10逻辑1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编--逻辑部分 第 1 页 共 5 页 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

逻辑部分

2014B 3、对于实数R的任意子集U，我们在R上定义函数UxUxxfU,,01)(，如果BA,是实数R的两个子集，则1)()(xfxfBA，的充分必要条件是

◆答案：BA,互为补集

★解析：对于任意的Rx，1)()(xfxfBA，这说明)(),(xfxfBA中至少有一个是1，即BAx，所以RBA，另一方面，)(),(xfxfBA中仅有一个是1，即BA，从而BA,互为补集。

2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为654321,,,,,aaaaaa (654321aaaaaa) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．

★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图

设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为FGR．当iiaR ，6,5,4,3i，1R，2R是1a，2a的任意排列时，FGR最小．

证明如下：

1°设当两个电阻1R，2R并联时，所得组件阻值为R：则21111RRR．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当1R或2R变小时，R也减小，因此不妨取1R2R．

2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：

2132312132121RRRRRRRRRRRRRRAB．

显然1R2R越大，ABR越小，所以为使ABR最小必须取3R为所取三个电阻中阻值最小的一个．

3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为CDR：

43243142142324131214111RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRABCD． 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编--逻辑部分 第 2 页 共 5 页 若记411jijiRRS，412kjikjiRRRS．则S1、S2为定值．于是4313212RRSRRRSRCD．

只有当43RR最小，321RRR最大时，CDR最小，故应取34RR，23RR，13RR，即得总电阻的阻值最小．

4°对于图3，把由321,,RRR组成的组件用等效电阻ABR代替．要使FGR最小，由3°必需使56RR；且由1°，应使CER最小．由2°知要使CER最小，必需使45RR，且应使CDR最小．

而由3°，要使CDR最小，应使234RRR且134RRR．

这就说明，要证结论成立

1998*4、设命题P:关于x的不等式01121cxbxa与02222cxbxa的解集相同；命题Q:212121ccbbaa。则命题Q（ ）

A.是命题P的充分必要条件 B.是命题P的充分条件但不是必要条件

C.是命题P的必要条件但不是充分条件 D.既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件

◆答案：D

★解析：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为1，否定A、B，选D

1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )

A.1个 B.2个 C. 50个 D. 100个

◆答案：D

★解析：把身高按从高到矮排为100~1号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．

1994*2、给出下列两个命题：

(1)设cba,,都是复数，如果222cba，则0222cba；

(2)设cba,,都是复数，如果0222cba，则222cba．

那么下述说法正确的是（ ）

A.命题(1)正确，命题(2)也正确 B.命题(1)正确，命题(2)错误

C.命题(1)错误，命题(2)也错误 D.命题(1)错误，命题(2)正确

◆答案：B

★解析：⑴正确，⑵错误；理由：⑴222cba，成立时，22ba与2c都是实数，故此时0222cba成立；

⑵ 当0222cba成立时，222cba是实数，但不能保证22ba与2c都是实数，故222cba不一定成立．故选B．

1988*4．已知三个平面、、，每两个之间的夹角都是，且a，b，c，．若有命题甲：3； 命题乙：a、b、c相交于一点． 则

A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分

C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编--逻辑部分 第 3 页 共 5 页 ◆答案：C

★解析：a、b、c平行或交于一点．当cba////时，3．当它们交于一点时，3,选C．

1985*1、 假定有两个命题：

甲：a是大于0的实数；乙：ba且11ba．那么( )

A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件

C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

◆答案：B

★解析：由于ba且11ba成立时，必有0,0ba．故由乙可得甲，故选B

1985*10、 对任意实数yx,，定义运算yx为cxybyaxyx，其中cba,,为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知321，432，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有xdx，则d

．

◆答案：4

★解析：xcdxbdax．取0x，代入得，0bd，但0d，故0b，

322cba，4632cba．1,5ca．取1x代入，得4d．

经验算：xyxyx5，对于一切x，有xxxx454成立．故4d．

1984*一、(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则给出反例。

⑴若QP,是直线l同侧的两不同点，则必存在两个不同的圆，通过QP,且与直线l相切；

⑵若0,0ba，且1a，1b，则2loglogabba；

⑶设BA,是坐标平面上的两个点集，222,ryxyxCr，若对任意0r，都有BCACrr,则必有BA。

★解析：⑴若lPQ//，则只能作出一个圆过QP,且与直线l相切；

⑵ 若10,1ba，则2loglogabba；

⑶ 222,ryxyxA，2220,ryxyxA，于是BCACrr恒成立，但不满足BA．

1983*1、 设qp,是自然数，条件甲：33qp是偶数；条件乙：qp是偶数．那么（ ）

A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

◆答案：C

★解析：2233qpqpqpqp．又qqpqp2，故qp与qp的奇偶性相同．∴ qp为偶数，得qp为偶数，33qp为偶数．

qp为奇数，qp,一奇一偶，33qp为奇数．故选C．

1982*8、 当ba,是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：bbaa11，乙：1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编--逻辑部分 第 4 页 共 5 页 21abab， 丙：222baba，中间，值最大的一个是（ ）

A．必定是甲 B．必定是乙

C．必定是丙 D．一般并不确定，而与ba,的取值有关

◆答案：D

★解析：甲>乙，但甲、丙大小不确定．故选D．

1981*1、条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．则下列正确的是（ ）

A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件

◆答案：B

★解析：乙甲，但甲乙，故选B.

1981*2、条件甲：asin1．条件乙：a2cos2sin．则下列正确的是（ ）

A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件

◆答案：D

★解析：由asin1得a2cos2sin；而a2cos2sin，得asin1．故选D．

1981*10、(本题15分) 组装甲、乙、丙三种产品，需用CBA,,三种零件．每件甲需用BA,各2个；每件乙需用CB,各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的CBA,,三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的CBA,,三种零件都恰好用完．

★解析：已知即：每个甲用 A2，B2，每个乙用B1，C1，每个丙用 A2， C1．

∴ 共有A产品222rp件；B产品12qp件；C产品rq件．

设组装m件甲，n件乙，k件丙，则用km22件A； 用nm2件B； 用kn件C．

如全部用完，则有)4()3()2()1(212122222knrqnmqpkmrpkmrp

∴)4()3()2(：mp323．这是不可能的．故证．

1981*11、(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设BPQ，求的范围．

提示：利用入射角等于反射角的原理．

★解析：只要把这个正六边形经过5次对称变换．

则击球时应如图所示，击球方向在∠MPN内部时即可． 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编--逻辑部分 第 5 页 共 5 页 设2AB，以P为原点，PB为x轴正方向建立直角

坐标系，点M坐标为33,8．点N坐标为33,10，

即833arctan,1033arctan