三角函数的诱导公式PPT优秀课件7

类型 3 化简求值问题(误区警示)
[ 典 例 3]
化
简
：
sin（α＋nπ）＋sin（α－nπ） sin（α＋nπ）cos（α－nπ）
(n∈Z)．
易错提示：解答本题常因忽视对 n 的奇偶性的讨论致
误．
防范措施：在处理含参数的式子时，应树立分类讨论 的意识，常常需要对参数的奇偶性进行讨论．如本例中， α＋2kπ(α－2kπ)与α＋(2k＋1)π所用的诱导公式不 同，因此要对 n 分奇数、偶数两种情况讨论．
诱导公式二、三、四
公式名称 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 角π＋α的 角－α的终 角π－α的
终边与角α 边与角α的 终边与角α 两角关系
的终边关于 终边关于 x 的终边关于 原点对称 轴对称 y 轴对称
图示
sin(π＋α)＝－ sin(－α)＝－sin sin(π－α)＝
sin α；
α；
sin α；
温馨提示 在推导过程中，利用单位圆，运用数形结
合思想研究了对称点的坐标关系，从而得到诱导公式．
类型 1 给角求值问题(自主研析)
[典例 1] 求下列各三角函数值： (1)sin－8π3 ； (2)cos196π； (3)tan(－855°)．
[自主解答] (1)sin－8π3 ＝sin－4π＋43π＝
而 sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝
(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α.
答案：(1)2 3 2或－2 3 2
m2－1 (2) 2
归纳升华 解此类问题的关键在于利用化归的思想探究两个
角之间的关系，再通过诱导公式化简计算．需注意的是若 α的象限位置不确定时需要讨论．
当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1，n∈Z，

例题讲解 人教A版数学必修四《三角函数的诱导公式》PPT课件
例1 证明：（1）sin( 3 ) cos
2
（2）cos(3 ) sin
2
（1）证明：左边
sin(
3
2
)
sin
(
2
)
sin( )
cos2
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件
右边
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件
解：sin( 2 ) sin
2
cos( ) cos
cos(
2
)
sin
cos(11
2
)
cos6
(
2
)
cos[(
2
)]
sin
sin(2 - )cos( )cos( )cos(11 - )
2
2
cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( 9 )
2
cos( ) cos
谢谢聆听，祝你进步。 再见！
公式五：
sin( ) cos
2
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件
cos( ) sin
2
公式二：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
2
是否成立？
若成立2 ，你有什么办法证明？
a 2
c
b
α
cos
cos( ) a sin
2
c
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件

作用：诱导公式可以将任意角的三角函数 转化为0-90角的三角函数值。
例1.求下列三角函数值
(1) cos225 cos(180 45) cos45 2
2
(2) sin 11
3
sin(4 ) sin
3
3

3 2
(3)sin(16 ) sin 16
说明
1、角 的终边与角 的终边关于x轴对称
2、由此公式可以知道三角函数的奇偶性
9
知识探索
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（三）
sin( ） sin
cos( ） -cos
tan( ） tan
（四） 13
发现规律：
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
2k (k z)、、 的三角函数值，
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
2

的终边与
单位圆的交点 P2( y, x)又因单位圆由正弦函数和余弦函数的
定义得到：
cos x,sin y
cos(2
)

y,
sin(

2
)

x
从而得公式五:
y

2

。P2。(y,x)
P1(x,y)
O
x
y=x
sin(

2
)

cos
cos(2 ) sin
12
公式总结
诱导公式

③ P与P1的坐标有怎样的关系？
的诱导公式
① 角 与角 的终边互为反向延长线
它们关于原点对称。
② 角 与角 的终边与单位圆的交点P，P1
关于原点对称。 ③ P与P1的纵坐标
、横坐标都互为相反数。
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
的诱导公式
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
sin（π ） sin cos（π ） cos tan（π ） tan
你能用角 的诱导公式 证明角 - 的诱导公式吗？
公式一 (k z) sin(2k ) sin cos(2k ) cos
你能写出 公式
的角度制 的形式吗
诱导公式
终边相同角的同名三角函数值相同．
sin(2kπ ) sin cos(2kπ ) cos k Z tan(2kπ ) tan
利用公式，可以把任意角的三角函数转化为0°～ 360° 范围内的角的三角函数．
弧度制和 角度制
的角写成终边 重合的角 的方法？
3
sin(60 ) sin 60 3 2
cos(19) cos19 cos( 6) cos 1
3
3
3
32
tan(30 ) tan 30 3 3
运用知识 强化练习 练习5.5.2
求下列各三角函数值： （1） tan( ) ；
6 （2） sin(390 ) ； （3） cos( 8) ；
公式二
sin() sin cos( ) cos
tan() tan
tan(2k ) tan
sin( ) sin

三角函数的诱导公式
01
1、学习目标：
（1）识记诱导公式。 （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱 导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和 证明。 （3）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，体验 和理解从特殊到一般的数学思维方式，领会数学的归纳转 化思想方法。
2,学习重点：
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
例二1.、利探用公究式求下列三角函数值:
1cos 225o;
2sin 11 ;
3
3 sin
16
3
;
4 cos
o
2040
.
1 cos 225o cos 180o 45o cos 45o 2 2
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
14
15
二、探 究
诱导公式小结
公式一 ~ 四可用下面的话来概括：
2k (k Z ),, , 2 的三角函数值， 等于角的同名函数值，前面加上一个把
07
7
二1、、探思究考π + α与α的三角函数值的关系
r 1
sin y
cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式二
y
P(x,y)
π +α α
O
x
sin( ) sin cos( ) cos
P(-x,-y)
tan( ) tan
公式一的用途

