高一数学函数的性质

高一数学考点：函数的性质函数是高中数学课程内容的四条主线之一，贯穿整个高中数学的学习，是发展学生数学核心素养的重要载体．而函数的性质作为函数内容的重点和难点，成为高考考查的热点．纵观近几年的高考真题，对函数性质的考查主要集中在选择题和填空题．下面结合近几年的高考真题，就函数性质的常见考点和题型进行归类分析．一㊁函数单调性的判断与应用函数的单调性是反映函数变化趋势的重要性质，是高考的热门考点．判断函数单调性的常用方法有定义法㊁图像法和导数法．除此之外，了解函数单调性的常用结论，如 若ｋ＞０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相同；若ｋ＜０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相反 复合函数单调性同增异减法则 等，可以帮助我们更快解题．例１．（１）（２０２１年高考天津㊃第５题）设ａ＝ｌｏｇ２０.３，ｂ＝ｌｏｇ０.４，ｃ＝０.４０.３，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｃ＜ａ＜ｂＣ．ｂ＜ｃ＜ａＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：ȵｌｏｇ２０.３＜ｌｏｇ２１＝０，ʑａ＜０．ȵｌｏｇ０.４＝－ｌｏｇ２０.４＝ｌｏｇ２５２＞ｌｏｇ２２＝１，ʑｂ＞１．ȵ０＜０.４０.３＜０.４０＝１，ʑ０＜ｃ＜１，ʑａ＜ｃ＜ｂ．故选：Ｄ．评注：本题考查利用函数的单调性和中间量去比较大小，０和１是常用的中间量．本题需要先把常数０和１转化成与ａ，ｂ，ｃ同底的对数或指数，再利用相应函数的单调性即可比较出这三个数和０㊁１的大小关系，进而得到ａ，ｂ，ｃ的大小．当然，比较ａ和ｂ的大小也可以直接转化为以２为底的对数，再用单调性去比较．熟悉常见函数的单调性㊁对数和指数的运算性质是关键，属于容易题．（２）设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则ａ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（－ɕ，－２］Ｂ．［－２，０）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，＋ɕ）解析：函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，而函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则有函数ｙ＝ｘ（ｘ－ａ）＝ｘ－ａ２()２－ａ２４在区间（０，１）上单调递减，因此ａ２ȡ１，解得ａȡ２，所以ａ的取值范围是［２，＋ɕ）．故选：Ｄ．评注：本题考查复合函数的单调性，已知函数的单调区间求参数的取值范围，考查常见函数的单调性，考查逻辑推理能力．本题解题的关键在于识别出内外层函数，利用复合函数单调性 同增异减 的法则，推断出内层函数在已知区间上的单调性，利用二次函数的对称轴与已知区间的相对位置关系来求解参数范围，难度不大．（３）设ａ＝０.１ｅ０.１，ｂ＝１９，ｃ＝－ｌｎ０.９，则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｃ＜ｂ＜ａＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ（ｘ＞－１），因为ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ－１＝－ｘ１＋ｘ，当ｘɪ（－１，０）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ在（０，＋ɕ）单调递减，在（－１，０）上单调递增，所以ｆ１９()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ１０９－１９＜０，故１９＞ｌｎ１０９＝－ｌｎ０.９，即ｂ＞ｃ，所以ｆ－１１０()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ９１０＋１１０＜０，故９１０＜ｅ－，所以１１０ｅ＜１９，故ａ＜ｂ．设ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）（０＜ｘ＜１），则ｇᶄ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ＋１ｘ－１＝（ｘ２－１）ｅｘ＋１ｘ－１．令ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１，ｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２＋２ｘ－１），当０＜ｘ＜２－１时，ｈᶄ（ｘ）＜０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递减，2㊀当２－１＜ｘ＜１时，ｈᶄ（ｘ）＞０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递增．又ｈ（０）＝０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｈ（ｘ）＜０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｇᶄ（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）单调递增，所以ｇ（０.１）＞ｇ（０）＝０，即０.１ｅ０.１＞－ｌｎ０.９，所以ａ＞ｃ．故选：Ｃ．评注：本题考查利用函数的单调性来比较大小，借助导数来判断函数的单调性，考查分析推理和计算能力，属于较难题．本题难点在于无法直接利用常见函数的单调性来比大小，需要先对各个数据进行代数变形，观察数据的结构去构造新的函数，再结合新函数的单调性以及特殊的函数值来比大小．利用指数函数和对数函数去构造新函数是常见的构造技巧．变式１．（１）设ａɪ（０，１），若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋（１＋ａ）ｘ在（０，＋ɕ）上单调递增，则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析：由函数的解析式可得ｆᶄ（ｘ）＝ａｘｌｎａ＋（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，则（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ－ａｘｌｎａ，即１＋ａａ()ｘȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ）在区间（０，＋ɕ）上恒成立，故１＋ａａ()０＝１ȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ），而ａ＋１ɪ（１，２），故ｌｎ（１＋ａ）＞０，故ｌｎ（ａ＋１）ȡ－ｌｎａ，０＜ａ＜１，{即ａ（ａ＋１）ȡ１，０＜ａ＜１，{故５－１２ɤａ＜１，结合题意可得实数ａ的取值范围是５－１２，１[■■|．故答案为：５－１２，１[■■|．（２）（２０２２高考北京卷㊃第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１，ｘ＜ａ（ｘ－２）２，ｘȡａ{，若ｆ（ｘ）存在最小值，则ａ的一个取值为㊀㊀㊀㊀㊀；ａ的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：若ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝１，ｘ＜０（ｘ－２）２，ｘȡ０{ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０；若ａ＜０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递增，当ｘң－ɕ时，ｆ（ｘ）ң－ɕ，故ｆ（ｘ）没有最小值，不符合题目要求；若ａ＞０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递减，ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）＝－ａ２＋１，当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，０＜ａ＜２（ａ－２）２，ａȡ２{ʑ－ａ２＋１ȡ０或－ａ２＋１ȡ（ａ－２）２，解得０＜ａɤ１，综上可得０ɤａɤ１；故答案为：０（答案不唯一），１．（３）设ａ＝２ｌｎ１.０１，ｂ＝ｌｎ１.０２，ｃ＝１.０４－１．则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ｃ＜ａＣ．ｂ＜ａ＜ｃＤ．ｃ＜ａ＜ｂ解析：ａ＝２ｌｎ１.０１＝ｌｎ１.０１２＝ｌｎ（１＋０.０１）２＝ｌｎ（１＋２ˑ０.０１＋０.０１２）＞ｌｎ１.０２＝ｂ，所以ｂ＜ａ；下面比较ｃ与ａ，ｂ的大小关系．记ｆ（ｘ）＝２ｌｎ（１＋ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｆ（０）＝０，ｆᶄ（ｘ）＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＝２ｘ－ｘ２＝ｘ（２－ｘ），所以当０＜ｘ＜２时，１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＞０，即１＋４ｘ＞（１＋ｘ），ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）在［０，２］上单调递增，所以ｆ（０.０１）＞ｆ（０）＝０，即２ｌｎ１.０１＞１.０４－１，即ａ＞ｃ；令ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋２ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｇ（０）＝０，ｇᶄ（ｘ）＝２１＋２ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－２ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＝－４ｘ２，在ｘ＞０时，１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＜０，所以ｇᶄ（ｘ）＜０，即函数ｇ（ｘ）在［０，＋ɕ）上单调递减，所以ｇ（０.０１）＜ｇ（０）＝０，即ｌｎ１.０２＜１.０４－１，即ｂ＜ｃ；综上，ｂ＜ｃ＜ａ，故选：Ｂ．二㊁函数奇偶性的判断与应用判断函数奇偶性的常用方法是定义法和图像法，对于小题来说，还可以通过赋特殊值的方法来作初步判断．函数的奇偶性反映了其图像的对称性，对于一些具有奇偶性的复合函数，其原函数蕴含了对称性，如 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｂ）是定义在Ｒ上的奇函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ｂ，０）中心对称 ， 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）是定义在Ｒ上的偶函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ对称 等，我们要学会从中看出函数的隐含性质．函数的奇偶性蕴含了函数在对称区间上的单调性关系，所以经常会把奇偶性和单调性结合在一起考查．例２．（１）函数ｙ＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ在区间－π２，π２[]的图像大致为（㊀㊀）Ａ．