高考数学一轮复习必考部分第六篇不等式第2节一元二次不等式应用能力提升文北师大版
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1 第2节 一元二次不等式
【选题明细表】
知识点、方法 题号
一元二次不等式的解法
1,3,8,12
已知不等式的解集求参数
6,10
一元二次不等式恒成立问题
5
可化为一元二次不等式的解法
2,9,11
综合应用
4,13,14
一元二次不等式的实际应用
7
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2016漳州模拟)不等式(x-2)(2x-3)<0的解集是( C )
(A)（-∞,）∪(2,+∞) (B)R
(C)（,2） (D)
解析:因为不等式(x-2)(2x-3)<0,
解得 所以不等式的解集是（,2）. 2.不等式≤0的解集为( A ) (A) (B) (C)∪[1,+∞) (D)∪[1,+∞) 解析:不等式≤0⇒⇒- 3.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集为( A ) (A)[-1,1] (B)[-2,2] (C)[-2,1] (D)[-1,2] 2 解析:当x≤0时,x+2≥x2, 所以-1≤x≤0, ① 当x>0时,-x+2≥x2, 所以0 由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.故选A. 4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=,则实数a的值的集合是( D ) (A){a|0 (C){a|0 解析:集合A={x|ax2-ax+1<0}=, 等价于ax2-ax+1<0无解. 当a=0时,原不等式可化为1<0,满足条件; 当a≠0时,由ax2-ax+1<0无解,得 即 解得0 5.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( C ) (A)m> (B)0 (C)m>0 (D)m>1 解析:不等式x2-x+m>0在R上恒成立, 则有Δ=1-4m<0,所以m>, 所以它的一个必要不充分条件应为m>0. 6.不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2 (A){x|2 (C)｛x|- 解析:因为x2-ax-b<0的解集是{x|2 所以a=5,b=-6, 所以不等式bx2-ax-1>0, 即为-6x2-5x-1>0, 解得- 000+20x-0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( C ) (A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台 解析:由题意知产量为x台时,总售价为25x; 欲使生产者不亏本,必须满足总售价大于等于总成本, 即25x≥3 000+20x-0.1x2, 即0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0, 解得x≥150或x≤-200(舍去). 故欲使生产者不亏本,最低产量是150台. 8.(2015揭阳一模)不等式x2-3x-10<0的解集为 . 解析:不等式x2-3x-10<0可化为(x-5)(x+2)<0, 解得-2 所以该不等式的解集为{x|-2 答案:{x|-2 9.(2015高考江苏卷)不等式<4的解集为 . 解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知,x2-x<2,解得-1 答案:(-1,2) 10.(2015河西区二模)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a= . 解析:因为关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(-2a,4a), 又x2-2ax-8a2<0(a>0)解集为(x1,x2), 则x1=-2a,x2=4a, 由x2-x1=6a=15得a=. 答案: 能力提升练(时间:15分钟) 11.下列选项中,使不等式x< (A)(-∞,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,+∞) 解析: 4 如图所示,在同一直角坐标系中画出函数y=x,y=,y=x2的图像,易得使x< 12.(2015天津校级模拟)已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( C ) (A){x|x>5a或x<-a} (B){x|-a (C){x|x<5a或x>-a} (D){x|5a 解析:不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0. 因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0, 所以a<-, 所以5a<-a, 所以原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}. 故选C. 13.如果关于x的不等式(1-m2)x2-(1+m)x-1<0的解集是R,则实数m的取值范围是 . 解析:令1-m2=0,解得m=±1; 当m=1时,不等式化为-2x-1<0,不满足题意; 当m=-1时,不等式化为-1<0,满足题意; 当m≠±1时,根据题意得, 解得 即m<-1或m>, 综上,实数m的取值范围是m≤-1或m>. 答案:(-∞,-1]∪（,+∞） 14.已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解:法一 f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图像的对称轴为x=a, 5 ①当a∈(-∞,-1)时,结合图像(略)知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得a≥-3. 又a<-1,所以-3≤a<-1. ②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-2≤a≤1. 又a≥-1, 所以-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为[-3,1]. 法二 由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立, 令g(x)=x2-2ax+2-a, 即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 解得-3≤a≤1, 故a的取值范围为[-3,1]. 精彩5分钟 1.(2015闸北区一模)如果不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是 . 解题关键:将不等式转化为二次函数,作出函数图像,利用数形结合找出等价条件,求解. 解析: 不等式x2<|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a<0, 设f(x)=x2-|x-1|-a, 则f(x)= 作f(x)的草图如图所示. 若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集, 则等价为 即 即 6 解得a≤5. 答案:(-∞,5] 2.(2015启东市校级期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x) 解题关键:(1)由函数f(x)的值域为[0,+∞)求得a,b的关系.(2)挖掘出题目的隐含条件|x1-x2|2=64建立方程求出c的值. 解析:因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞), 所以函数的最小值为0,可得Δ=a2-4b=0, 即b=a2, 又因为关于x的不等式f(x) 所以x2+ax+a2-c<0, 若不等式f(x) 也就是方程x2+ax+a2-c=0的两根分别为x1=m,x2=m+8, 所以 可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=64, 即(-a)2-4（a2-c）=64, 解得c=16. 答案:16
