2013届高中数学总复习阶段性测试题5 数列 新人教A版必修1

一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于 ( )A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－nD ．3－n2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 4．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 011，则n 等于 ( ) A ．671B ．670C ．669D ．668 5．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是 ( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6二、填空题 7．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________． 8．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有________种可能．9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题10．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．11．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．12.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t (s) 1 2 3 … ？ … 60 距离s (cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？ 四、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．答案1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C7. 3 8.5 9.43 10.5011．证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )， ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )，∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2， ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．12．解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，s ＝9.8t ＝9.8×60＝588(cm)．当s ＝49(cm)时，t ＝s 9.8＝494.8＝5(s)．13．解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项． 令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *，∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．。

阶段性测试题十(算法、框图与复数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011·揭阳一中月考)设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋bi＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3[答案] A[解析] 1＋2i ＝(a ＋bi)(1＋i)＝a －b ＋(a ＋b)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，故选A.(理)(2011·某某八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋bi ＝2＋i1－i(a ，b ∈R)，则点(a ，b)与圆x2＋y2＝2的关系为( ) A ．在圆外 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．不能确定 [答案] A[解析] ∵a ＋bi ＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2＝12＋32i(a ，b ∈R)，∴⎩⎨⎧a ＝12b ＝32，∵⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝52>2，∴点P ⎝⎛⎭⎫12，32在圆x2＋y2＝2外，故选A. 2．(文)(2011·某某一中月考)下面的程序框图运行时，依次从键盘输入a ＝0.312，b ＝55，c ＝0.3－2，则输出结果为( )A ．0.312B.55C ．0.3－2D ．以上都有可能 [答案] B[解析] 此程序框图是比较a ，b ，c 的大小，输出三数中的最小数， ∵y ＝0.3x 是单调减函数，12>－2，∴0.312<0.3－2，∵55＝⎝⎛⎭⎫1512＝0.212，y ＝x 12在第一象限内为增函数，0.2<0.3. ∴0.212<0.312，即55<0.312，∴55<0.312<0.3－2，故输出55. (理)(2011·某某某某二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是( )A ．1320B ．132C ．11880D ．121 [答案] A[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i≥10，输出x 的值1320.3．(文)(2011·某某质检)若复数a ＋3i1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] D [解析] ∵a ＋3i1－2i＝a ＋3i 1＋2i 1－2i1＋2i＝a ＋2ai ＋3i ＋6i25＝a －65＋2a ＋35i 为纯虚数，∴a ＝6，故选D.[点评] 先进行复数的运算，再进行复数分类的讨论或复数对应点所在象限及轨迹判断是考查复数的一种主要方式．