概率统计讲义
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2014/12/251华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授概率论与数理统计主讲教师：周晓阳1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授2
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件和样本空间§1.2 事件的关系和运算§1.3 事件的概率及计算§1.4 概率的公理化定义
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授4
引言概率统计的研究对象•必然现象水0℃冰100℃ 气•随机现象--------统计规律
确定性现象：有因必有果（可预测,已习惯的思维）随机现象：因果律的破缺（不可预测、新思维）
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授5引言1.不光彩的起源：机会游戏2.数学的新纪元1933年柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建立概率的公理化体系，奠定了概率论的理论基础概率统计理论————蓬勃发展————广泛应用3.学习前人的工作，提高综合素质萌发创新意识1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授6
引例：热轧问题实验随机变量、直方图、分布密度函数
轧制钢材要经过两道工序：1）粗轧(热轧)2）精扎(冷轧)。3）成品材长度规定为L:3-1）若实际钢材长度X >= L精轧切掉多余长度3-2）若实际钢材长度X< L则整根钢材报废回炉4）热轧机额定长度可调整；为热轧机轧
出钢材平均值（EX）
问题：使得浪费最小
00.511.522.533.54000
20000.511.522.533.54000200
轧制的钢材随机落点在x轴堆积随机落点在直方图表示光滑曲线为分布密度
成品材长度3m
额定长度3.2m2014/12/2521华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授7研究随机现象观察||（随机试验）扔硬币就是随机试验观察正面出现的概率（统计规律）柯尔莫哥洛夫的工作源于对随机试验描述的创新思想样本空间（必然事件）基本事件（样本点）1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授8
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授9§1.2 事件的关系和运算（注意自然语言的含义）并事件，至少差事件，刨去子事件，包含交事件AB，同时A=BA,B互为子事件1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授10
推广nniiAAAA211==
~ A1,A2,…,An中至少有一个发生
nniiAAAA211==
~A1,A2,…,An同时发生
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授11运算法则1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授12
§1.3 事件的概率及计算一、统计概率nnA
试验次数
发生的次数A
事件的频率：fn(A)= =
统计规律：频率趋于概率（见P2掷硬币试验）
定义：P(A)=n
nA
nlim
人名投掷次数n正面出现次数n正频率n正/n蒲 丰404020480.5069费希尔1000049790.4979皮尔逊24000120120.50052014/12/2531华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授13二、古典概率（1）有限性：},,,{21nwww=W（2）等可能性：)()()(21nPPPwww===★．古典概型：★定义设为试验E 下的样本空间，事件，则},,,{21nwww=W},,,{21amaaAwww=nmAP=)(1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授14
三、几何概率2．定义的测量值对的测量值对W=W=AAAP)()()(
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授15早期：统计概率，古典概率，几何概率抽取特性公理化概率概率论及各分支的蓬勃发展1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授16
4．性质（三种概率共有，公理化的基石）(1）非负性P(A)≥0(2）规范性(3）可加性若，则P(A+B)=P(A)+P(B)
1)(=WP=AB
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授17概率测度（测量随机事件发生可能性大小的尺）1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授18
一、定义则称3123可列可加性：若，则j§1.4 概率的公理化定义设为试验E的样本空间，对E的每一个事件A都给一个实数P(A)与之对应，使之满足：
W
P(A)为A的概率。二、性质
（1）P()=0证：取，i=1,2,…，则=iA
0)()()(110=======iiPPP
o非负性：P(A)≥0；
o规范性：P()=1；
o)(iAAji==
==11)()(iiiiAPAP
W2014/12/25
41华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授19（1）P()=0（2）有限可加性：)(jiAAji=，则===niniiiAPAP11)()(（3）逆事件概率：=1-P(A))(AP（4）差公式)()()(APBPABPBA-=-（5）加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)11121()()()()(1)()nnnkkiijijkniijijkPAPAPAAPAAAPAAA-===-+-+-一般基本方法：公理、性质的应用Key：先熟悉、再观察从证明和例题中提取基本方法二、性质1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授20
二、性质：（2）有限可加性：)(jiAAji=，则
===niniiiAPAP11)()(
证：取，i=1,2,…，则=+inA
=====++===++=niniiniiniiiAPAPAPAP11131)(0)()()(
0
（3）逆事件概率：=1-P(A))(AP
证：)()(101AAPP+=W===)()()2(APAP+===
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授21（4）差公式)()()(APBPABPBA-=-证P(B)=P(B＋A)=P(B－A)＋P(A)A推论P(A)≤P(B)BA)4(BB-AAABABΩABABCBCCBAAC（5）加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)证)()(BAAPBAP+=)()()2(ABBPAP-+=)()()()4(ABPBPAP-+=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC))(1niiAP=-+-==kjikjijijiniiAAAPAAPAP)()()(1)(?21nAAAP+推广：一般：1)1(--n文图方法注意掌握1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授22
1、事件关系及其运算，考点设某人向一个目标连射三枪，以Ai表示“第i枪命中目标”，i=1,2,3，试用A1，A2，A3及其运算式表示下面事件：
(1)前两枪至少命中一枪；(2)只有第一枪命中；(3)只有第一枪未命中；(4)第一枪命中且后两枪至少命中一次；(5)至少命中两次；(6)至多命中一次。
211AAB=3212AAAB=
3213AAAB=)(3214AAAB=
1332215AAAAAAB=
1332213213213213216AAAAAAAAAAAAAAAAAAB=
=
1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授23例2（P18例1.12）已知AB=，P(A)=p，P(B)=q，求下列概率：pAPBA-====1)(qBPABBP==-)()(解(1)P(A∪B)=(2)()PAB=(3)()PAB=(4)()PAB=qpBAP--=-1)(1P(A)+P(B)－P(AB)=p+q2、公理化性质及其应用方法提炼：公式法，文图法WBA1华中科技大学数学与统计学院周晓阳教授24
例1 一批外形相同的产品，由6件正品和4件次品组成，考察下面事件的概率：
E1：从中任取一件，A1={取到次品} P(A1)=E2：有放回地任取三件，A2={恰有两件次品} P(A2)=
E3：不放回地任取三件，A3={恰有两件次品} P(A3)=
E4：不放回地任取六件，A4={第6次取到的是次品} P(A4)=
E5：不放回地任取两件，A5={恰有1件正品和1件次品} P(A5)=
52104=
10*10*104*4*6*4*4*623C
10*9*8*4*3*623C
=0.288
=0.3=0.3
3
10
1624C
CC=
123451098763、古典概率应用（中学熟悉了，注意掌握程度）
