2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系练习新人教B版必修2

第26课时 2.3.4 圆与圆的位置关系课时目标1.掌握两圆的五种位置关系及其判断方法． 2．会求两圆的公切线和公共线．3．能利用圆系方程解决与圆有关的问题．识记强化1．几何方法：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0)，圆心距d ＝a 1－a 22＋b 1－b 22，d ＞r 1＋r 2⇔两圆外离； d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2⇔两圆相交；0≤d ＜|r 1－r 2|⇔两圆内含，d ＝0时为同心圆； d ＝|r 1－r 2|⇔两圆内切．2．代数方法：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切(内切或外切)；无实数解⇔两圆不相交(外离或内含)．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1和(x －3)2＋(y ＋6)2＝144的位置关系是( ) A ．相切 B ．内含 C ．相交 D ．外离 答案：B解析：因为两圆的圆心距d ＝3＋32＋－6－22＝10＜12－1＝11，所以两圆内含．2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y －9＝0 C ．x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＋7＝0 答案：C解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x ＋3y ＝0.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 答案：D解析：由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 答案：C解析：由平面几何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C 1(2，－3)、C 2(3,0)，因为C 1C 2斜率为3，所以直线方程为y －0＝3(x －3)，化为一般式可得3x －y －9＝0.5．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 答案：C解析：两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1.∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上， ∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.6．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36 答案：D解析：半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6，再由a 2＋32＝5可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.二、填空题(每个5分，共15分)7．已知两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋2)2＋(y －a )2＝25没有公共点，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－42)∪(－23，23)∪(42，＋∞)解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a )，半径分别为1,5，∴圆心距d＝0＋22＋0－a 2＝a 2＋4，∵两圆没有公共点，∴a 2＋4＜5－1或a 2＋4＞5＋1，解得－23＜a ＜23或a ＜－42或a ＞4 2.8．两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦的长为________． 答案： 2解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0，∴圆x 2＋y 2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d ＝|－3|1＋－12＝32.设公共弦的长为l ，则l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2.9．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为________．答案：4解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2，∴|AB |＝4.三、解答题10．(12分)已知圆P ：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4与圆Q ：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2，当m 为何值时，两圆：(1)相离；(2)相交；(3)相切．解：∵圆P 的方程可化为(x －m )2＋y 2＝4，∴圆P 的圆心为P (m,0)，半径为r 1＝2 又圆Q 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2m )2＝9， ∴圆Q 的圆心为Q (－1,2m )，半径为r 2＝3. (1)∵两圆相离，∴m ＋12＋2m 2＞2＋3，解得m ＞2或m ＜－125.(2)∵两圆相交，∴3－2＜m ＋12＋2m 2＜2＋3，解得0＜m ＜2或－125＜m ＜－25.(3)∵两圆相切， ∴m ＋12＋2m 2＝2＋3或m ＋12＋2m 2＝3－2，解得m ＝2、－125或0、－25.11．(13分)求过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：由题意，设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ.由题意，得－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，∴λ＝－7.∴所求圆的方程是x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.能力提升12．(5分)已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝0－22＋－1－12－2＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2， 解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.13．(15分)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0. (1)求证：两圆相交(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过P 点引两圆切线，并使它们长都等于6 2.解：(1)证明：圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10，圆C 2：(x －3)2＋(y －12)2＝734.∵两圆心距|C 1C 2|＝2－32＋1－122＝52， 且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交．(2)联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0x 2＋y 2－6x －y －9＝0，两圆方程相减，即得两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0. (3)设P (x ，y )，则依题意得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0x 2＋y 2－6x －y －9＝622.解方程组得点P (3,10)或P (－235，－265)．。

