上海交大版大学物理第七章参考答案
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习题7
7-1．原长为m5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）
解：振动方程：cos()xAt，在本题中，kxmg，所以9.8k；
∴ 9.8980.1km。
取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，
当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以：0.1cos98xt（） 即：0.1cos(98)xt。
7-2．有一单摆，摆长m0.1l，小球质量g10m，0t时，小球正好经过rad06.0处，并以角速度0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）
解：振动方程：cos()xAt 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频率：9.83.13/gradsl，
频率：19.80.522gHzl ，
周期：2229.8lTsg；
（2）振动方程可表示为：cos3.13At（），∴3.13sin3.13At（）
根据初始条件，0t时：cosA，0(12sin0(343.13A，象限），象限）
可解得：，-2.32rad95.3227rad,108.802A
所以得到振动方程： rad)32.213.3cos(108.82t。
7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm0.8处的速度大小。 解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置；
由0kxmg，知209.8196510kgmx，∴ 19614km，
振动频率：17()2kHzm；
（2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=0.03m的位置，所以：
3cos5xA，由22cossin1，有：4sin5，
而sinvA，那么速度的大小为：40.56/5vAms 。
7-4．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为cm12，周期为s2。当0t时，位移为cm6，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）s5.0t时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm6x，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴ 2T
又∵t=0时，06xcm，00v，由旋转矢量图，可知：3
故振动方程为：0.12cos3xtm（）；
（2）将t=0.5 s代入得：
0.12cos0.12cos0.10436xtm（），
0.12sin0.12cos0.188/36vtms（），
2220.12cos0.12cos1.03/36atms（），
方向指向坐标原点，即沿x轴负向；
（3）由题知，某时刻质点位于6cm2Ax，
且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到
平衡位置Q处需要走32，建立比例式：2tT， Px2A 3Q有：56ts
。
7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 2/1Ax处，且向左运动时，另一个质点2在 2/2Ax 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。
解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 2/1Ax处，且向左运动时，
相位为3，
而质点2在 2/2Ax 处，且向右运动，
相位为43。
所以它们的相位差为。
7-6. 质量为m的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。
解：平衡位置：当FG浮时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：mggSa
可知浸入水中为a处为平衡位置。
以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用ax来表示，所以力()FgaxSgaSgSx，利用牛顿定律：22dxFmdt，
再令：224gSgdmm，可得：0222xdtxd，可见它是一个简谐振动；
周期为：24mTdg 。
7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：mkkkk)(212121。
证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：1122kxkx，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：1122kxkxkx，考虑到xxx21，
可得：12111kkk ，所以：1212kkkkk
代入频率计算式，可得：mkkkkmk)(21212121 。
7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
解：由212PEkx，212kEmv，有：221cos()2PEkAt，
2222211sin()sin()22kEmAtkAt，
（1）当2Ax时，由cos()xAt，
有：1cos()2t，3sin()2t，
∴14PEE，34kEE；
（2）当12PkEEE时，有：22cos()sin()tt
∴1cos()2t，20.7072xAA。
7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：通过旋转矢量图做最为简单。
由图可知，两个振动同频率，且 1A初相：12，2A初相：22，
表明两者处于反相状态，
（反相21(21)k，012k，，，）
∵12AA，∴合成振动的振幅：21AAA ；
合成振动的相位：22 ；
合成振动的方程：）（）（22cos12tTAAx 。
7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm20，与第一个振动的位相差为6。若第一个振动的振幅为cm310。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？
解：如图，可利用余弦定理：
由图知 30cos2122122AAAAA=0.01 m
∴A２=0.1 m ，
再利用正弦定理：02sinsin30AA，有：
2sin12AA，∴2。
说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。
7-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为cm30A，经过110ts后，振幅变为cm11A。问：由振幅为0A时起，经多长时间其振幅减为cm3.02A？
解：根据阻尼振动的特征，00cos()txAet，知振幅：teAA0。
∵cm30A，当110ts时，cm11A，可得：1013e，
上式两边取对数，得：1ln310；
那么当振幅减为20.3Acm时，有：2110te， 两边取对数，有：2ln10t，∴210ln10101021ln3lg30.4771ts。
7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求：
（1）求振子在水中的振动周期T；
（2）如果开始时振幅100A厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？
解：（1）TeAA0
9.00AAeT
910ln190.0ln1TT
又阻尼振动的圆频率： 2202
即 910ln14.42220222TTT
即 022000014.1)00014.01(49/10ln1TTTTc
从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的，而对振动的周期影响却很小，有时甚至可以忽略不计。
（2）在整个阻尼振动过程中，振子所经过的路程可近似地表示为：
厘米400409.01414)1(444400020210AAeAeeAAAASTTT
7-13．试画出cos(2)4xAt和cosyBt的李萨如图形。
解：∵2xy，∴:2:1xy 又∵4xy，可参考书上的图形。
7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1） 4cos864cos86xtyt ；（2） 4cos8654cos86xtyt ；
（3） 4cos8624cos83xtyt 。试判别质点运动的轨迹。
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。
对于cos()xxAt，4cos()yyt的叠加，可推得：
22222cos()sin()xyxyxyxyA
（1）将6x，6y代入有：2222cos16sin33xyxy，
则方程化为：2212xyxy，轨迹为一般的椭圆；
（2）将6x，56y代入有：2222cos16sinxyxy
则方程化为：2220xyxy，即0xy，轨迹为一直线；
（3）将6x，23y代入有：2222cos16sin22xyxy
则方程化为：2224xy，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。
7-15．在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为z4H107.2，求垂直方向的振动频率。
解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点
是2个，在竖直方向的切点是3个，所以：
