高中数学人教版选修4-5习题：第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法

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第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式
1.2.2 绝对不等式的解法

A级 基础巩固
一、选择题

1．不等式x－2x＞x－2x的解集是( )
A．(0，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

解析：由绝对值的意义知，x－2x＞x－2x等价于x－2x＜0，
即x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.
答案：A
2．(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1，4) D．(1，5)
解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当
1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(
x
－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．
法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2
的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．
答案：A
3．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为|x－2|＜1等价于1＜x＜3，x2＋x－2＞0等价于x＜－2或x＞1，所以“|
x
－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．
答案：A
4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：原不等式化为－6＜ax＋2＜6，即－8＜ax＜4.
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又因为－1＜x＜2，所以验证选项易知a＝－4适合．
答案：C
5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，3]∪[5，＋∞) B．[－5，－3]
C．[3，5] D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
答案：D
二、填空题
6．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．

解析：不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6⇔x－12＋x＋12≤3，由绝对值的几何意义知(如
图)，
当－32≤x≤32时，不等式x－12＋x＋12≤3成立．

答案：－32，32
7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是
________．
解析：当a＜0时，显然成立；

因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋4a≤4.所以a＝2，
综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．
答案：(－∞，0)∪{2}
8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是∅，则a的取值范围是________．
解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3.
答案：a＜3
三、解答题
9．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)求关于x的不等式f(x)＜2的解集；
(2)如果关于x的不等式f(x)＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解：(1)当x≤1时，f(x)＝3－2x.
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由3－2x＜2，得12＜x≤1，
当1＜x＜2时，f(x)＝1＜2恒成立，
所以1＜x＜2；
当x≥2时，f(x)＝2x－3，

由2x－3＜2，得2≤x＜52.

故不等式f(x)＜2的解集为x12＜x＜52.
(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1，
故若关于x的不等式f(x)＜a的解集不是空集，需a＞1，
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a
.

所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
B级 能力提升
1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1，2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即
a≥4或a
≤－1.

答案：A
2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象
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限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥
kx
恒成立，只需 k≤1.

综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．
答案：[0，1]
3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3

⇔
x≤2，3－x＋2－x≥3或





2

3－x＋x－2≥3

或x≥3，x－3＋x－2≥3.
⇔x≤1或x∈∅或x≥4.
故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)原命题⇔f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立⇔|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立⇔
－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立⇔－3≤a≤0.
故a的取值范围是[－3，0]．