北京航空航天大学自动化学院考研资料2

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第三期：根轨迹法

2001年

（三）单位负反馈系统的开环传递函数为(5)()(4.8)ksGsss 画出0k时，闭环传递函数的根轨迹，并确定使闭环系统稳定时k的取值范围。

解：开环极点： 0,4.8ss

开环零点： 5s

渐近线 ： 1nm 斜率为0

分离点 ： 1114.85ddd

即： 210240dd

 122,12dd

求与虚轴交点对应的k值：

闭环特征方程为：24.850ssksk

若解为纯虚数，设其为jw，显然有

4.80k4.8k

所以使闭环系统稳定时k的取值范围是4.8k

（胡梓楠….张鹏 录入：张巍）

2003年

（三）已知单位负反馈系统的开环传递函数为

2()(4)(22)KGssss

试做K>0时闭环系统的根轨迹,并确定使闭环传递函数主导极点的阻尼比=0.5时的K值

解:

根据画根轨迹各项法则:

开环传递函数有三个开环极点14P,2.31Py，无零点,则有3条根轨迹,分别起于123,,,PPP终于无穷远.

渐近线为(21)5,,33aknm

112nmijiiaPZnm

起始角,

212123218018018.49071.6PPPPPPP

371.6P

令sjw,由题意0,arccos0.560

所以,tan603, 所以,3sj

闭环特征方程,2()(4)(22)0Dzsssk

代入3sj

解得,5,4.036k

-14-12-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis

2

（张雅彬…胡梓楠 录入：肖鲲）

2004年

（三）．已知单位负反馈系统的开环传递函数为

2K(s-2s+5)(s)=(s+2)(s-0.5)G

按步骤绘制K>0(K=5K)时闭环系统的根轨迹;并确定使闭环系统稳定时K的取值范围和闭环极点为稳定的实极点时K的取值范围.

解: 2(s2s5)(s-12j)(s-1+2j)(s)(s2)(s0.5)(s2)(s0.5)KKG

K=5K

开环极点: 12p2;p0.5 开环零点: 12z12j;z12j

闭环特征方程: 2(s)(s2)(s0.5)(25)0DKss

1. 绘制根轨迹:

① n=2,有两条根轨迹(n为开环极点数)

② 两条根轨迹分别起始于1p 2p,终止于1z 2z.

③ 求分离点坐标d;

由闭环特征方程得 2(s2)(s0.5)(s2s5)K 令0dKds(只考虑分子为0即可)

得 23.5125.50ss  13.84s(舍去) ,20.41s

0.41d

也可用1111mnjijjdzdp求d,但用在此题中计算过程较繁!

将s=d=0.41代入模值方程2(0.4120.415)()1:1(s2)(s0.5)KGs

得: 0.242dK

④ 分离角: 90(具体判断方法参考138P最后一段话,很有经验性,不用记公式)

⑤ 与虚轴交点:将s=jw代入闭环特征方程D(s)=0

得:

22(2)(0.5)(25)0wjwjwKwjw

解得: 115KK时0w;

134KK时111.257wjj

⑥ 终止角 公式

180[12(12)][(1ii112(21)180()(ijiimzzzjijzkzz

3

由对称性: 2200z

综上,可绘制根轨迹如图

-2-1.5-1-0.500.511.5-2-1.5-1-0.500.511.52Root LocusReal AxisImaginary Axis

2.a.根据系统稳定性得根轨迹判据(根轨迹一直在s平面左半平面时系统稳定),并结合所绘根轨迹图知,当12KKK即1354K时闭环系统稳定又5KK得

K范围:

b.由所绘根轨迹知, 1dKKK即10.2425K时,闭环极点为稳定的实极点,又5KK,得K范围: 11.21K

1.本题所求范围为K的而非K要审清题意.

2.求系统闭环系统稳定的K的范围,也可列出闭环特征方程.运用林纳德-奇帕特判据或劳思判据(9192P),但当已绘出根轨迹时,根据根轨迹上的特征点所对应的K值来求范围要方便得多. 3.绘制各种根轨迹的详细步骤,概念,公式可参考书117145P内容141142P页还有一张总结好的绘制根轨迹的基本法则,实在不行可以把它扯下来背熟,开玩笑啦

（张鹏…张雅彬 录入：张孝功）

睿智囊：

-------------------------------------一道自控习题的辨析----------------------------------------------

--------阎循石供

课本P166 4-7题：设系统的闭环特征方程如下：D(s)=2(1)0ssaks当a取不同值时，系统的根轨迹(0

有很多同学在看到这道题时往往一下子会想到韦达定理来求解a的范围，就像下面的推导

2(1)()()()ksGsHsssa2(1)()()()ksGsHsssa。。。。。。。。。。。。。。 (1.1)

等效开环极点120pp,3pa,等效开环零点11z，则分离点满足下述方程

2111ddad

整理得

2(3)20dada 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 (1.2)

2()(1)0ssas

22(3)4226916(1)(9aaaaaaa

有以下结论 当a<1或a>9时 有两个分离点

当a=1或a=9时 有一个分离点 1804320.52199.65200iii11.25K

4 当1

如果大家将根轨迹与数学推导结合起来，就会发现以上结论是不正确的，为什么我们画出的根轨迹与数学推导不符呢？大家可以翻开课本133页有关分离点坐标公式得推导，发现题设中未提*k的取值范围，即在通常要求0<*k<的条件下，分离点坐标公式只是求出结果是分离点的必要条件。由这条重要的信息，我们将上面不正确的解法进行如下改进：

由 (1.3)可得

1,2(3)(1)(9)4aaad 。。。。。。。。。。。。。。。。。 (1.4)

由闭环特征方程 2()01ssaks

即

2()(1)0ssas 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 (1.5)

分离点d满足(1.6) 式

2()(1)0ddad 0d

当 a<1时

-1

(1.7)

当a>1时

-a

(1.8)

当a=1时 无解

将(1.9) 代入 (1.10)中（即在a<1时）

(3)(1)(9)104aaaaa

(3)(1)(9)14aaaa无解

在a<1时条件下：当a<0时 有一个分离点

当0

将(1.11)代入(1.12)中（即a>1时，也可以写作9a）

(3)(1)(9)194aaaaa

(3)(1)(9)194aaaaa

当a=9时，12dd 有一个分离点

当a>9时，12dd，有两个分离点

当1

综上所述 a>9时， 有两个分离点

a<0或a=9时， 有一个分离点

0

以上解法显得比较复杂，目的是让大家强化一个概念0k时于求解分离点的影响，即有时虽可以求出分离点，但此时对应的0k时必须舍掉。如果大家再遇到此类题目，可采用边推导边画根轨迹相结合的方式来求得正确结果，而本题的解法则可以用来验证结果的正确与否。这在根轨迹比较复杂时显得尤为有效。

回音阁：

1. 有同学向我们反映说,想知道今年专业课改成综合之后，自控在出题比例及题型等各方面有没有什么改动。我们向教自控的老师咨询之后，老师说出题小组至今还没有讨论如何出题及题型的安排等事宜,同学们需要做的就是按照考试大纲，全面认真地复习。如果我们了解到出题上有什么变动，我们会及时在以后的学习专刊上告诉大家。

由于小组人数有限，出题内容不能完全涵盖真题，请大家谅解。

2.回答六班同学问的一个问题：