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因为 l1 与半圆相切，所以 b＝－ 2； 当直线 y＝x＋b 位于 l2 时，b＝－1； 当直线 y＝x＋b 位于 l3 时，b＝1． 所以 b 的取值范围是－1<b≤1 或 b＝－ 2．
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12．一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴反射后与圆(x＋3)2
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13．已知圆 x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线 x＋2y－3＝0 相交 于 P、Q 两点，O 为原点，且 OP⊥OQ，求实数 m 的值．
解：设点 P，Q 的坐标分别为(x1，y1)，1， 即xy11·xy22＝－1，x1x2＋y1y2＝0． ① 又(x1，y1)，(x2，y2)是方程组xx＋2＋2yy2－＋3x＝－06，y＋m＝0 的实数解，即 x1，x2 是方程 5x2＋10x＋4m－27＝0，②的两 个根，
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6．已知点 A(－2，0)，B(0，2)，点 C 是圆 x2＋y2－2x＝0 上 任意一点，则△ABC 面积的最大值是________． 解析：直线 AB 的方程是－x2＋2y＝1，即 x－y＋2＝0，|AB|＝ 2 2，则当△ABC 面积取最大值时，边 AB 上的高即点 C 到 直线 AB 的距离 d 取最大值，又圆心 M(1，0)，半径 r＝1，
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(3)设 M(x，y)， 由|MA|＝|MO|得 x2＋(y－3)2＝ x2＋y2． 整理得 y＝32，故点 M 在直线 m：y＝32上． 所以点 M 既在圆 C 上又在直线 m 上， 即圆 C 和直线 m 有公共点， 所以2a－4－32≤1， 所以94≤a≤143． 综上所述，a 的取值范围为94，143．
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10．设圆上的点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在圆

所以 m＝3．
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14．(选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 A(0，3)，设圆 C 的半径为 1，圆心 C(a，b)在直线 l：y＝2x －4 上． (1)若圆心 C 也在直线 y＝－x＋5 上，求圆 C 的方程； (2)在上述的条件下，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (3)若圆 C 上存在点 M，使|MA|＝|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．
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5．已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点 P(3，5)
的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积
为( )
A．10 6
B．20 6
C．30 6
D．40 6
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解析：选 B．如图所示，设圆的圆心为 M，
则 M(3，4)，半径 r＝5．
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所以|AQ|2＋12|MN|2＝r2， 又因为|MN|＝2 19，r＝2 5， 所以|AQ|＝ 20－19＝1， 解方程|AQ|＝ |kk－2＋2|1＝1，得 k＝34， 所以此时直线 l 的方程为 y－0＝34(x＋2)， 即 3x－4y＋6＝0． 综上所得，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0．
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点 M 到直线 x－y＋2＝0 的距离是322．由圆的几何性质得 d
的最
大值是
3
2 2
＋1，
所 以 △ABC
面 积 的 最 大 值 是 12 ×2
2
×3

2

①－②得：x－y＋2＝0，
所以公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.
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(2)法一：因为两圆公共弦所在直线方程为 lAB：x－y＋2＝0. 圆心C1到直线AB的距离d＝ 2，设圆C1的半径为r1， 所以公共弦长即|AB|＝2 r21－d2＝2 4－2＝2 2. 法二：解两圆方程组成的方程组得两圆交点坐标是 A(－2,0)，B(0,2)，所以公共弦长即 |AB|＝ －2－02＋0－22＝2 2.
是说两圆的交点个数为 2，故可判断两圆相交.
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考点二 圆与圆的相切问题
[典例] 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ 3 y＝0相切于
点M(3，－ 3)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
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考点三 两圆的公共弦问题
[典例] 已知圆C1：x2＋y2－4＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y －12＝0相交于A，B两点．
(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．
(2)求圆C1与圆C2的公共弦的长度． [解] (1)联立方程得
x2＋y2－4＝0，
①
x2＋y2－4x＋4y－12＝0， ②
答案：相交
3．若圆x2＋y2＝4与圆M外切，圆心距为5，则圆M的半径r＝____.
答案：3
4．圆x2＋(y－1)2＝1与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是________．
答案：相交
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考点一 圆与圆位置关系的判断
[典例] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12 ＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离、内含？