请再练习下题： (2010·某某某某)已知a ∈R ，若(1－ai)(3＋2i)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－32B.32C ．－23D.23[答案] A[解析] ∵(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＝02－3a≠0，∴a ＝－32.(理)(2011·某某五校联考)已知复数z ＝(cosθ＋i)(2sinθ－i)是纯虚数，θ∈[0,2π)，则θ＝( ) A.π4 B.3π4 C.7π4 D.3π4或7π4[答案] D[解析] ∵z ＝(sin2θ＋1)＋(2sinθ－cosθ)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ＋1＝02sinθ－cosθ≠0，∴θ＝kπ－π4(k ∈Z)．∵θ∈[0,2π)，∴θ＝3π4或7π4，选D.4．(文)(2011·某某六校联考)如图表示的程序运行后输出的结果为( )A ．37B ．10C ．19D ．28 [答案] D[解析] 当条件A≤3满足时执行循环体，A ＝1时，执行后S ＝10，A ＝2执行后S ＝19，A ＝3，继续执行后S ＝28，A ＝4跳出循环，输出S 的值28. (理)(2011·某某协作校联考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为( )A ．2B ．－12C ．－3 D.13[答案] B[解析] 程序运行过程为：S ＝2，i ＝1，i≤2010满足，S ＝1＋21－2＝－3，i ＝1＋1＝2，再判断i≤2010满足，S ＝1＋－31－－3＝－12，i ＝2＋1＝3，再判断i≤2010仍满足，S ＝1＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－12＝13，i ＝3＋1＝4，依次进行下去，S ＝2，i ＝5，S ＝－3，i ＝6，…，可见S 的值以4为周期重复出现，i ＝2008判断后，得S ＝2，i ＝2009，继续运行得S ＝－3，i ＝2010，得S ＝－12，i ＝2011，此时不满足i≤2010，输出S ＝－12后结束．5．已知a 是实数，a ＋i1－i 是实数，则z ＝(2＋i)(a －i)的共轭复数是( )A ．－3－iB ．3＋iC ．1－3iD ．－1＋3i [答案] D [解析] ∵a ＋i1－i ＝a ＋i1＋i2＝a －1＋a ＋1i2是实数，∴a ＝－1，∴z ＝(2＋i)(－1－i)＝－1－3i.6．下图给出的是计算12＋14＋16＋…＋1100的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i>100?B ．i≤100?C ．i>50?D ．i≤50? [答案] B[解析] 最后加的一项为1100，不满足条件时跳出循环，故循环终止条件为i≤100.7．(文)某种零件加工的工序流程图如图，如果把加工一次和检验一次都看作是一个步骤，则一件零件从开始加工到最后是成品或废品，最多、最少要经过步骤次数为( )A ．7,4B ．6,4C ．5,5D ．7,5 [答案] B[解析] 最少：粗加工→检验→精加工→最后检验．共四步； 或粗加工→检验→返修加工→返修检验．共四步．最多：粗加工→检验→返修加工→返修检验→精加工→最后检验．共六步．(理)(2011·某某某某六校联合体模拟)已知函数f(x)＝ax3＋12x2在x ＝－1处取得极大值，h(x)＝f ′(x)，如图所示的程序框图运行后，输出结果S>20092010，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是( )A ．k<2010B ．k<2009C ．k>2010D ．k>2009 [答案] A[解析] 由条件知f ′(－1)＝(3ax2＋x)|x ＝－1＝3a －1＝0，∴a ＝13，∴h(x)＝x2＋x ，程序框图表示的算法是计算S ＝11×2＋12×3＋…＋1k k ＋1＝k k ＋1，由于输出结果S>20092010，∴k ＝2010，故条件为k<2010，选A.8.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( ) A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 [答案] C[解析] 由程序流程图及题设条件可知m ＝14，n ＝9，p ＝23，q ＝28. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝79．(2011·荣城六中质检)我们用记号eiθ来表示复数cosθ＋isinθ，即eiθ＝cosθ＋isinθ.(其中e＝2.718…是自然对数的底数，θ∈R)，则 ①2ei π2＝2i ②eiθ＋e －iθ2＝sinθ③(eiθ)2＝e2iθ ④eiα·eiβ＝ei(α＋β) (α、β∈R)． 其中正确的式子个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] ①2ei π2＝2⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝2i 正确． ②eiθ＋e －iθ＝cosθ＋isinθ＋cos(－θ)＋isin(－θ)＝2cosθ，eiθ＋e －iθ2＝cosθ.②错．③(eiθ)2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2(cosθ·sinθ)i ＝cos2θ＋isin2θ＝e2iθ，∴③正确． eiα·eiβ＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)＝cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i ＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝ei(α＋β)，∴④正确．10．(文)如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是( )A ．2500,2500B ．2550,2550C ．2500,2550D ．2550,2500 [答案] D[解析] 解法1：由程序框图知：S>T ，排除选项A 、B 、C ，故选D. 