数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求与得基本方法与技巧

一、总论:数列求与7种方法:

利用等差、等比数列求与公式

错位相减法求与

反序相加法求与

分组相加法求与

裂项消去法求与

分段求与法(合并法求与)

利用数列通项法求与

二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法,

三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。

数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。 在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、 数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需要一定得技巧、 下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、

一、利用常用求与公式求与

利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。

1、 等差数列求与公式:

2、等比数列求与公式:

3、 ４、

5、

［例1］ 已知,求得前n项与。

解:由

由等比数列求与公式得 (利用常用公式)

＝==1-

［例2］ 设Sn＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、

解:由等差数列求与公式得 , (利用常用公式)

∴ ＝

=＝

∴ 当 ,即n＝８时,

二、错位相减法求与

这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn· ｂn｝得前n项与,其中｛ an ｝、｛ bｎ }分别就是等差数列与等比数列。

［例3］ 求与:………………………①

解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积

设………………………。 ② (设制错位)

①－②得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 (错位相减)

求数列前N项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

11()(1)22nnnaannSnad

特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，1nSna

1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211nnkSnkn 2、)12)(1(6112nnnkSnkn

3、213)]1(21[nnkSnkn

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①

[例4] 求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.

练习：

求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1

3. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例5] 求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…

[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设kkkkkkak2332)12)(1(

∴ nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝kkknknknk1213132

一般数列求和的方法

嘿，朋友们！今天咱们来好好聊聊一般数列求和的那些超棒方法！

先来说说公式法，这就像是一把万能钥匙，好多常见数列都能用特定公式直接解锁求和呀！比如说等差数列，那求和公式不就很清楚嘛，就像

1+2+3+4+5 这样的等差数列，咱就能用公式快速算出和来。

还有裂项相消法，哇哦，这个可神奇啦！它能把数列中的每一项拆分成两项的差，然后抵消掉中间的好多项呢！就好像搭积木，把复杂的形状拆成简单的小块，然后轻松搞定。比如 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) ，用裂项相消法就能很快求出和。

再讲讲分组求和法呀，这就像是把不同的东西分类整理。比如一个数列一会儿是等差数列的部分，一会儿又是等比数列的部分，那咱就把它们分开算，最后加在一起。这多有条理呀！

倒序相加法也很特别呢，就像照镜子一样。给你举个例子，1+2+3+4+5，倒过来写就是 5+4+3+2+1，然后把这两个加起来会发现有神奇的事情哦！

朋友们，这些方法是不是都超有趣呀！赶紧去试试吧，你会发现数列求和也能这么好玩呢！

,16)

所以 Tn a1 a2

⑻ a2

S16 (Sn S16)

2S16 Sn

2 n 32n 512 (a17 a18 an)

32

n

2 32n 512 (n

(n 1,2,L

17,且n N ) 数列求和的七种基本方法

甘志国部分内容（已发表于 数理天地（高中），2014（11） : 14-15）

数列求和是数列问题中的基本题型， 但具有复杂多变、综合性强、 解法灵活等特点，本 文将通过例题（这些例题涵盖了 2014年高考卷中的数列求和大题 ）简单介绍数列求和的七种 基本方法.

1运用公式法

很多数列的前n项和Sn的求法，就是套等差、等比数列 &的公式，因此以下常用公式 应当熟记:

1 2 3 L n n(n

2 1)

1 3 5 L (2n 1) n 2

1 2 22 L 2n 1 2n 1

1 1

1 L 1 1 1 2 22 23 2n 2

还要记住一些正整数的幕和公式：

2 2 2 2 1

12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)

6

小3 小3 3 1 2 “ 八2

1 2 3 n n (n 1)

4

17时, 例1已知数列｛an｝的前n项和Sn 32n n2，求数列｛an｝的前n项和Tn.

(1) 2

由Sn 32n n ,可得an 33 2n, an 0 16，所以:

16 时，Tn=Sn 32n

2 n Tn an

a16 ) 例 2 求 Sn 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) n 1.

解设ak k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.

Sn (12 3 n)(n 1) (12 22 32 n2)

1 1

n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1)

2 6

1

1n(n 1)(n 2)

6

答案：Sn n .

答案：Sn n2 3n.

⑴求an ；

⑵设bh log3an，求数列｛bn｝的前n项和Sn .