㊀㊀Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：令ｆ（ｘ）＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ，ｘɪ－π２，π２[]，则ｆ（－ｘ）＝（３－ｘ－３ｘ）ｃｏｓ（－ｘ）＝－（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函数，排除ＢＤ；3㊀又当ｘɪ（０，π２）时，３ｘ－３－ｘ＞０，ｃｏｓｘ＞０，所以ｆ（ｘ）＞０，排除Ｃ．故选：Ａ．评注：本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的奇偶性㊁值域等性质来判断函数的大致图像，考查推理分析能力．首先判断函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，可以排除选项Ｂ㊁Ｄ．对比选项Ａ㊁Ｃ，再结合特殊函数值的正负㊁或在某区间上函数值的正负㊁或函数的单调区间等性质可以排除Ｃ，得出正确选项．像这种由解析式判断函数图像㊁或者由图像判断解析式的题目，可以尝试优先考虑函数的定义域和奇偶性，再结合函数的值域㊁单调性㊁特殊值等做进一步的判断．（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数，则ａ＝（㊀㊀）Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１２Ｄ．１解析：因为ｆ（ｘ）为偶函数，则ｆ（１）＝ｆ（－１），ʑ（１＋ａ）ｌｎ１３＝（－１＋ａ）ｌｎ３，解得ａ＝０，当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１，（２ｘ－１）（２ｘ＋１）＞０，解得ｘ＞１２或ｘ＜－１２，则定义域为ｘｘ＞１２或ｘ＜－１２{}，关于原点对称．又因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）ｌｎ２（－ｘ）－１２（－ｘ）＋１＝（－ｘ）ｌｎ２ｘ＋１２ｘ－１＝（－ｘ）ｌｎ（２ｘ－１２ｘ＋１）－１＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１＝ｆ（ｘ），故此时ｆ（ｘ）为偶函数．故选：Ｂ．评注：本题考查了函数的奇偶性：已知函数的奇偶性，求参数的值，常规题型．如果直接利用偶函数的定义ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）来求解，计算量比较大．采用特殊值代入先求出参数值ａ，再回代ａ，用定义去验证函数ｆ（ｘ）为偶函数，这样的处理技巧可以大大减少计算量．变式２．（１）函数ｆ（ｘ）图像如下图所示，则ｆ（ｘ）的解析式可能为（㊀㊀）Ａ．５（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｂ．５ｓｉｎｘｘ２＋１Ｃ．５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｄ．５ｃｏｓｘｘ２＋１解析：由图知：函数图像关于ｙ轴对称，其为偶函数，而Ａ㊁Ｂ中函数为奇函数，排除；当ｘ＞０时，５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２＞０，即５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２中（０，＋ɕ）上函数值为正，排除Ｃ；故选：Ｄ（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()为偶函数，则ａ＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｃｏｓｘ为偶函数，定义域为Ｒ，所以ｆ－π２()＝ｆπ２()，即－π２－１()２－π２ａ＋ｃｏｓ－π２()＝π２－１()２＋π２ａ＋ｃｏｓπ２，则πａ＝π２＋１()２－π２－１()２＝２π，故ａ＝２，此时ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋２ｘ＋ｃｏｓｘ＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ，所以ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋１＋ｃｏｓ（－ｘ）＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ＝ｆ（ｘ），又因为定义域为Ｒ，故ｆ（ｘ）为偶函数，所以ａ＝２．故答案为：２．三㊁函数对称性的判断与应用判断函数对称性的常用方法是定义法，其代数表达形式有多种类型，我们要理解其本质，对于题目给出的关系式，有时候需要通过代数变形才能识别出其对称轴或对称中心．若函数具有两种对称性，则该函数是周期函数，如 对于任意的实数ｘ，函数ｆ（ｘ）同时满足ｆ（ａ－ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），ｆ（２ａ－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ），则函数ｆ（ｘ）是以Ｔ＝２ａ为周期的周期函数，且是偶函数 ，所以对称性和周期性也会经常结合在一起考查．例３．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，且ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７．若ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝４，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－２１Ｂ．－２２Ｃ．－２３Ｄ．－２４解析：因为ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２－ｘ）＝ｇ（ｘ＋２），因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ－２）＝７，即ｇ（ｘ＋２）＝７＋ｆ（ｘ－２），因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，代入得ｆ（ｘ）＋［７＋ｆ（ｘ－２）］＝５，即ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－２）＝－２，所以ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）＝（－２）ˑ５＝－１０，ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）＝（－２）ˑ５＝－１０．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（０）＋ｇ（２）＝５，即ｆ（０）＝１，所以ｆ（２）＝－２－ｆ（０）＝－３．因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋４）－ｆ（ｘ）＝７，又因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，联立得ｇ（２－ｘ）＋ｇ（ｘ＋４）＝１２，所以ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关4㊀于点（３，６）中心对称，因为函数ｇ（ｘ）的定义域为Ｒ，所以ｇ（３）＝６．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，所以ｆ（１）＝５－ｇ（３）＝－１．所以ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋［ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）］＋［ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）］＝－１－３－１０－１０＝－２４．故选Ｄ．评注：本题主要考查了抽象函数的对称性，需要充分理解并掌握对称性的定义和性质，对函数关系式多次变形转化，难度较大．本题难点在于对条件 ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７ 的灵活应用．一是对ｘ进行赋值，根据需要进行合理的赋值才能得到想要的结果；二是对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）关系的转化，根据ｇ（ｘ）的性质进行赋值后消去ｇ（ｘ）得到只有ｆ（ｘ）的关系式，从而得到ｆ（ｘ）的性质，再次赋值消去ｆ（ｘ）得到只有ｇ（ｘ）的关系式，从而得到ｇ（ｘ）的性质．变式３．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德㊃黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在［０，１］上，其解析式如下：Ｒ（ｘ）＝１ｐ，ｘ＝ｑｐ（ｐ，ｑ互质，ｐ＞ｑ）０，ｘ＝０㊁１或［０，１］上的无理数{，定义在实数集上的函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ），ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４），且函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝２，当ｘɪ（０，１）时，ｆ（ｘ）＝Ｒ（ｘ），则ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２＋ｘ）＝ｇ（２－ｘ）由ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ）得ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），所以ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得：ｇ（２－ｘ）＝９＋ｆ（－ｘ－２）＝９＋ｆ（ｘ＋２），代入ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），得ｆ（ｘ）＝－４－ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４，所以ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋４）＝－４，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得ｇ（２）＝９＋ｆ（－２）＝２，所以ｆ（－２）＝－７，即ｆ（２）＝－７，由ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４得ｆ－７６()＋ｆ－７６＋２()＝－４，所以ｆ－７６()＋ｆ５６()＝－４，即ｆ－７６()＋Ｒ５６()＝－４，所以ｆ－７６()＋１６＝－４，所以ｆ－７６()＝－４－１６，ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝ｆ（４ˑ５０５＋２）＋ｆ－４ˑ８４－７６()＝ｆ（２）＋ｆ－７６()＝－７－４－１６＝－６７６，故答案为：－６７６．四㊁函数周期性的判断与应用判断函数周期性的常用方法是定义法，即 若函数满足ｆ（ｘʃＴ）＝ｆ（ｘ）（Ｔʂ０），则ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ，ＫＴ（ｋɪＺ）也是函数周期 ．还有一些常见的周期性的表达式，也需要我们熟悉，如 ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）⇔ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ＝２ａ ．周期性的表达式和对称性的表达式很相似，特别是综合考查对称性和周期性的题目，要加以区分．例４．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）（ｘɪＲ），且在区间（－２，２］上，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓπｘ２，０＜ｘɤ１ｘ＋１２，－２＜ｘɤ０■■■|||则ｆ（ｆ（１５））的值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：由ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）得函数ｆ（ｘ）的周期为４，所以ｆ（１５）＝ｆ（１６－１）＝ｆ（－１）＝－１＋１２＝１２，因此ｆ（ｆ（１５））＝ｆ１２()＝ｃｏｓπ４＝２２．评注：本题主要考查了函数的周期性以及分段函数的求值问题，利用周期性把未知函数关系式区间上的函数值转化为已知关系式的区间上求解．本题还涉及到两层函数复合的求值问题，要从里往外层层求解，难度不大，但计算要细心．变式４．（１）已知函数ｆ（ｘ）周期为１，且当０＜ｘɤ１，ｆ（ｘ）＝－ｌｏｇ２ｘ，则ｆ３２()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：ｆ３２()＝ｆ１２()＝－ｌｏｇ２１２＝１．（２）（２０２２年新高考全国Ⅱ卷㊃第８题）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），ｆ（１）＝１，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．１解析：令ｙ＝１得ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）㊃ｆ（１）＝ｆ（ｘ）⇒ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１），故ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ＋３）＝ｆ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ＋１），消去ｆ（ｘ＋２）和ｆ（ｘ＋１）得：ｆ（ｘ＋３）＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）周期为６；令ｘ＝１，ｙ＝０得ｆ（１）＋ｆ（１）＝ｆ（１）㊃ｆ（０）⇒ｆ（０）＝２，ｆ（２）＝ｆ（１）－ｆ（０）＝１－２＝－１，ｆ（３）＝ｆ（２）－ｆ（１）＝－１－１＝－２，ｆ（４）＝ｆ（３）－ｆ（２）＝－２－（－１）＝－１，ｆ（５）＝ｆ（４）－ｆ（３）＝－１－（－２）＝１，ｆ（６）＝ｆ（５）－ｆ（４）＝１－（－１）＝２，故ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝３［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ ＋ｆ（６）］＋ｆ（１９）＋ｆ（２０）＋ｆ（２１）＋ｆ（２２）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝１＋（－１）＋（－２）＋（－１）＝－３，即ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝－３．故选：Ａ．五㊁函数性质的综合应用高考中也会把函数的各种性质综合在一起考查，我们要掌握各种性质之间的联系和区别，才能明确解题的方向和思路．例５．（１）设ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，且在（０，5㊀＋ɕ）单调递减，则（㊀㊀）Ａ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）Ｂ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）Ｃ．ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）Ｄ．ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）解析：ȵｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ʑｆ（ｌｏｇ３１４）＝ｆ（－ｌｏｇ３４）＝ｆ（ｌｏｇ３４）．ʑｌｏｇ３４＞１＝２０＞２－２３＞２－３２＞０，又ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递减，ｆ（ｌｏｇ３４）＜ｆ（２－２３）＜ｆ（２－３２），ʑｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４），故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小．首先根据函数的奇偶性，把所有函数值的自变量转化到同一单调区间上，再结合区间的单调性来比较函数值的大小．利用函数的奇偶性和单调性去比较大小㊁解函数不等式是常见题型．（２）（２０１８年高考数学课标Ⅱ卷（理）㊃第１１题）已知ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ）．若ｆ（１）＝２，则ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝（㊀㊀）Ａ．－５０Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．５０解析：因为ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，且满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ），所以ｆ（１－（ｘ＋１））＝ｆ（１＋（ｘ＋１）），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋２），ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），因此ｆ（ｘ）是周期函数且Ｔ＝４．又ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝１２［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）］＋ｆ（１）＋ｆ（２），且ｆ（２）＝ｆ（１＋１）＝ｆ（１－１）＝ｆ（０）＝０，ｆ（３）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－２，ｆ（４）＝ｆ（０）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＝２，故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和周期性．根据题目条件知函数ｆ（ｘ）为奇函数且关于点（１，０）对称．具有两种对称性的函数可推出周期性，对于小题，可用二级结论 一轴一心差４倍 推出周期为４ˑ｜０－１｜＝４，把求和ð５０ｋ＝１ｆ（１）转化为求一个周期内的函数值的和，简便计算．对于综合考查对称性㊁奇偶性和周期性的题目，熟悉一些常用的二级结论，可提高解题效率．变式５．（１）（２０１７年高考数学新课标Ⅰ卷理科㊃第５题）函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，且为奇函数．若ｆ（１）＝－１，则满足－１ɤｆ（ｘ－２）ɤ１的ｘ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．［－２，２］Ｂ．［－１，１］Ｃ．［０，４］Ｄ．［１，３］解析：因为ｆ（ｘ）为奇函数且在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，要使－１ɤｆ（ｘ）ɤ１成立，则ｘ满足－１ɤｘɤ１，所以由－１ɤｘ－２ɤ１得１ɤｘɤ３，故选：Ｄ．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则正确的是（㊀㊀）Ａ．ｆ（２０２２）＝１Ｂ．当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］Ｃ．ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数Ｄ．方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解解析：因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），所以函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称；则ｆ（－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），又ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），所以ｆ（２＋ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），则ｆ（４＋ｘ）＝－ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ＋８）＝－ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），则函数ｆ（ｘ）的周期为８，因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），令ｘ＝０，则ｆ（２）＝ｆ（０），因为当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则ｆ（０）＝１，ｆ（２０２２）＝ｆ（２５２ˑ８＋６）＝ｆ（６）＝－ｆ（２）＝－１，故Ａ错误；当４ɤｘɤ５时，０ɤｘ－４ɤ１，有０ɤｆ（ｘ－４）ɤ１，则ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ－４）ɪ［－１，０］，当５ɤｘɤ６时，－４ɤ２－ｘɤ－３，０ɤ（２－ｘ）＋４ɤ１，有０ɤｆ［（２－ｘ）＋４］ɤ１，ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ）＝－ｆ［（２－ｘ）＋４］ɪ［－１，０］，当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］，故Ｂ正确；ｆ（－ｘ＋３）＝－ｆ（－ｘ－１）＝－ｆ（２－（－ｘ－１））＝－ｆ（ｘ＋３），所以ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数，故Ｃ正确．由函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称以及关于（－１，０）对称，且周期为８，画出函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像，在同一坐标平面内也作出函数ｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）的图像如下：因为ｌｇ（８＋１）＜１，ｌｇ（１０＋１）＞１，可以看出两个函数的图像有５个交点，所以方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解，故Ｄ正确．故选：ＢＣＤ．高考主要以二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁幂函数以及三角函数等基本初等函数作为载体来考查函数的性质，主要有比较大小㊁求值㊁判断函数图像㊁解不等式㊁求参数等问题类型，题目以选择题和填空题为主，难度以偏易㊁中等为主．熟悉函数的常见性质，以及一些二级结论，可以提高解题的效率．。