解法2：S ＝100＋98＋96＋…＋2＝100＋2×502＝2550.T ＝99＋97＋…＋3＋1＝99＋1×502＝2500，故选D.(理)(2011·某某某某八校联考)计算机执行下边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是3455，则判断框内应填( ) A ．n<7 B ．n≤7 C ．n≤8 D ．n≤9[答案] B[解析] 其运行过程依次为x ＝1，y ＝1，n ＝1，z ＝1＋1＝2――→判断条件后x ＝1，y ＝2，n ＝2，z ＝1＋2＝3――→继续判断条件后x ＝2，y ＝3，n ＝3，z ＝2＋3＝5→x ＝3，y ＝5，n ＝4，z ＝3＋5＝8→x ＝5，y ＝8，n ＝5，z ＝5＋8＝13→x ＝8，y ＝13，n ＝6，z ＝8＋13＝21→x ＝13，y ＝21，n ＝7，z ＝34→x ＝21，y ＝34，n ＝8，z ＝55，因为输出y z 的值为3455，故判断条件为n≤7，故选B.11．(文)(2011·某某豫州九校联考)定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1 y1x2 y2＝x1y2－x2y1，复数z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋i －13－i i (i 是虚数单位)的共轭复数是( ) A.3－1＋(3－1)i B.3－1－(3－1)i C.3＋1＋(3＋1)i D.3＋1－(3＋1)i [答案] B[解析] z ＝(3＋i)i －(3－i)·(－1)＝(3－1)i ＋(3－1)，其共轭复数为(3－1)－(3－1)i ，故选B. (理)(2011·罗源一中月考)已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，复数z ＝z1·z －2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] ∵z ＝(cosα＋isinα)·(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的对应点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β<0－cos α＋β>0，∴角α＋β的终边在第三象限． 12．如图(1)是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10[如A1表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数]．图(2)是统计图(1)中身高在一定X 围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在170～190cm(含170cm ，不含190cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i≤6B ．i≤7C ．i≤8D ．i≤9 [答案] C[解析] 由题意知在170～190cm 段的学生人数为A6＋A7＋A8＋A9，故i 取值6,7,8,9，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2011·某某某某市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z1＝(1－2i)i 对应向量为a ，z2＝1－3i 1－i 对应向量为b ，那么a 与b 的数量积等于________．[答案] 3[解析] z1＝2＋i 对应向量a ＝(2,1)，z2＝1－3i 1－i＝1－3i1＋i2＝2－i 对应向量b ＝(2，－1)，∴a·b ＝3.(理)复数z0＝3＋2i ，复数z 满足z·z0＝3z ＋z0，则复数z ＝________. [答案] 1－32i[解析] 设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R)， 则(x ＋yi)(3＋2i)＝3(x ＋yi)＋3＋2i ，∴(3x －2y)＋(3y ＋2x)i ＝(3x ＋3)＋(3y ＋2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝3x ＋33y ＋2x ＝3y ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－32，∴z ＝1－32i.14．运行下边的程序框图，若输入p ＝0.9，则输出的n ＝________.[答案] 5[解析] S ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n.由程序框图知，输出的n 值是满足S≥0.9的最小的n 值加1.由1－12n≥0.9得2n≥10，∵n ∈N*，∴n≥4.故输出的n 值为5. 15．(2011·无为中学月考)已知复数z1＝－1＋2i ，z2＝1－i ，z3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A 、B 、C.若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________． [答案] 5[解析] ∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，故x ＋y ＝5.16．(2010·某某理)如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n ＝________.[答案] 100[解析] 因为第一次判断执行后，i ＝2，s ＝12，第二次判断执行后，i ＝3，s ＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋32＋…＋1002，故n ＝100.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过5立方米时，每立方米收费3元；超过5立方米的部分，每立方米收费5元，并加收0.4元的城市污水处理费．请你设计一个算法，输入用户每月用水量，输出应交纳的水费数，并画出程序框图．