常用地一些矢量运算公式

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常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如ar，br和cr是三个矢量，组合 abc•

rrr

叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为,,ijk

rrr

，令三个矢量的分量记为123123,,,,,aaaabbbbrr及123,,ccccr则有

123123123123123123cccijkabcaaacicjckaaabbbbbb••rrrrrrrrr 因此，三重标量积必有如下关系式：abcbcacab•••rrrrrrrrr即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积

如ar，br和cr是三个矢量，组合 abc

rrr

叫做他们的三重标量积，因有

()()()abcacbcbarrrrrrrrr 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有

一个重要的性质（证略）:()()abcabcacb••rrrrrrrrr （1-209） 将矢量作重新排列又有：abcbacbac••rrrrrrrrr （1-210） 3.算子（ar） 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ar）则是一个标量算子，将它作用于标量，即

()ar

是在ar方向的变化速率的a倍。如以无穷小的位置矢量drr代替以上矢量ar，则

()drr

是在位移方向drr的变化率的drr倍，即d。

()ddrdrrr 若将()drr作用于矢量vr，则()drvrr就是vr再位移方向drr变化率的drr倍，既为速度矢量的全微分dvdrvr 应用三重矢量积公式（1-209）00()()()()abababbaabbaab••••

rrruuruurrrrrrrrrr

应用三重矢量积公式（1-210）又有 实用标准文案 文档 00

()()()()abababababbaba••••

rrrrruurrrrrrrrr

将以上两式结合（相减）后可得 1()()()()()2abababbaabbaab•••

rrrrrrrrrrrrrr

一个重要的特例，令abvrrr，因0vvrr则有21()()2vvvvvrrrr 4.算子的应用

令是标量，ar是矢量，;abrr为并矢量，则有 00

00

2

000

()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()aaaaaaaaaaaaaabababbaab•••••

rrrrrrrrrrrrrrruuruuruurrrrrr

在直角坐标中，令

2222

222()xyzyxzxyzxyzaiajakaijkxyzaaaaxyzijkaxyzaaaxyzaaaaxyz••







rrrrrrr

rrrrr

r 对一组正交曲线坐标系123(,,)，其单位矢量123(,,)eee，将任意位置矢量Rur变分写为 111222333Rhdehdehdeur

其中123,,hhh为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，Rdxidxjdxkurrrr，所以1231hhh。在柱坐标(,,)rz中，因rzRdrerdedzeuruurur，所以

1321,hhhr。在球坐标(,,)r中，因sinrRdrerdereuruuruur，所以实用标准文案 文档 1231,,sinhhrhr。

在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量112233aaeaeaeruruurur，则有 312

112233

231312231123133

112233

123123112233

()()()11eeehhhhhahhahhaahhhheheheahhhhahaha•







rr 单位矢量的旋度和散度为 3211

1

133122

231

1231

2233112

123111222333

(1,2,3)()1(1,2,3)1()()()eehhehhhhhhehhhhhhhhhhhhhhh•urur轮换轮换

123(,,)nnnn方向梯度nr作用于矢量ar为





332121

111213

12213131

333222

122321

23323112

331122

333132

31132323

()()()()()()ahahhhnaenannnnhhhhaahhhhenannnnhhhhhhahahenannnnhhhh















rrrrr 实用标准文案

文档 笛卡尔张量 1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号 以1(1,2,3)xi表示笛卡尔直角坐标系的坐标，1(1,2,3)ii表示三个坐标轴方向单位矢量。

令123(,,)xxx，定义求和约定的写法为123123iiddxdxdxdxxxxx式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，jjdxx和iidxx具有相同的效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。

克罗克尼尔（Kroneker）符号定义为0,1,ijijij 在笛卡尔直角坐标系中，有12,,3,iijijijijijjxiixxx•rur

单位矩阵也可以表示为111213212223313233100010()001ijIr 轮转符号定义为0,,,1,,,1,2,3-1,,,1,2,3ijkijkijkijk当中有两个相同时当为顺序轮转排列时当为非轮转顺序排列时 例如1232313121323212131,1。采用轮转符号ijk可使运算的书写简化，如

123123123iijkjkiiiiabaaaabbbbrr 或

123123123()()iiijkjkikijkijababiiivvixxxxvvvrr 或 实用标准文案 文档 ()()kiijkjvvx

2.笛卡尔张量定义 在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的

变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量（如应力）在任一点处有三个矢量分量123,,pppuuruuruur

即这个量具有九个分量。这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分

量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则这个量称为二阶张量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们

分别有0123,3,3个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n阶张量。

笛卡尔二阶张量所确定的三个矢量的分解式为112233111121231321212223233131232333ipipippipipippipipippipipipruururuururuuruurrururuurrururuurrurur

则张量可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式111213212223313233ppppppppp 或写成张量的九项式：,,1,2,3ijijiipij 如1112131,0()ijppppij，则为单位张量 如果张两分两满足条件ijjipp，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件ijjipp，则这个张量叫反对称张量。若将张量的分量ijp与jip互易位置后的张量，则

称该张量的共轭张量，并以c表示：112131122232132333cppppppppp 3.并失 为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失abrr写成;abrr。令112233112233,aiaiaiabibibibrrururrrurur

，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为