V的一点，且f(z0)