[分析] 设某户每月用水量x 立方米应交纳水费y 元，当0<x≤5时，y ＝3x ，当x>5时，y ＝5×3＋(x －5)×(5＋0.4)＝5.4x －12，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x0<x≤55.4x －12 x>5，这是一个分段函数，需用条件结构来表达．[解析] 算法设计：S1 输入每月用水量x ；S2 判断输入的x 是否超过5；若x>5，则应交水费y ＝5.4x －12；否则应交纳水费y ＝3x ； S3 输出应交水费y.程序框图如图． 18．(本小题满分12分)(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对边，复数z1＝a ＋bi ，z2＝cosA ＋icosB ，若复数z1·z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC 的形状． [解析] 由题意知z1·z2＝(a ＋bi)·(cosA ＋icosB)＝(acosA －bcosB)＋(acosB ＋bcosA)i 在虚轴上，∴acosA －bcosB ＝0∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2∴三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．(理)已知复数z ＝a ＋i 1＋i(其中a>0，i 为虚数单位)，复数w ＝z(z －i)，求w 在复平面内对应点的轨迹方程．[解析] z ＝a ＋i 1＋i＝a ＋i 1－i 1＋i 1－i＝1＋a 2＋1－a i 2∴z －i ＝1＋a 2－1＋a i 2∴w ＝z(z －i)＝⎣⎡⎦⎤1＋a 2＋1－a i 2·⎣⎡⎦⎤1＋a 2－1＋a i 2 ＝1＋a 2(1－ai)． 设w 在复平面内对应点为P(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝1＋a 2y ＝－a 1＋a 2，消去a 得：y ＝－2x2＋x ，∵a>0，∴2x －1>0，∴x>12. 故所求轨迹方程为y ＝－2x2＋x(x>12)． 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x ＋2x －x (－1≤x≤1)，将区间[－1,1]十等分，写出求函数f(x)在各分点的函数值的算法语句．[解析] 将区间[－1,1]十等分，故各相邻分点间距为0.2，第一个分点为－1＋0.2＝－0.8，最后一个分点为1－0.2＝0.8，故程序语句为：[点评] 将区间[－1,1]十等分，只须九个分点，求f(x)在各分点的函数值，应从－0.8至0.8，而不是从－1到1.20．(本小题满分12分)设关于x 的方程x2－(tanθ＋i)x －(2＋i)＝0，(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根．(2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根． [解析] (1)设实数根为a ，则a2－(tanθ＋i)a －(2＋i)＝0即a2－atanθ－2－(a ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2－atanθ－2＝0a ＋1＝0，∴a ＝－1，tanθ＝1， ∵0<θ<π2，∴θ＝π4. (2)设方程存在纯虚数根bi (b ∈R ，b≠0)则(bi)2－(tanθ＋i)bi －(2＋i)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b2＋b －2＝0btanθ＋1＝0此方程组无实数根， 所以对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根． 21．(本小题满分12分)(2011·学普教育中心)已知复数z1＝sin2x ＋λi ，z2＝m ＋(m －3cos2x)i ，λ、m 、x ∈R ，且z1＝z2.(1)若λ＝0且0<x<π，求x 的值；(2)设λ＝f(x)，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． [解析] (1)∵z1＝z2，∴⎩⎨⎧sin2x ＝m λ＝m －3cos2x， ∴λ＝sin2x －3cos2x ，若λ＝0则sin2x －3cos2x ＝0得tan2x ＝3，∵0<x<π，∴0<2x<2π，∴2x ＝π3或2x ＝4π3，∴x ＝π6或2π3. (2)∵λ＝f(x)＝sin2x －3cos2x＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵当x ＝α时，λ＝12， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝14， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， ∵cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1 ＝2cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 22．(本小题满分12分)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率，并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x 、y ，求满足|x －y|≤5的事件的概率；(4)画出统计样本中身高在[175,185)的人数的程序框图．[解析] (1)由频率分布直方图知，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ，由第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列知，m ＋2＝2(7－m)，所以m ＝4，即第六组为4人，第七组为3人，频率分别为0.08,0.06.频率除以组距分别等于0.016,0.012，补充完整后的频率分布直方图见图．(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高为[190,195]的人数为2人，设为A，B.若x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．若x，y∈[190,195]时，有AB共一种情况．若x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P(|x－y|≤5)＝715.(4)程序框图如图．。