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第一课时
一、创设情境
• 问题1： • （1）各象限内三角函数值的符号是什么？
（只讨论正弦Ev、al余uat弦io、n o正nl切y. ） eated •wi（th2A）sp任os意e.S角lid的es三fo角r .函NE数T的3.5定C义lie是nt什Pr么of？ile 5.2.0
Ltd.
kZ
利 用 以 上 公 式 ， 可 把 求 任 意 角 的 三 角 函 数
值 转 化 为 求 0 ~ 2 角 的 三 角 函 数 值 。
知识回顾
问题2： 试求出sin1830E°valu、atisoinno2n0ly1.0°的值。 eated with Aspsoisne.3S0li°des、forsi.NnE2T103°.5 Client Profile 5.2.0
eated with Asopose.Slides xfor .cNoEsT(-3α.5)C=liecnotsPαrofile 5.2.0
P’(Cx,o-yp)yright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
-α的终边
tan(-α) = -tanα
函数名不变,符号看象限。
例2、求下列三角函数值：
7 1
(4)sin(6)__2 ___.
1
(5 )c o s ( 4 2 0 o ) _ _ 2 _ _ _ .
例 3、 化 简 ：
cos(180o)sin(360o) sin(18 E0 vaol)uacto iosn(on1ly8.0o)
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利用诱导公式进行化简、求值
例 1 计算： (1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
1＋cos100°sin170° (2)cos370°＋ 1－sin2170°. • [分析] 利用诱导公式，先化简再求值．
[解析] (1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝34－1＋
sin
π 3
3； 2
（3）
sin
16π 3
sin 16π 3
sin
5π
π 3
sin
π 3
3； 2
（4） tan(2040) tan 2040 tan((180 60) tan 60 3 .
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
cos
.
• 诱导公式五
思考 1：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？ 提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称．
(2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
• 诱导公式六
• 口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】❶
sin－α－32π·sin32π－α·tan22π－α cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2π－α .
[解析] 原式
＝sinc－osα＋ 2π－π2α·[·－cossinπ2＋π2＋αα·c]o·sta2nπ2－2πα－ α
＝csoinsαα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α.

2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
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建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
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利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
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本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。

（x，y），则－α的终边与单位圆的交点坐 标如何？
y
α的终边
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α的终边
第12页，共40页。
思考3：根据三角函数定义，－α的三角
函数与α的三角函数有什么关系？
α的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α的终边
公式三：
第13页，共40页。
思考4：利用π－α＝π＋(－α)，结合 公式二、三，你能得到什么结论？
小结作业
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义 时恒成立.
2.以诱导公式一～四为基础，还可以产 生一些派生公式，
如sin（2π－α）=－sinα，
sin（3π－α）=sinα等.
第21页，共40页。
3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的 三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
－α，π－α的三角函数与α的三角函数之 间的关系，你能概括一下这四组公式的共 同特点和规律吗？ 2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π －α的三角函数值，等于α的同名函数值， 再放上原函数的象限符号.简记为“函数名 不变，符号看象限”
第17页，共40页。
理论迁移
例1、求值：
（1）sin 7 π （2）cos 11
思考2：sin（90°－60°)与cos60°， cos（90°－60°）与sin60°的值分别
有什么关系？据此，你有什么猜想？
第27页，共40页。
思考3：如果α为锐角，你有什么办法证
明
，
？
第28页，共40页。
思考4：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α的终边有什么对称关

解 由已知得sinA＝ 2sinB， 3cosA＝ 2cosB， 二等式平方相加，得
2cos2A＝1，cosA＝±
2 2.
若cosA＝－
2 2
，则cosB＝－
3 2
，此时，∠A，∠B都为
钝角，不合题意．
若cosA＝
22，则cosB＝
3 2.
∴∠A＝4π，∠B＝π6，∠C＝71π2.
规律技巧 1化简三角函数式的结果要求所含三角函数 名称最少，次数最低，含有特殊角要写出函数值.
2对含有 kπ±α 形式的角，要对 k 为奇数，为偶数分类讨 论
类型三 利用诱导公式解决三角形中的问题
例4 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－ 2 sin(π－B)， 3 cosA＝－ 2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
误区警示 注意观察角，将角化成2kπ＋α，π±α，2π－α 等形式后再用诱导公式求解.
类型二 利用诱导公式化简
例3
(1)化简：cos(－α－
11 2
π)cos(
π 2
＋α)－tan(3π－
α)cos(2π－α)；
(2)设k为整数，化简：
sinkπ－αcos[k－1π－α] sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.
类型一 利用诱导公式求值 例1 求三角函数式sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－ 1020°)·sin(－1050°)＋tan945°的值． 分析 求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为 0°～360°的角，最后化为锐角．
解 由题意知： 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－ cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°) ＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－ 60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°) ＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan45° ＝ 23× 23＋12×12＋1 ＝2.