高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧:平面向量
一、向量的有关概念及运算
解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点:
(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
(2)正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
(3)用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
a=(m,n)bp,q),(例1:(2010?山东高考理科?,12)定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的，，ab,,mqnp令?，下面说法错误的是( )
,abababba,0A.若与共线，则? B.??
2222)，,,()abab,(),a,(ab)bab,RC.对任意的,，有?? D. (? 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决
问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
,,,mqnp0ababba,,pnqma【规范解答】选B，若与共线，则有?，故A正确;因为? ,，而?
,b,,mqnpabba，所以有?? ，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策:解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
二、与平面向量数量积有关的问题
解题技巧:与平面向量数量积有关的问题
ababxxyyab,,,,，,00,其中、1(解决垂直问题:均为非零向量。这一条件不能忽视。 1212
222AxyBxyABxxyy(,),(,),||()()则,,，,||aaa,2(求长度问题:，特别地。
11221212
3(求夹角问题:求两非零向量夹角的依据
=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-
cos120°)
=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°
=1-14=34.
四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还
应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①
切割化弦;②降幂转化来计算.例6 求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:
tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°
=sin20°+4sin20°cos20°cos20°
由于题目中出现了20°与40°的角,其和为
60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且
方法不是唯一的.变式1 tan20°+4sin20°
=sin20°+2sin40°cos20°
=sin(60°-40°)+sin40°cos20°
=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°
cos20°
=32cos40°+32sin40°
cos20°
=3(12cos40°+32sin40°)
cos20°
=3sin70°cos20°=3.
变式2 tan20°+4sin20°
=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°
=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°
=3cos20°cos20°=3.
以上几种形式的转化求值问题,只是在三
角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体
现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其
它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突
出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.
黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)
●韩晓辉
巧用平面向量解立体几何问题
平面向量是解答立体几何问题的一种快
速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问
题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用解题技巧总结
单选题
1、已知向量𝐴𝐵→
=(2,2)，𝐴𝐶→
=(𝑡,1)，若𝐴𝐵→
⋅𝐵𝐶→
=2，则𝑡=（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案：B
分析：先根据已知条件计算𝐵𝐶→
，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.
解：根据题意得：𝐵𝐶→
=𝐴𝐶→
−𝐴𝐵→
=(𝑡,1)−(2,2)=(𝑡−2,−1)，
所以𝐴𝐵→
⋅𝐵𝐶→
=2(𝑡−2)+2×(−1)=2𝑡−4−2=2，解得𝑡=4.
故选：B.
小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.
2、已知平面向量𝑎⃑＝(1，2)，𝑏⃑⃑
＝(－2，m)，且𝑎⃑∥𝑏⃑⃑
，则2𝑎⃑＋3𝑏⃑⃑
＝( )
A．(－4，－8)B．(－8，－16)
C．(4，8)D．(8，16)
答案：A
分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
∵𝑎⃑∥𝑏⃑⃑
，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴𝑏⃑⃑
＝(－2，－4)，
∴2𝑎⃑＋3𝑏⃑⃑
＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
3、在△𝐴𝐵𝐶中，点D在边AB上，𝐵𝐷=2𝐷𝐴．记𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑚⃑⃑ ，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑛⃑ ，则𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=（ ）
A．3𝑚⃑⃑ −2𝑛⃑ B．−2𝑚⃑⃑ +3𝑛⃑ C．3𝑚⃑⃑ +2𝑛⃑ D．2𝑚⃑⃑ +3𝑛⃑
答案：B
分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
因为点D在边AB上，𝐵𝐷=2𝐷𝐴，所以𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=2𝐷𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
，即𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑
−𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑
=2(𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
−𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑
)，
所以𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑
= 3𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑
−2𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
平面向量及其应用单元复习
一 知识结构图
内
容 考点 关注点
平面向量 向量的线性运算 运算法则
向量的数量积、模、夹角 夹角范围
向量的坐标运算 公式运用
向量的平行与垂直问题 平行、方向与数量积正负的关系
利用正弦定理、余弦定理解三角形 选择合适的定理及三角形
二.学法指导
1.向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则：
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．
2. 向量数量积的求解策略
(1)利用数量积的定义、运算律求解．
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．
(2)借助零向量．
即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．
(3)借助平行向量与垂直向量．
即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题．
(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．
3.解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