函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

择决定命运，环境造就人生！
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。

本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。

在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。

同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

高一数学函数知识点一、一次函数定义与定义式：自变量某和因变量y有如下关系：y=k某+b则此时称y是某的一次函数。

特别地，当b=0时，y是某的正比例函数。

即：y=k某(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的某的变化值成正比例，比值为k即：y=k某+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当某=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与某轴和y 轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(某，y)，都满足等式：y=k某+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与某轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随某的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随某的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(某1，y1);B(某2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=k某+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(某，y)，都满足等式y=k某+b。

所以可以列出2个方程：y1=k某1+b……①和y2=k某2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离是速度v的一次函数。

=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

高一数学的函数知识点归纳在高一的数学学习中，函数是一个非常重要的知识点。

函数的概念在数学中具有广泛的应用，并且在之后的学习中也会经常用到。

因此，熟练掌握函数的相关知识对于学习数学是非常重要的。

一、函数的定义和表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数可以用多种不同的方式来表示，包括文字描述、图像、表格和公式等。

函数的定义通常形式为“y=f(x)”，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域之间的关系。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是函数输出的所有可能值的集合。

2. 单调性：函数的单调性指函数在自变量增大的过程中是否单调递增或单调递减。

如果函数在整个定义域上都是单调递增，则称为严格递增函数；如果函数在整个定义域上都是单调递减，则称为严格递减函数。

3. 奇偶性：函数的奇偶性指函数图像是否对称于y轴。

如果对于任意x∈定义域，f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x∈定义域，f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。

4. 周期性：函数的周期性指函数图像是否在某个区间内重复出现。

如果存在一个正数T，对于任意正整数n，有f(x+Tn)=f(x)，则函数具有周期T。

三、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是函数图像为一条直线的函数，表示为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。

线性函数的图像是直线，且斜率为k，截距为b。

2. 幂函数：幂函数是形如f(x)=x^a的函数，其中a为常数。

幂函数的图像形状与a的正负和大小有关，当a为正数时，图像从左上方逼近x轴，当a为负数时，图像从右上方逼近x轴。

3. 指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正常数且不等于1。

指数函数的图像具有一定的特点，包括过点(0,1)、严格递增或递减等。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，表示为f(x)=loga(x)，其中a为正常数且不等于1。

高一数学《函数的性质》知识点总览一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系，并具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所有可能输出的取值范围。

2. 单调性：函数在定义域上的单调性分为增函数和减函数，根据函数的导数或几何意义可以判断函数的单调性。

3. 奇偶性：函数的奇偶性由函数的对称性决定，若函数满足f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

4. 周期性：函数如果存在正数T，对于定义域上的每个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性，T称为函数的周期。

二、函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示。

通过对函数图像的观察，可以获得以下性质：1. 零点：函数的零点是函数与x轴的交点，即满足f(x) = 0的x值。

2. 最值：函数的最大值和最小值分别是函数曲线上最高点和最低点的纵坐标值。

3. 对称轴：函数图像的对称轴是与函数曲线关于该轴对称的一条直线。

4. 渐近线：函数图像的渐近线是与函数曲线无限靠近而没有交点的直线。

三、函数的运算函数之间可以进行加、减、乘、除等运算，并且还可以进行复合运算。

常见的函数运算有：1. 两个函数的和差：设有函数f(x)和g(x)，则它们的和函数为h(x) = f(x) + g(x)，差函数为k(x) = f(x) - g(x)。

2. 函数与常数的乘积：设有函数f(x)和常数a，则它们的乘积函数为p(x) = a · f(x)。

3. 函数的乘积：设有函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数为q(x) = f(x) · g(x)。

4. 函数的商：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则它们的商函数为r(x) = f(x) / g(x)。

高一数学函数知识点归纳总结一、函数的基本概念函数的定义：对于两个非空数集A和B，如果存在某种对应关系f，使得A中的每一个元素x都能在B中找到唯一的元素y与之对应，则称f是从A到B的函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

函数的定义域：函数y=f(x)中，自变量x的取值范围称为函数的定义域。

函数的值域：函数y=f(x)在定义域内所有函数值的集合称为函数的值域。

二、函数的性质单调性：如果对于定义域内的任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减。

奇偶性：如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于定义域内的任意x（且x≠0），都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。

三、基本初等函数幂函数：形如y=x^a（a为实数）的函数称为幂函数。

指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。

对数函数：如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN。

函数y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做对数函数。

三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与角度和弧度有关。

四、函数的应用函数模型的应用：通过建立函数模型来解决实际问题，如最优化问题、增长率问题等。

函数图像的应用：通过观察和分析函数的图像来理解函数的性质和行为，从而解决相关问题。

以上是高一数学函数的主要知识点总结。

在学习过程中，应注重理解和掌握这些基本概念和性质，并通过练习和应用来加深对知识点的理解和记忆。

高一数学必修一知识点函数的性质函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数.区间d称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上所的任意两个自变量的值x1，x2，当x1注意：类型函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个函数技术指标是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，攀升减函数的图象从左到右是上升的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性并不相同，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间是其定义域的子区间 ,不能把性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的三维空间一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的三维空间一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征非负值的图象关于y轴对称；奇函数的图形关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的有理数，并判断可逆其是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于圆心对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域关于原点对称，若不对称则可被视为函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象定性 . 9、函数的解析变量（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10．函数（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值2 利用图画求函数的（小）值3 利用函数单调评断性的来判断函数的（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上才单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上乏味递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；</x2；/x2></x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数.区间d称为y=f(x)的单调增区间.。

高一数学函数重点知识点归纳总结三篇高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数，就需要一份准确的函数知识点归纳。

高一函数知识点归纳总结1函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。

f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

高一函数归纳总结2一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：\2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

练习
方法技巧：
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化
为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何
直观求解相关问题.
练习
变5.已知二次函数() = − 2 + + 2， ∈ .
D． − 2
).
练习
方法技巧：
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，
即＝1，＝1，＝所分区域.根据＜0，0＜＜1，＝1，＞1的取值确定位
置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较.
1

(4)方程思想：已知关于()与( )或(−)等的表达式，可根据已知条件再构造
出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出().
练习
变1.(1)已知()是一次函数，且满足2( + 3) − ( − 2) = 2 + 21，求()的解
析式；
(2)已知函数()满足2() + (−) = 3 + 2，求()的解析式；
(1)若()为偶函数，求的值．
(2)若()在[−1,2]上最大值为4，求．
答案：(1)0；(2) = −3或 = 2 2.
练习
题型六：幂函数
例6.若幂函数() = (2 − − 5) 在(0, +∞)单调递减，则 = (
A．3
答案：.
B．3 ， − 2
C． − 3 ，2
为最大值
为最小值
知识梳理
7.函数的奇偶性：

§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域： （1）()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。

高一数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 函数定义：函数是从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射，通常表示为y=f(x)。

2. 定义域：能够输入到函数中的所有可能的x值的集合。

3. 值域：函数输出的所有可能的y值的集合。

4. 函数图像：函数在坐标系中的图形表示。

二、函数的表示法1. 公式法：用数学公式表示函数关系，如y=2x+3。

2. 表格法：用表格列出x与y的对应值。

3. 图像法：通过函数图像直观表示函数关系。

三、函数的性质1. 单调性：函数在定义域内随着x的增加，y值单调递增或递减。

2. 奇偶性：函数f(x)如果满足f(-x)=-f(x)称为奇函数；如果满足f(-x)=f(x)称为偶函数。

3. 周期性：函数如果存在一个非零常数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性。

4. 有界性：函数的值域在某个区间内有限，称函数在该区间内有界。

四、基本初等函数1. 线性函数：y=kx+b（k≠0），其中k为斜率，b为截距。

2. 二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0），顶点形式为y=a(x-h)^2+k。

3. 幂函数：y=x^n，其中n为实数。

4. 指数函数：y=a^x（a>0，a≠1）。

5. 对数函数：y=log_a(x)（a>0，a≠1）。

6. 三角函数：正弦函数y=sin(x)，余弦函数y=cos(x)，正切函数y=tan(x)等。

五、函数的运算1. 函数的和差：(f±g)(x)=f(x)±g(x)。

2. 函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)g(x)。

3. 函数的商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)（g(x)≠0）。

六、复合函数1. 复合函数定义：如果有两个函数f(x)和g(x)，那么(f∘g)(x)=f(g(x))。

2. 复合函数的运算法则：(f∘g)(x)=f(g(x))，其中g(x)≠0。

七、反函数1. 反函数定义：如果函数y=f(x)在区间I上是单调的，则存在一个函数x=f^(-1)(y)，使得f(f^(-1)(y))=y。

高一数学函数知识点归纳-高一数学函数的性质高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f和它对应，那么就称f：Ararr;B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f，isin;A，其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f∣isin;A }叫做函数的值域。

2、函数定义域的解题思路：⑴ 若处于分母位置，则分母不能为0。

⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。

⑶ 对数式的真数必须大于0。

⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸ 指数为0时，底数不得为0。

⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的值组成的集合。

⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵ 定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(-a)2+b 的形式。

⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换⑴ 平移变换：在轴上的变换在上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵ 伸缩变换：在前加上系数。

⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：Ararr;B为从集合A到集合B的映射。

⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7、分段函数⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性 B简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明②抽象函数的奇偶性周期性 B简单函数周期性的判断和证明①复合函数的周期性判断与证明②抽象函数的周期性一知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ,当12x x <时都有()()12f x f x <,则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >,则()f x 在D 内时减函数．知识框架高考要求例题精讲函数的基本性质板块一：函数的单调性②设函数()y f x =在某区间D 内可导,若()0f x '>,则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<,则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈,那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增递减且1212()()f x f x x x <⇔<1x 2,x D ∈； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．1x 2,x D ∈． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等二主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ,2x 是该区间内的任意两个值,且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -或21()()f x f x -的符号,若符号不确定,可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增减函数,那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增减函数；⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数,记作()y f u =,u 是x 的函数,记为()u g x =,且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空,则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =,这时y 叫做x 的复合函数,其中u 叫做中间变量,()u f u =叫做外层函数,()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内,增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数⑽函数(0,0)by ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②三典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数【例2】【例3】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例4】根据函数单调性的定义,证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例5】证明函数()f x =【例6】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例7】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+0x >．【例8】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例9】作出函数2||y x x =-的图象,并结合图象写出它的单调区间．【例10】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例11】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数,在[1,)+∞上是增函数,则(1)f =______【例12】讨论函数y =【例13】求函数212y x x =++的单调区间．【例14】设1n >,()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数,且对任何,x y A ∈,有()()()()f x f x f y f y =．那么, A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例15】若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，,则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为 ．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例16】函数21x y x =-x ∈R ,1x ≠的递增区间是A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤或x【例17】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--0a >且1a ≠是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是 ． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例18】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且当*n ∈N 时,*()f n ∈N ,[()]3f f n n =,则(1)(2)f f += ．【例19】求函数1()f x x x=+,0x >的最小值．点评 由对函数1(),0f x x x x=+>的分析,可以很快得到函数2(),0a f x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数,在0a x -<<上 为减函数,在0x a <<上为减函数,在x a >上为 增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ,在0x <上有最大值为2a -．【例20】求函数y =【例21】求函数y =【例22】已知()f x 是定义在+R 上的增函数,且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =,()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =,解不等式1()()23f x f x -≤-．【例23】已知函数()f x 对任意实数x ,y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时,()0f x >,试判断()f x 的单调性,并说明理由．【例24】已知给定函数()f x 对于任意正数x ,y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ,且()f x ≠0,当1x >时,()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由．【例25】设a 是实数,2()()21xf x a x =-∈+R , ⑴试证明对于任意a ,()f x 为增函数；⑵试确定a 值,使()f x 为奇函数．一 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数；板块二：函数的奇偶性()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数． 4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =．二主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称,则为非奇非偶函数；若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇⨯奇=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±-．三典例分析：【例26】判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【例27】判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．⑴ ()(f x x =- ⑵ 11()()()12x f x F x a =+-,其中0a >且1a ≠,()F x 为奇函数．【例29】判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x =；⑶ 2()5||f x x x =+．【例30】已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++,当,m n 为何值时,()f x 是奇函数 【例31】【例32】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数,(3)2f =,且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=,则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+,则函数()y f x =是___________指明函数的奇偶性【例33】设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,那么当(,0)x ∈-∞时,()f x =_________．【例34】已知函数()f x 为R 上的奇函数,且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例35】()y f x =图象关于1x =对称,当1x ≤时,2()1f x x =+,求当1x >时()f x 的表达式．【例36】设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根,那么这两根之和等于_____．【例37】已知函数()f x 是偶函数,而且在(0,)+∞上是减函数,判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【例38】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+,求()f x 、()g x ．【例39】设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M 与m 满足 ．A ．2M m +=B ．4M m +=C ．2M m -=D ．4M m -=【例40】已知()ln(4f x ax c x =+++a 、b 、c 为实数,且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是 ． A ．5-B ．3-C ．3D ．随a 、b 、c 而变【例41】已知()f x =)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为 ．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【例42】函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域,对定义域中任何x ,有()()0f x f x +-=,()()1g x g x -=,则2()()()()1f x F x f xg x =+-是A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【例43】已知函数()f x ,当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=,试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <,且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性,并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．【例44】已知(),()f x g x 都是奇函数,()0f x >的解集是2(,)a b ,()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22ba >,那么求()()0f x g x >的解集．【例45】已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-x ≠0是偶函数,且()f x 不恒为0,判断()f x 的奇偶性．【例46】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+,则求()f x 与()g x 的表达式．【例47】函数()f x =为奇函数,则a 的取值范围是 ．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【例48】已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>,230x x +>,310x x +>．则123()()()f x f x f x ++ ．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【例49】函数()f x 在R 上有定义,且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．【例50】已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数,且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =,解不等式41(log )0f x -<≤,【例51】设函数()y f x =x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ,恒有1212()()()f x x f x f x =+,⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0,)+∞上的增函数,求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．一 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT ,0k Z k ∈≠也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x 其中a 为常数, ①()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；板块三：函数的周期性③()()1f x a f x +=±,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-0a >,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =,若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；二主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集． 2．解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．三典例分析：【例52】已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形,且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,(1)1f -=,(0)2f =-．那么,(1)(2)(2006)f f f +++的值是A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例53】定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=,且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称；③函数()f x 的图象关于y 轴对称,其中,真命题的个数是 ． A ．3B ．2C ．1D ．0【例54】已知()f x 为定义在区间(-∞,)+∞上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用k I 表示区间(21k -,21]k +,已知0x I ∈时,2()f x x =． ⑴求()f x 在k I 上的解析式；⑵对自然数k ,求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}．【例55】已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ,都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅,且(0)0f ≠．⑴求证：()f x 为偶函数；⑵若存在正数m 使得()0f m =,求满足()()f x T f x +=的1个T 值T ≠0．【例56】设()f x 是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,(1)0f a =>．⑴求1()2f 及1()4f ；⑵证明()f x 是周期函数；⑶记1(2)2n a f n n=+,求lim(ln )n n a →∞．【例57】函数()g x f xf=；⑶()(1)=-是奇函f x是偶函数；⑵(0)999f x在R上有意义,且满足：⑴()数,求(2008)f．【例58】()++≥,设f x f xf x f xf x是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有(3)()3++≤和(2)()2 =-,g x f x x()()⑴求证()g x是周期函数；⑵如果f998=1002,求f2000的值．。

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函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
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例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.


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函数最大值概念：
；/naotanyf 脑瘫如何进行预防 脑瘫预防最主要阶段 脑瘫要怎么预防
；
上帝便把他派到人世，上帝很想听一下人们对他的评价。 结果出人意料，十全十美的人同样遭受到一些人莫明其妙地攻击和诋毁。这是怎么回事？上帝便打发天使去调查原因。 天使很快就回来了，向上帝并报说：“他的确一点过错、一点瑕疵也没有。某些家伙嫉妒得发狂，他 们造谣、诬陷、谩骂、攻击，使用了各种卑鄙的手段。并借此提高自己的知名度。还有……” “别说了。”上帝生气地一挥手，制止天使再讲下去。 “上帝，”天使忽然又嗫嚅着说，“就连您也莫明其妙地遭到一些人的诅咒呢。” “是吗？”

