高一数学基础知识讲义函数及其性质
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里 x 叫自变量, 自变量的取值范围叫做这个函数的 定义域 ,所有函数值构成的集合, 个函数的 值域 。
这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定,则函数的值域也被确定,所以 定义域和对应法则 。
叫做这
是: 定 义 名 称 符
x a x b 闭区间 a,b
x a x b 开区间 a,b x a x b 半开半闭区间 a,b x a x
b
半开半闭区间
a,b
闭区间是包括端点, 开区间不包括端点。实数集 R 可以表示为
读作“无
4。
第二讲 函数及其性质
知识要点一:
函数及其相关概念
⑴映射:设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任何一个元 素,在集合 B 中都有 唯一的元素与它对应, 这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射。 记作: f : A B 。 ⑵象与原象:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A,b B ,如果 a, b 对应那么元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象。
⑶一一映射:设 A, B 是两个非空集合, f :A B 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集 合 B 中的任意一个元素,在集合 A 中都有且只有一个原象,把这个映射叫做从集合 A 到集
合 B 的一一映射。
⑷函数:设集合 A 是一个 非空数集 ,对 A 中的任意数 x ,按照确定的法则 f ,都有 唯一 确
定的数 y 与它对应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数,记作: y
, x A 这
决定一个函数的两个条件 ⑸函数的表示方法: ⑹区间:
解析法、图像法、列表法。
穷大”,例如:“ x 3”可以表示为 3, ,“ x
4 ”可以表示为
高考要求:
了解映射的概念,理解函数的有关概念,掌握对应法则图像等性质,能够熟练求解函 数的定义域、值
域。
例题讲解:
夯实基础
一、判断下列关系哪些是映射。
二、已知 f
三、求下列函数的定义域。
1 x
2 2x 3
1) Z,B Z , f :平方; 2) R,B
R , f : 平方;
3) x 1 , B R, f : 求倒数;
4) N,B
0,1 , f :当 n 为奇数时, n 1;当 n 为偶数时, n 0;
5)
C Z Z , B 正奇数 ,f : n
m 2n 1,其中 n A,m B ;
解:f (t)
2t 3 t1 2x 2
x2
23
1
2x 7 x1
1)y
2) y 49 x2
3) 解:x22x
(x 3)(x 1)
x 3且x 1 1x1
解: 1 x 0 x 1
1 x 1 0 x 0 x x 1且 x
1且 x 0
四、求函数解析式:
求 f (x) 。
1 解: Q f ( )
x x
1 x 2
f(x)
1 1 x x f(x)
x
x 2 1
解:3x 1 t
t1 x=
3
解:设 ax 2
bx c(a 0)
f (0) 1 C
22
a (x 1) b(x 1) c ax bx c 2x 2a x bx a
b bx 2x
a 1
b 1
f(x) x 2 x 1
1)已知
f(1)
x 2
,求 f (x) 。
1x
2
2)已知 f(3x 1) 9x 2 6x 5 ,
f (x) 9 (t 1)2 t 1
6 93
5 = t 2 2t 1 2t 2 5
= t 2 4t 8
= x 2
4x 8
3)已知 f ( x)是二次函数,且满足 f (0)
1, f (x
f (x) 2x,求 f(x) 。
1)
解: y ( x 2 2 x 1) 4
f (1) ax,x R,x 0,a 为常数,且 a x
11 af ( ) f ( x ) a (1)
xx
2 1 2 a 2 f ( x ) af ( ) a 2 x (2) x
a 2 -1 ) f ( x) a 2x a
注意:求函数的解析式大致有如下几种方法: ①拼凑法;②换元法;③待定系数法;④解析法。注意因题型而选择方法。
小结:求函数的定义域,就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围,大致有如下几种 方法:①一次函数、二次函数的定义域是全体实数;
②
函数表达式形式是分式的,分母不为 0;
③ 函数表达式形式是根式的,如果开偶次方根,被开方式要大于等于零;如果开奇 次方根,被
开方式可以取全体实数;
④ 零指数幂与分数指数幂的底数不能为零; ⑤在有实际意义的解析式中,一定要由实际问题决定其定义域; ⑥多个限制条件取交集。
五、求下列函数的值域
1)
f (x) 4x 1 1x
3
解: f ( 1) 4 11
5
f (3)
4 3 1
11
2)
f( x )
2 x 2
4 x 1 2 x
3
解:
x
4
1
2 2
f (2)
2 2
2 2 4 2 1
1
f (3)
2
2
3 2
4 3 1
7
y
1, 7
f ( x) 。
f(x)
22 a x a a 2 -1 ) x
4)若函数 f(x) 满足方程 af (x) 1 ,求
解: