勾股定理的历史与证明
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安溪六中校本课程之数学探秘
勾股定理史话
一、勾股定理的历史
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”， 是初等几何中的一个基本 定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家， 有：毕达哥拉斯 定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指
“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠 久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理 都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家 毕达哥拉斯（Pythagoras公元前5727-公元前497?于公元前550年首先发现 的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得
（Euclid,公元前330〜公元前275）在巨著《几何原本》（第I卷，命题47）中 给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图）
中国古代对这一数学定理的发现和应用， 远比毕达哥拉斯早得多。中国最早
的一部数学著作一一《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识
的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以 上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据 呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条 原理：当直角三角形’矩’得到的一条直角边’勾’等于3,另一条直角边’股’等 于4的时候，那么它的斜边’弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结 出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商 高的对话则可以确定在公元前 1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五 百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数 学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元 50至100年间），勾股定理得 到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后 把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。 《九章算术》系统地总结了
战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了 246个数学的应用问题和各个问题的解 法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部 。中国古代的数学
家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证 明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一 幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图） 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。在这幅“勾股圆方图”中，以弦 为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方 形组成的。每个直角三角形的面积为
ab/2;中间的小正方形边长为b-a，则面积 为(b-a)2。于是便可得如下的式子：
4x(ab/2) + (b-a) 2=c2
化简后便可得：
a+b2=c2
亦即：c= (a2+b2) (1/2)
他用几何图形的截、害9、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性， 又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分 的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只
是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也 是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明， 在世界数
学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方
法，更具有科学创新的重大意义
、勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍 几种十分著名的证明方法。
【证法1】（赵爽证明）
以a b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于；把这四个直角三角形拼成如图所示形状•
••• Rt △ DAH也 Rt △ ABE,
••• / HDA = / EAB.
••• / HAD + / HAD = 90o,
••• / EAB + / HAD = 90o,
••• ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于C2.
EF = FG =GH =HE = b ―fdHEF = 90o
••• EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于"-雄厂
4x =扌
【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a
b,斜边长为c,再
做三个边长分别为a b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b,所以面积相等.即
2 2
【证法3】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的 面积等于工.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条
直线上.Rt A AD 也 Rt △ CBE,
••• / ADE = / BEC.
••• / AED + / ADE = 90o,
••• / AED + / BEC = 90Q
••• / DEC = 180o — 90o= 90o.
••• A DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于
又••• / DAE = 90o, / EBC = 90Q
••• AD //
BC.
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 趣闻】：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正
在散步，欣赏黄昏的美景， 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。 他走 着走着，突然发现附近的一个小石凳上， 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地 说： “请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多 少呢？ ”伽菲尔德答到： “是 5呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？ ”伽菲尔德不加思索地回答到： “那斜边的平方一定等于 5的平方加上 7的平方。 ”小男孩又说道： “先生，你 能说出其中的道理吗？ ” 伽菲尔德一时语塞，
无法解释了， 心理很不是滋味。 于 是伽菲尔德不再散步， 立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。 他经过反复 的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年 4
月 1 日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881
年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直 观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为 “总统。 ”证法。
【证法 4】（欧几里得证明）
做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CL丄DE，交AB于点M，交DE于 点 L.
AF = AC , AB = AD，/ FAB = / GAD ,
△ FAB 也△ GAD △ FAB的面积等于；"，△ GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,
矩形ADLM的面积二“二同理可证，矩形MLEB的面积 二贷.
正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
【证法5】（利用相似三角形性质证明） 如图，在Rt △ AB（中，设直角边AC、BC的长度分别为a b，斜边AB的长为c, 过点C作CD丄AB，垂足是D.
在△ ADC和△ ACBK
••• / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC，
••• △ ADC s △ ACB.
••• AD : AC = AC : AB，即占皿.
同理可证，△ CDBs △ ACB
从而有 BC2 =BL}^AB
【证法6】（邹元治证明）
以a b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的 面积等于;".把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条
直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
••• Rt △ HAE也 Rt △ EBF,
••• / AHE = / BEF.
••• / AEH + / AHE = 90o,
••• / AEH + / BEF = 90Q
••• / HEF = 180o — 90o= 90o.
•••四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.
Rt △ GDH^ Rt △ HAE, / HGD = / EHA.
/ HGD + / GHD = 90o,
/ EHA + / GHD = 90o.
又••• / GHE = 90Q
••• / DHA = 90o+ 90o= 180Q
ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于
【证法7】（利用切割线定理证明）
在Rt △ AB（中，设直角边 BC = a, AC = b，斜边AB =
如图，以B为圆心a为半径作圆, 交AB及AB的延长线分别于D、E，c. 贝U BD = BE = BC = a.
因为/ BCA = 90o,点C在O B上，
所以AC是。B的切线.由切割线定理，得
血"=（仙+阀血—砂）=（"水~）= 亠/
即沪二』+麻=/.
【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt △ AB（中，设直角边BC = a, AC = b，斜边AB = c.作Rt △ ABC勺内切圆O
0,切点分别为D、E、F （如图），设O O的半径为r.
AE = AF，BF = BD，CD = CE，
&召 BC- JB =[AE^ CE)4(iIDM-a>)-(^4 BF)
=CE4CO = r + r = 2r,即" +——2r
*+5=2r+c
