【天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数列通项公式的求法——累加累乘(学生版)]

每年高考必考！求数列通项公式的11种方法——高三同学必须掌握同学们都知道，求数列通项公式基本上是每年高考必考题。

所以，求通项公式的各种方法和技巧每位同学都应该彻底掌握。

利用递推关系求数列通项一般有11种方法，有累加法、累乘法、等差法、换元法。

相信同学们都再熟悉不过了。

方法只是手段而已，而最核心的是同学们要掌握运用这些方法的能力。

也就是说当你拿到一道题时，你首先需要分析他应该要怎么变形，怎么去构造，然后用什么样的方法去解决，这才是我们必需具备的能力。

通过不断的梳理和整理，从而把这些方法运用得非得心应手。

我们首先要明白求数列通项公式的基本思路：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

所用的基本方法就是叠加法和叠乘法。

除了能够熟练运用这些方法外，还需要你具备函数思维等（比如：等差数列前n项是属于二次函数型）那么今天先给同学分享前2种最基要的方法：叠加法和叠乘法。

针对不太好的同学，一定要掌握！一、累加法(又称叠加法)：1、什么时候用累加？这很关键！答：就是相邻2项之差是一个变数的时候，就需要用累加法。

2、用法步骤：①写出所有项式子；②等式左右两边各相加；③运算求出通项公式。

3、难点拓展延伸：①、构造法：所有累加法都可以构造成常数列；②、隔项累加。

接下来就看例题：接下来看例2：解法一：累加法。

我们一看题干就明白可以用累加法。

这里就不再赘述。

解法二：构造法。

前面讲了所有累加法就可以构造成常数列，如果我们一眼就可以看出来可以构造，就可以采用构造法。

关于累加法还有一个难点，那就是会出现隔项累加，这就作为作业给大家去做了，直接看例3：如果有不懂的可以私信了解。

二、累乘法(又称叠乘法)：1、什么时候用累乘法？答案：就是相邻2项之比是一个变数的时候，就需要用累乘法。

2、用法步骤：①写出所有项式子；②等式左右两边各相乘；③运算求出通项公式。

接下来再给同学留2道作业题，一定要自己通过演算，找到自己的解题思路和感觉，从而让自己理解得更加深刻！这就是我们的教学方法：梳理题型，让你直击题目本质，让你会做一类题，而不是一道题，让你做题又快又准。

数列通项公式的求解方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。

一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。

解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。

例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。

解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=·an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。

解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。

注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。

06
总结与拓展
Chapter
累加法优缺点总结
要点一
适用性广
累加法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等 。
要点二
易于理解
累加法的原理简单明了，容易理解和掌握。
累加法优缺点总结
累加法优缺点总结
计算量较大
对于复杂数列，累加法可能需要大量的计算步骤，增加 了求解的难度。
对初始条件敏感
累加法的结果受初始条件影响较大，不同的初始条件可 能导致不同的通项公式。
得出通项公式
通过前n项和表达式，利用求和公式或差分方法，推导出原数列的通项公式。
对得出的通项公式进行验证，确保其符合原数列的性质和规律。
03
实例分析：等差数列通项公式 求解
Chapter
等差数列定义及性质
定义
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
性质
等差数列具有均匀变化的特性，即相邻两项的差是一个常数。
性质
适用于具有相邻两项之差为常数或具 有某种特定规律的数列。
适用范围及条件
适用范围
适用于等差数列、部分特殊数列（如相邻两项之差为等比数列的数列）。
条件
要求数列的相邻两项之差具有某种规律，且该规律能够用数学表达式表示。
与其他方法比较
与累乘法比较
累乘法适用于相邻两项之比为常数或具有某种特定规律的数列，而累加法适用于相邻两项之差为常数或具有某种特定 规律的数列。
的。因此，可以得到等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。
04
实例分析：等比数列通项公式 求解
Chapter
等比数列定义及性质

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