2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §2 三角形中的几何计算 含解析

[A 基础达标]

1．如果将直角三角形三边增加相同长度，则新三角形一定是( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．与增加长度有关

解析：选A。在△ABC中，a2＝b2＋c2，设三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cos A′

＝（b＋m）2＋（c＋m）2－（a＋m）22（b＋m）（c＋m）＝2m（b＋c－a）＋m22（b＋m）（c＋m）>0，而角A′是最大角，故新三角形为锐角三角形，故选A。

2．在△ABC中，A＝120°，a＝21，S△ABC＝3，则b等于( )

A．1 B．4

C．1或4 D．5

解析：选C。S△ABC＝12bcsin A＝34bc＝3，故bc＝4，①

又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝21，②

解①②组成方程组，可得b＝1或b＝4，选C。

3．已知△ABC周长为20，面积为103，A＝60°，则BC边长为( )

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：选C。由题设a＋b＋c＝20，12bcsin 60°＝103，

所以bc＝40。

a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120。

所以a＝7。即BC边长为7。

4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝3，则△ABC外接圆半径为( )

A。3 B．2

C．23 D．4

解析：选B。因为S＝12bcsin A，

所以3＝12×2csin 120°，所以c＝2，

所以a＝b2＋c2－2bccos A＝

4＋4－2×2×2×－12＝23，

设△ABC外接圆半径为R，

所以2R＝asin A＝2332＝4，所以R＝2。

5．在三角形ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且a>b>c，a2

A。π2，π B．π4，π2

C。π3，π2 D．0，π2

1

三角形中的几何计算及实际应用举例

一、教学目标

（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。

（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。

二、知识要点分析：

1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）

（i）大角对大边：,,,ABabBCbcCAca

（ii）正弦定理：2sinsinsinabcRABC，（R是三角形外接圆的半径）

（iii）余弦定理：

2222222222cos,2cos,2cosabcbcAbacacBcababC

（iv）三角形的面积

S△ABC111sinsinsin222ABCSbcAacBabCpr4abcR

2. 解决实际问题的有关知识点

（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。

（3）解决实际问题的步骤。

（i）理解题意分清已知与未知。（ii）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。（iii）作答。

2 3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

（ii）

sin()sin,cos()cos,sincos,cossin2222ABCABCABCABC

（iii）tantantantantantan1222222ABBCAC

ruize

[学生用书P85(单独成册)]

[A 基础达标]

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )

A．3 B.33

C．6 D．63

解析：选B.△ABC的面积为12absin C＝12×4×3×32＝33.

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )

A.12 B.14

C．1 D．2

解析：选A.由cos 2A＝sin A，得1－2sin2 A＝sin A，解得sin A＝12或sin A＝－1(舍去)，所以S△ABC＝12bcsin A＝12×2×12＝12.

3．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cos A＝78，则△ABC的面积等于( )

A.152 B.15

C．2 D．3

解析：选A.因为b2－bc－2c2＝0，

所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.

由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4，

因为cos A＝78，所以sin A＝158，

所以S△ABC＝12bcsin A＝12×4×2×158＝152.

4．已知△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC边的长为( )

A．5 B.6

C．7 D．8

解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，12bcsin 60°＝103，

所以bc＝40.

a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120. ruize

所以a＝7.即BC边的长为7.

5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝3，则△ABC外接圆的半径为( )

A.3 B.2

C．23 D．4

解析：选B.因为S＝12bcsin A，

所以3＝12×2csin 120°，所以c＝2，

1 第二章 6.1 3 第一课时

A 组·素养自测

一、选择题

1．在△ABC中,若sin Aa＝cos Bb,则角B等于( B )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析] 由正弦定理知sin Aa＝sin Bb,∵sin Aa＝cos Bb,∴sin B＝cos B,∵0°

2．在△ABC中,b＝7,c＝5,B＝π3,则a的值为( D )

A．3 B．4

C．7 D．8

[解析] 由余弦定理,得b2＝a2＋c2－2accos B,

∴49＝a2＋25－5a,

∴a2－5a－24＝0,

∴a＝8或a＝－3(舍去),∴a＝8.

3．在△ABC中,B＝60°,b2＝ac,则此三角形一定是( B )

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

[解析] 由余弦定理,得b2＝a2＋c2－ac,

又∵b2＝ac,

∴a2＋c2－2ac＝0,即(a－c)2＝0,∴a＝c,

∵B＝60°,∴A＝C＝60°.

故△ABC是等边三角形．

4．已知锐角△ABC的面积为33,BC＝4,CA＝3,则角C的大小为( B )

A．75° B．60°

C．45° D．30°

[解析] ∵33＝12×4×3sin C,∴sin C＝32, 2 ∵△ABC为锐角三角形,∴C＝60°,故选B．

5．在△ABC中,已知(b＋c)(a＋c)(a＋b)＝456,则sin Asin Bsin C等于( B )

A．654 B．753

C．357 D．456

[解析] ∵(b＋c)(c＋a)(a＋b)＝456,

∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6. 令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k(k>0),

则 b＋c＝4kc＋a＝5ka＋b＝6k,解得 a＝72k，b＝52k，c＝32k.

∴sin Asin Bsin C＝abc＝753.

6．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2＝(a－b)2＋6,C＝π3,则△ABC的面积是( C )