第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质一、函数的单调性 1．函数单调性的定义一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有___________，那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有___________，那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．对函数单调性的理解（1）定义中的x 1，x 2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x 1<x 2．学科网（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若()f x 是增函数，则()()1212f x f x x x ⇔<<；若()f x 是减函数，则()()1212f x f x x x ⇔<>．2．函数的单调区间如果函数y =f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f （x ）在这一区间具有（严格的）___________，区间D 叫做y =f （x ）的___________．对函数单调区间的理解（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．（4）并非所有的函数都具有单调性．如函数()1,0,x x f x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数就不具有单调性．常见函数的单调性函数类型单调性一次函数()0y kx b k =+≠0k > 在R 上单调递增 0k <在R 上单调递减反比例函数(0)ky k x=≠0k >单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞ 0k <单调增区间是(,0)-∞和(0,)+∞二次函数2()0y ax bx c a +≠+=0a > 单调减区间是(,)2b a -∞-，单调增区间是[,)2ba-+∞ 0a < 单调减区间是[,)2b a -+∞，单调增区间是(,)2b a-∞-二、函数的最大（小）值 1．最大值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有___________； （2）存在0x I ∈，使得___________． 那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值． 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标． 2．最小值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有___________； （2）存在0x I ∈，使得___________． 那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．函数的最值与单调性的关系如果函数()y f x =在区间(],a b 上是增函数，在区间[),b c 上是减函数，则函数()y f x =，,()x a c ∈在x b =处有最大值()f b ．如果函数()y f x =在区间(],a b 上是减函数，在区间[),b c 上是增函数，则函数()y f x =，,()x a c ∈在x b =处有最小值()f b ．如果函数()y f x =在区间[],a b 上是增（减）函数，则在区间[],a b 的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值． 三、函数的奇偶性一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有___________，那么函数f （x ）就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有___________，那么函数f （x ）就叫做奇函数．函数具有奇偶性的条件（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数； ②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定()f x -是否等于()f x ±．（2）分段函数的奇偶性应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =．四、奇函数、偶函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．性质法判断函数的奇偶性()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x()g x()()f x g x +()()f x g x -()()f x g x(())f g x偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数K 知识参考答案：一、1．()()12f x f x < ()()12f x f x > 2．单调性 单调区间二、1．（1）()f x M ≤ （2）0()f x M = 2．（1）()f x m ≥ （2）0()f x m = 三、()()f x f x -= ()()f x f x -=- 四、坐标原点 坐标原点 y 轴 y 轴K—重点1．函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义；2．函数的奇偶性及其判断方法；3．奇函数、偶函数的图象特征；K—难点1．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值；2．函数奇偶性的判断方法；K—易错1．写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错；2．需注意单调区间与在区间上单调的区别；3．在判断函数的奇偶性时，不仅要关注定义域是否关于原点对称，而且要注意函数的奇偶性是针对定义域的任意一个x而言的.另外，不要忽略奇函数若在原点处有定义，则(0)0f ．1．函数单调性的判断或证明（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．（3）函数单调性的常用结论：①若()(),f x g x 均为区间A 上的增（减）函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增（减）函数； ②若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； ③函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； ④函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =的单调性相同．【例1】证明：函数21()f x x x=-在区间（0，＋∞）上是增函数． 【答案】证明详见解析．【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：()f x 是增函数⇔对任意12x x <，都有12()()f x f x <，或1212()()0f x f x x x ->-，或1212(()())()0f x f x x x -->；()f x 是减函数⇔对任意12x x <，都有12()()f x f x >，或1212()()0f x f x x x -<-，或1212(()())()0f x f x x x --<．2．单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较．（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．【例2】若函数()223()1f x ax a x a -+=-在[1，＋∞）上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】0≤a ≤1【名师点睛】本题中()223()1f x ax a x a -+=-不一定是二次函数，所以要对a 进行讨论．另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用． 3．求函数的最大（小）值求函数最大（小）值的常用方法有：（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值； （2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值； （4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法． 注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．【例3】已知函数()223f x x x =--，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f （x ）的最值． 【答案】答案详见解析．【解析】易知函数()223f x x x =--的图象的对称轴为直线x ＝1，（1）当1≥t ＋2，即t ≤－1时，f （x ）max ＝f （t ）＝t 2－2t －3，f （x ）min ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3． （2）当22t t ++≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f （x ）max ＝f （t ）＝t 2－2t －3，f （x ）min ＝f （1）＝－4． （3）当t ≤1<22t t ++，即0<t ≤1时，f （x ）max ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3，f （x ）min ＝f （1）＝－4． （4）当1<t ，即t >1时，f （x ）max ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3，f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－2t －3．设函数f （x ）的最大值为g （t ），最小值为φ（t ），则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩ ，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩． 【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值； 二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合． 4．判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论： 如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数； 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 【例4】下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数．对于B ，2()1f x x x =-2()1f x x x -=--对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称．当0x >时，2211()()1(1)()22f x x x f x -=---=-+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-．综上可知，函数()f x 是奇函数．对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数．【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数． 5．奇偶函数图象对称性的应用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数另一部分的图象，进而研究函数的性质．【例5】设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-．若当[0,5]x ∈时，()f x 的图象如图所示，则不等式()0f x <的解集是A ．(2,0)(2,5)-B ．(5,2)(2,5)--C ．[2,0](2,5]-D ．(2,0)(2,5]-【答案】D【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制．6．函数奇偶性的应用（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．【例6】设偶函数()f x 的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时()f x 是增函数，则(2)f -，(π)f ，(3)f -的大小关系是A ．(π)f >(3)f ->(2)f -B ．(π)f >(2)f ->(3)f -C ．(π)f <(3)f -<(2)f -D ．(π)f <(2)f -<(3)f -【答案】A【解析】由函数为偶函数得()()()()22,33f f f f -=-=，当x [0,)∈+∞时()f x 是增函数，所以(π)f >()()32f f >，从而(π)f >(3)f ->(2)f -．