精品教案
第三十七课时数列求和
课前预习案
考纲要求
1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．
2．熟练掌握常考的倒序相加法，错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．
基础知识梳理
1 ．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和：
（1 ）等差数列的求和公式：S n__________ _____________
（ 2 ）等比数列的求和公式S n _______________
（切记：公比含字母时一定要讨论）_______________
2.倒序相加法：如果一个数列 a n，与首末两端等“距离”的两项的和等于同一常数，那么
求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的（阅读
课本 39 页回顾等差数列求和公式的推导过程）。
3. 错位相减法：数列a n b n，其中a n成等差数列，b n成等比数列，那么这个数列的前n
项和即可用此法来求（阅读课本49 页回顾等比数列的前n 项和推导过程）。
[ 深入探究 ] ：错位相减法步骤是怎样进行的？需要注意哪些问题？
4.分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，
则求和时可用分组转化法，分别求和。
5.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：
1 1 1
n(n k)
___________；n kn (2 n 1)(2n 1)
___________；
____________
若 { a n } 是等差数列，公差为
1 1
d 则
； a n 1a n
a n a n 1 ；
[ 究疑点 ] ：通过上述裂项方式思考①裂项相消法适合于哪一类数列求和？
②裂项相消法的前提是什么？③求和过程有哪些需要注意的问题？
预习自测
1 ．数列{ a n}的通项a n 4n 1 ， b n a1 a
2 a n ，则数列 { b n } 的前 n 项和为()
n
A ．n2 B．n(n 1) C．n(n 2) D ．n(2n 1)
2.已知数列a n满足3a n 1 a n 0, a2 4 ,则a n 的前 10 项和等于（）
1 3
A. 61 3 10
B. 1 3 10
C.3 1 310
D. 3 1+310
9
1
3 ．设S n为数列a n 的前 n 项和 , S n( 1) n a n , n N , 则
n
2
(1) a3 _____; (2) S1 S2 S100 ___________.
4.（课本题再现）设 f x
4x
f (1 x) 1 4x
求证：（ 1）f ( x)
2
（ 2 ）计算f 1 f 2 f 1000 的值 .
1001 1001 1001
课堂探究案
典型例题
考点 1 分组求和
【典例 1 】已知数列a n的通项公式a n 3n 2n 1，求数列a n的前n项和S n。
考点 2 裂项相消法
【典例 2 】已知等差数列{a n}满足：a3＝7 ，a5＋a7＝ 26 ， {a n}的前n项和为S n . (1)求 a n及 S n；
1
(2)令 b n＝(n∈N )，求数列 {b n}的前n项和T n . a n2－1
【变式 1 】求数列 {
1 } 的前 n 项和 .
n(n 2)
考点 3
错位相减法
n
【典例 3 】设数列 {a n }满足 a 1＋3 a 2 ＋3 2a 3＋ ＋ 3
n － 1
a n ＝
， n ∈ N *.
3
(1) 证明：数列 {a n } 为等比数列；
2n 1
(2) 设 b n
，求数列 {b n }的前 n 项和 S n
a n
【变式 2】设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 2n 2 ，{ b n } 为等比数列， a 1
b 1 , b 2 (a 2 a 1 ) b 1 .
（ 1 ）求数列
n } 和
n
的通项公式；
a
{ b }
（ 2 ）设 c n
a n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n .
b n
当堂检测
1 ．数列 { a n } 的通项公式是 a n
1 (n N )
n
n 1
(n N ) ，若它的前 n 项和为 10 ，则其项数 n
为 (
)
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
2 ．数列 1, ,
1 , , 1
,
(
)
1 1 1 3 1 的前 n 项和为
2 2
2 n
A ．
2n
2n
n 2
n
2n 1
B ．
1
C ．
1
D ．
1
n n
2n
课后拓展案
A 组全员必做题
1.已知数列 { a n }满足 a n +2 = － a n （ n ∈ N * ），且 a 1=1 ，a 2=2 ，则该数列前 2005 项的和为 (
)