6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32， 故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ， 得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a －2b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1， 令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)， 且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列． 综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋a c－1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22， 所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。

综合质量评估第一至第三章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)(A∪B)=( )1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4},则UA.{2,3}B.{5,6}C.{1,4,5,6}D.{1,2,3,4}2.下列函数中,在(0,1)上为单调递减的偶函数的是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=-3.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于( )x 1 2 3 4 5y 4 5 3 2 1A.1B.2C.4D.54.函数f(x)=x2-2ax+3在区间[2,3]上是单调函数,则a的取值X围是( )A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤2D.a≥35.(2012·某某高考)(log29)·(log34)=( )A. B. C.2 D.46.(2012·某某高考)已知a=21.2,b=()-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a7.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )(1)f(x)=,g(t)=t-3(t≠-3).(2)f(x)=,g(x)=.(3)f(x)=x,g(x)=.(4)f(x)=x,g(x)=.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)8.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一坐标系下的图象大致是( )9.若f(x)=,则f(x)的定义域为( )A.(-,0)B.(-,0]C.(,+∞)D.(0,+∞)10.(2012·某某高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=ln(x+2)B.y=-C.y=()xD.y=x+11.给出下列四个等式:f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y),下列函数中不满足以上四个等式中的任何一个等式的是( )A.f(x)=3xB.f(x)=x+x-1C.f(x)=log2xD.f(x)=kx(k≠0)12.某市房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2,则这6年间平均每年的增长率是( )A.-1B.+1C.50%D.600元二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若函数f(x+1)=x2-1,则f(2)=.14.计算(的结果是.15.已知函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为.16.给出下列四个判断:①若f(x)=x2-2ax在[1,+∞)上是增函数,则a=1;②函数f(x)=2x-x2只有两个零点;③函数y=2|x|的最小值是1;④在同一坐标系中函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.其中正确的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合A={x|0<x-a<3},B={x|x≤0或x≥3},分别求满足下列条件的实数a的取值X围:(1)A∩B= .(2)A∪B=B.18.(12分)(2012·冀州高一检测)计算下列各式的值:(1)(2-(-9.6)0-(+()-2.(2)log3+lg 25+lg 4+.19.(12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈[-1,1]时,不等式f(x)>2x+m恒成立,某某数m的X围.20.(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?21.(12分)定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)=-22x+a2x(a∈R).(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式.(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a).22.(12分)(能力挑战题)设f(x)=ax2+x-a,g(x)=2ax+5-3a.(1)若f(x)在[0,1]上的最大值为,求a的值.(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得f(x1)=g(x0)成立,求a的取值X围.答案解析(A∪B)={5,6}.1.【解析】选B.因为A∪B={1,2,3,4},所以U2. 【解析】选C.y=x-2为偶函数,且在(0,1)上单调递减.3.【解析】选B.f(f(1))=f(4)=2.4.【解析】选A.函数f(x)=x2-2ax+3在区间[2,3]上是单调函数,则其对称轴x=a≥3或x=a ≤2.【误区警示】本题易出现选C或选D的错误,原因为没有想到在区间[2,3]上既可以单调递增也可以单调递减.5.【解题指南】先利用换底公式将各个对数化为同底的对数,再根据对数的运算性质求值. 【解析】选D.log29×log34=×=×=4.6.【解析】选A.b=()-0.8=20.8<a=21.2,c=2log52=log54<log55=1<b=20.8,所以c<b<a.【变式备选】已知三个数a=60.7,b=0.70.8,c=0.80.7,则三个数的大小关系是( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c【解析】选A.a=60.7>1,b=0.70.8<1,c=0.80.7<1,又0.70.8<0.70.7<0.80.7,所以a>c>b.7.【解析】选 A.f(x)=与g(t)=t-3(t≠-3)定义域、值域及对应关系均相同,是同一函数;g(x)==x与f(x)=x定义域,值域及对应关系均相同,是同一函数;故(1)(4)正确.8.【解析】选C.f(x)=1+log2x过点(1,1),g(x)=2-x+1也过点(1,1).9.【解析】选A.要使函数f(x)=的解析式有意义,自变量x需满足:lo(2x+1)>0,2x+1>0,即0<2x+1<1,解得-<x<0,故选A.【变式备选】函数f(x)=的值域是( )A.RB.[1,+∞)C.[-8,1]D.[-9,1]【解析】选C.0≤x≤3时,2x-x2∈[-3,1];-2≤x<0时,x2+6x∈[-8,0),故函数值域为[-8,1].10.【解题指南】本小题考查函数的图象及性质,要逐一进行判断.对于复合函数的单调性的判断要根据内外函数单调性“同则增,异则减”的原则进行判断.【解析】选A.对选项A,因为内外函数在(0,+∞)上都是增函数,根据复合函数的单调性,此函数在(0,+∞)上是增函数,故正确;对选项B,内函数在(0,+∞)上是增函数,外函数在(0,+∞)上是减函数,根据复合函数的单调性,此函数在(0,+∞)上是减函数,故不正确;对选项C,指数函数y=a x(0<a<1)在R上是减函数,故不正确;对选项D,函数y=x+在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故不正确.11.【解析】选B.f(x)=3x满足f(x+y)=f(x)f(y);f(x)=log2x满足f(xy)=f(x)+f(y);f(x)=kx(k≠0)满足f(x+y)=f(x)+f(y);故选B.12.【解析】选A.设这6年间平均每年的增长率是x,则1200(1+x)6=4800,解得1+x==,即x=-1.13.【解析】f(2)=f(1+1)=12-1=0.答案:014.【解析】(=(=(=2.答案:215.【解析】∵f(x)在[0,1]上为单调函数,∴最值在区间的两个端点处取得,∴f(0)+f(1)=a,即a0+log a(0+1)+a1+log a(1+1)=a,解得a=.答案:16.【解析】若f(x)=x2-2ax在[1,+∞)上是增函数,其对称轴x=a≤1,故①不正确;函数f(x)=2x-x2有三个零点,所以②不正确;③函数y=2|x|的最小值是1正确;④在同一坐标系中,函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称正确.答案:③④17.【解析】∵A={x|0<x-a<3},∴A={x|a<x<a+3}.(1)当A∩B=∅时,有解得a=0.(2)当A∪B=B时,有A⊆B,所以a≥3或a+3≤0,解得a≥3或a≤-3.18.【解析】(1)原式=(-1-(+()-2=(-1-()2+()2=-1=.(2)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.19.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意可知:a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x;c=1.整理得:2ax+a+b=2x,∴∴f(x)=x2-x+1.(2)当x∈[-1,1]时,f(x)>2x+m恒成立,即x2-3x+1>m恒成立; 令g(x)=x2-3x+1=(x-)2-,x∈[-1,1],则g(x)min=g(1)=-1,∴m<-1.20.【解析】(1)设f(x)=k1x,g(x)=k2,所以f(1)==k1,g(1)==k2,即f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券类产品x万元,则股票类投资为(20-x)万元. 依题意得:y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20),令t=(0≤t≤2),则y=+t=-(t-2)2+3,所以当t=2,即x=16万元时,收益最大,y max=3万元.21.【解析】(1)设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],f(-x)=-2-2x+a2-x,又∵函数f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴f(x)=-2-2x+a2-x,x∈[-1,0].(2)∵f(x)=-22x+a2x,x∈[0,1],令t=2x,t∈[1,2].∴g(t)=at-t2=-(t-)2+.当≤1,即a≤2时,h(a)=g(1)=a-1;当1<<2,即2<a<4时,h(a)=g()=;当≥2,即a≥4时,h(a)=g(2)=2a-4.综上所述,h(a)=22.【解析】(1)①当a=0时,不合题意.②当a>0时,对称轴x=-<0,所以x=1时取得最大值1,不合题意.③当a≤-时,0<-≤1,所以x=-时取得最大值-a-=.得:a=-1或a=-(舍去).④当-<a<0时,->1,所以x=1时取得最大值1,不合题意.综上所述,a=-1.(2)依题意a>0时,f(x)∈[-a,1],g(x)∈[5-3a,5-a],所以解得,a∈[,4],a=0时不符题意舍去.a<0时,g(x)∈[5-a,5-3a],f(x)开口向下,最小值为f(0)或f(1),而f(0)=-a<5-a,f(1)=1<5-a不符题意舍去,所以a∈[,4].。