【名师点睛】由于偶函数在y 轴两侧的单调性相反，故不可直接由π>23->-得出(π)(2)(3)f f f >->-．7．对单调区间和在区间上单调两个概念的理解【例7】已知二次函数2()2(1)6f x x a x =--+在区间(,5]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围． 【错解】易知函数2()2(1)6f x x a x =--+的图象的对称轴为直线1x a =-，由题意知()f x 在区间(,5]-∞上单调递减，所以15a -=，解得6a =．【错因分析】错解中把在区间上单调误认为是单调区间，若把本题改为二次函数2()2(1)6f x x a x =--+的单调递减区间是(,5]-∞，则错解中的解法是正确的．【正解】易知函数2()2(1)6f x x a x =--+的图象的对称轴为直线1x a =-，由题意知()f x 在区间(,5]-∞上单调递减，所以15a -≥，解得6a ≥．【名师点睛】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ．而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间，一定要区分开． 8．判断函数奇偶性时，注意定义域【例8】判断函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-的奇偶性．【错解】因为4242()()3()3()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-是偶函数． 【错因分析】判断函数的奇偶性时，需先判断函数的定义域是否关于原点对称．【正解】函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-的定义域为(2,2]-，不关于原点对称，故函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-既不是奇函数又不是偶函数．【名师点睛】由函数奇偶性的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的．1．集合{x |x ≥2}表示成区间是A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（–∞，2）D ．（–∞，2]2．集合{x |x >0且x ≠2}用区间表示出来A ．（0，2）B ．（0，+∞）C ．（0，2）∪（2，+∞）D ．（2，+∞）3．函数f （x ）=（x –1）2的单调递增区间是A ．[0，+∞）B ．[1，+∞）C ．（–∞，0]D ．（–∞，1]4．已知函数f （x ）=–1+11x -（x ≠1），则f （x ） A ．在（–1，+∞）上是增函数 B ．在（1，+∞）上是增函数 C ．在（–1，+∞）上是减函数D ．在（1，+∞）上是减函数5．函数y =f （x ），x ∈[–4，4]的图象如图所示，则函数f （x ）的所有单调递减区间为A ．[–4，–2]B ．[1，4]C ．[–4，–2]和[1，4]D ．[–4，–2]∪[1，4]6．函数g （x ）=|x |的单调递增区间是A ．[0，+∞）B ．（–∞，0]C ．（–∞，–2]D ．[–2，+∞）7．已知f （x ）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，8．函数f （x ）=–|x –2|的单调递减区间为A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）9．函数254y x x =-+的单调递增区间是A ．52⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．542⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．[4，+∞）D ．[)5142⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，，10．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1）=–2，那么f （–1）+f （0）=A ．–2B ．0C ．1D ．211．函数f （x ）=1x–x 的图象关于 A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y =x 对称12．函数f （x ）=x 3+x 的图象关于A ．y 轴对称B ．直线y =–x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y =x 对称13．用区间表示数集{x |2<x ≤4}=___________．14．奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，则f （1）=___________． 15．y =f （x ）为奇函数，当x >0时f （x ）=x （1–x ），则当x <0时，f （x ）=___________．16．函数f（x）=x+2x（x>0）的单调减区间是A．（2，+∞）B．（0，2）C+∞）D．（017．函数f（x）=x+bx（b>0）的单调减区间为A．（）B．（–∞，，+∞）C．（–∞，）D．（，0），（0）18．函数f（x）=x+3|x–1|的单调递增区间是A．（–∞，+∞）B．（1，+∞）C．（–∞，1）D．（0，+∞）19．函数y=21xx-+，x∈（m，n]最小值为0，则m的取值范围是A．（1，2）B．（–1，2）.C．[1，2）D．[–1，2）20．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A．13-B．13C．12-D．1221．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2–2x，则当x<0时，f（x）的解析式是A．f（x）=–x（x+2）B．f（x）=x（x–2）C．f（x）=–x（x–2）D．f（x）=x（x+2）22．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（–2），则a的取值范围是A．a≤–2 B．a≥2C．a≤–2或a≥2D．–2≤a≤223．已知一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，则a+b=A．–1 B．1 C．0 D．224．已知函数f（x）=–x|x|+2x，则下列结论正确的是A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（–∞，–1）C ．f （x ）是奇函数，递增区间是（–∞，–1）D ．f （x ）是奇函数，递增区间是（–1，1） 25．奇函数y =f （x ）的局部图象如图所示，则A ．f （2）>0>f （4）B ．f （2）<0<f （4）C ．f （2）>f （4）>0D ．f （2）<f （4）<026．已知函数f （x ）=x 3–3x ，求函数f （x ）在[–3，32]上的最大值和最小值．27．（2017•浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关28．（2017•新课标全国Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]29．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（–∞，0）时，f （x ）=2x 3+x 2，则f（2）=__________． 30．（2016•北京）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B D C A C B C D A C 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 DDBDBADADABD1．【答案】B【解析】集合{x |x ≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B ． 2．【答案】C【解析】集合{x |x >0且x ≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C ．5．【答案】C【解析】由如图可得，f （x ）在[–4，–2]递减，在[–2，1]递增，在[1，4]递减，可得f （x ）的减区间为 [–4，–2]，[1，4]．故选C ．6．【答案】A【解析】x ≥0，时，g （x ）=x ，x <0时，g （x ）=–x ，故函数在[0，+∞）递增，故选A ． 7．【答案】C【解析】∵f （x ）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为0≤2x –1<13，即12≤x <23，即不等式的解集为1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选C ． 8．【答案】B【解析】∵y =|x –2|=2222x x x x -≥⎧⎨-+<⎩，，，∴函数y =|x –2|的单调递减区间是（–∞，2]，∴f （x ）=–|x –2|的单调递减区间是[2，+∞），故选B．11．【答案】A【解析】函数f（x）=1x–x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，f（–x）=–1x+x=–f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称．故选A．12．【答案】C【解析】∵f（–x）=–x3–x=–f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，故选C．13．【答案】（2，4]【解析】数集{x|2<x≤4}=（2，4]，故答案为：（2，4]．14．【答案】2【解析】奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，所以f（–1）=–2，所以f（1）=–f（–1）=2，故答案为：2．15．【答案】x2+x【解析】∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）=x（1–x），∴当x<0时，–x>0，f（x）=–f（–x）=–（–x （1+x））=x（1+x），即x<0时，f（x）=x（1+x），故答案为：x2+x．16．【答案】D【解析】函数f（x）=x+2x（x>0），根据对勾函数图象及性质可知，函数f（x）=x+2x（x>02，+∞）单调递增，函数f（x）在（02）单调递减．故选D．17．【答案】D【解析】函数f（x）=x+bx（b>0），的导数为f′（x）=1–2bx，由f′（x）<0，即为x2<b，解得b<x<0或0<x b，则f（x）的单调减区间为（b，0），（0b）．故选D．18．【答案】B【解析】函数f（x）=x+3|x–1|，当x≥1时，f（x）=x+3x–3=4x–3，可得f（x）在（1，+∞）递增；当x<1时，f（x）=x+3–3x=3–2x，可得f（x）在（–∞，1）递减．故选B．19．【答案】D【解析】函数y=2313111x xx x x---==+++–1，且在x∈（–1，+∞）时，函数y是单调递减函数，在x=2时，y取得最小值0；根据题意x∈（m，n]时y的最小值为0，∴m的取值范围是–1≤m<2．故选D．22．【答案】D【解析】由题意可得|a|≤2，∴–2≤a≤2，故选D．23．【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b 有一个等于1，一个等于–2，所以a+b=1+–2=–1．故选A．24．【答案】D【解析】由题意可得函数定义域为R，∵函数f（x）=–x|x|+2x，∴f（–x）=x|–x|–2x=–f（x），∴f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=–x2+2x=–（x–1）2+1，由二次函数可知，函数在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；由奇函数的性质可得函数在（–1，0）单调递增，在（–∞，–1）单调递减；综合可得函数的递增区间为（–1，1），故选D．25．【答案】A【解析】∵函数f（x）为奇函数，∴其图象关于原点对称．由题图可知，f（–4）>0>f（–2），即–f（4）>0> –f（2），∴f（2）>0>f（4）．故选A．26．【答案】最大值是2，最小值是–18【解析】f′（x）=3x2–3=3（x+1）（x–1），令f′（x）>0，解得：x>1或x<–1，令f′（x）<0，解得：–1<x<1，故f （x ）在[–3，–1）递增，在（–1，1）递减，在（1，32]递增， 而f （–3）=–27+9=–18，f （–1）=2，f （1）=–2，f （32）=–98，故函数的最大值是2，最小值是–18． 27．【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 28．【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]，选D. 29．【答案】12【解析】∵当x ∈（–∞，0）时，f （x ）=2x 3+x 2，∴f （–2）=–12，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （2）=12，故答案为：12． 30．【答案】2【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2．。