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第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
复变函数的留数定理与辐角原理复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以分为解析函数和非解析函数两类。
而留数定理（Residue theorem）和辐角原理（Arg principle）是复变函数理论中重要的两个定理，它们在解析函数的研究和应用中具有重要的作用。
一、复变函数的留数定理留数定理是由法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）在19世纪末提出的，它给出了计算复变函数沿封闭曲线的积分的方法。
留数定理的核心思想是：对于在圆盘上解析的函数，它的积分仅与它在圆盘内的奇点（亦即解析函数的不可导点）有关。
设f(z)是圆盘D内的解析函数，z_0是D内的孤立奇点，那么f(z)在z_0处的留数（residue）可以通过下式计算得到：Res(f, z_0) = (1/2πi) ∮f(z)dz其中，∮表示沿着封闭曲线的积分。
这个公式可以方便地计算复杂数学问题中的积分，特别是在计算围道积分时非常有用。
二、复变函数的辐角原理辐角原理是由奥地利数学家黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中提出的，它描述了复变函数在解析域内辐角变化的性质。
辐角原理的核心思想是：如果在解析域内有一个点z_0，使得f(z_0) = 0，则f(z)在z_0附近的辐角将增加或减少2π的整数倍。
具体而言，对于在解析域Ω内解析的函数f(z)，假设z_0是f(z)的零点，那么f(z)在z_0附近的辐角变化等于z从z_0沿着封闭曲线C绕行一周的辐角变化：Δα = Arg(f(z)) = (1/2π) Δθ其中，Δα表示辐角的变化量，Δθ表示z从z_0沿着C绕行一周所对应的角度变化量。
迄今为止，辐角原理在解析函数的研究和应用领域起到了重要作用。
它为复变函数的数学分析提供了有力的工具和方法。
综上所述，复变函数的留数定理和辐角原理是复变函数理论中的两个重要定理。
留数定理利用留数的概念，提供了计算复变函数沿封闭曲线积分的方法；辐角原理研究解析函数的辐角特性，描述了函数在零点附近的辐角变化规律。
§3 辐角原理及其应用一、教学目标或要求：掌握幅角原理的准确叙述及其应用二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：对数留数 幅角原理 例题 重点：幅角原理 例题 难点: 幅角原理 例题 三、教学手段与方法： 讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习： 11－14§3 辐角原理及其应用1．对数留数留数定理的另一个应用的考虑形如 的复变函数在极点处的留数,以之导出辐角原理,提供确定解析函数零点个数的一个有效工具。
积分dzz f z f i C ⎰)()('21π称为)(z f 的对数留数。
引理 6.4（1）设为的级零点，则必为的一级极点，且 ；（2）设为的级极点，则必为的一级极点，且 。
证 （1）若设为的级零点，则在的邻域内，，其中在的邻域内解析,且,于是, 从而。
由于在是邻域内解析,故可在的邻域内展开成Taylor级数,必定不含的负幂项，因此必为的一级极点，且。
（2）设为的级极点，则必为的级零点，由（1）的结论,必为的一级极点，且。
定理6.9设为一条围线，满足条件：（1）在的内部除可能有极点外是解析的；（2）在上解析且不为零，则，其中与分别表示在内部的零点与极点的个数(一个级零点算作个零点，一个级极点算作个极点)。
证由第五章(二)习题14知,在内部至多只有有限个零点和极点。
设为在内部的不同零点，其级相应地为,为在内部的不同极点,其级相应为。
根据引理 6.4，、都是的一级极点，于是，在内部及上除去、，外均解析，故由留数定理2. 辐角原理辐角原理 在定理6.9的条件下，函数)(z f 在C 内部的零点个数与极点个数之差，等于当z 沿C 之正向绕行一周后的改变量)(arg z f C ∆除以π2，即π2)(arg ),(),(z f C f P C f N C ∆=- (6.27)特别地，如果在围线C 上及C 之内部均解析，且在C 上不为零，则π2)(arg ),(z f C f N C ∆=(6.28)证（大意）根据定理6.9，注 定理6.9（2）可减弱为“连续到边界,且沿,”，围线也可以是复围线。
高考数学知识点速记留数定理与辐角原理在高考数学的众多知识点中，留数定理与辐角原理无疑是较为复杂和抽象的部分。
但只要我们掌握了其核心概念和方法，就能在解题中如鱼得水。
首先，我们来了解一下什么是留数。
留数是复变函数中的一个重要概念。
对于一个在孤立奇点处解析的函数，其留数可以通过特定的公式计算得出。
留数在计算复变函数的积分时有着极其重要的作用。
留数定理则是联系函数在孤立奇点处的留数与沿闭合曲线的积分之间的重要定理。
简单来说，如果我们有一个在某个区域内除了有限个孤立奇点外处处解析的函数，那么沿该区域内的一条闭合曲线的积分，就等于函数在这些孤立奇点处的留数之和乘以2πi 。
这个定理为我们计算一些复杂的积分提供了非常有效的方法。
为了更好地理解留数定理，我们来看一个例子。
假设我们要求函数f(z) ＝ 1 ／（z^2 ＋ 1) 在｜z| ＝ 2 上的积分。
首先，我们需要求出函数的孤立奇点。
通过求解方程 z^2 ＋ 1 ＝ 0 ，得到 z ＝ ±i 。
接下来，计算这两个奇点处的留数。
对于 z ＝ i ，留数为 1 ／（2i) ；对于 z ＝i ，留数为－1 ／（2i) 。
然后根据留数定理，沿｜z| ＝ 2 的积分就等于2πi × 1 ／（2i) 1 ／（2i) ＝ 0 。
接下来，我们再谈谈辐角原理。
辐角原理主要涉及到函数的零点和极点与函数沿闭合曲线的辐角变化之间的关系。
具体来说，如果函数 f(z) 在某个区域内除了有限个零点和极点外处处解析，并且闭合曲线 C 不经过这些零点和极点，那么函数 f(z) 沿 C的辐角变化等于2π乘以函数在 C 内部的零点个数减去极点个数。
比如说，对于函数 f(z) ＝（z 1)（z 2) ／（z 3)（z 4) ，我们要计算它沿｜z| ＝ 5 的辐角变化。
首先求出函数的零点为 z ＝ 1 和 z ＝ 2 ，极点为 z ＝ 3 和 z ＝ 4 。
然后判断这些点与｜z| ＝ 5 的关系，发现它们都在｜z| ＝ 5 的内部。
