常系数线性微分方程组的解法

注：一般来说，①Q)不一定是exp At. 但由于 expA = O>(r)C,有 C = 0)T(O),
从而exp?V =①⑺①T(0). 例6试求例5的实基解矩阵.
解由于基解矩阵为
①。)=
故实基解矩阵为
(3+5/)?
exp At = e
ie(3+5i)t
5A_3
的根，W = 3 + 5z,22 =3-5，.
对特征根W =3 + 5尚特征向量〃二(〃"2),满足 £
(AE — A)"=
解得
对特征根久二3-5,的特征向量v = (vpv2)r满足
(4E — A)u —
解得 v — p ] , /3停Q.
例4试求矩阵A二 2 1 特征值和特征向量. -1 4
~ 3 5一 例5试求微分方程组x = x的基解矩阵.
_-5 3_
解 由例3知ຫໍສະໝຸດ Baidu=3 + 5/,人2 = 3-5，•是A的特征值,
]
/二，|_岭zj二|_1'，J 是对应于4,兀的特征向量;
由定理10,矩阵
中（r） = [e气,e外2】
=
e（3+5）
论（3+5以
渺3一5小
e(3-5i”
就是一个基解矩阵.
A=
舶勺基解矩阵
0 01
+
2 00
而后面两个矩阵是可交换的
-12
20
01
0 2 = 2E, 0 0
故
2 exp At = exp( 0
0
0 20 x{E + 0
0
一疽 0
1t
0
x 01
00 00
01 r) xexp( t)
[0 0 1 0 1尸l 0 t + 0 0 2! ____ • 1
01
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证明：当1 = 0时，由exp Ar定义知0(0) = E;
又因为 中 Q) = (expAr)
4 A2 A3 2
Am ml
=A + ——1 +——r + ••• +------1 +•••
1! 2! (m-1)!
=A(E + Ar + —-r2 +••- + —tm +•••)= A exp At = A ① Q), 2! ml
故中Q) = exp Ar是基解矩阵
例1如果A是一个对角矩阵
ax
a. A=
an
试求出X =弘的基解矩阵.
解由(5.34)得
exp Ar = E + 。2 •
. .
~ 2 ax 2
t
Cl
2
—+ 1!
)
.
2!
a .
2
.
n
H----+
g叩
---+ • . •=
e如
ml
例2 试求出兀= 2 1 02
解 因为
+ A* Alp
8 ||A *
由于T7 -_rr,而数项级数£—收敛•
r; 注2:级数
£
«Ak
A2
A,n
expAt = Y——产=E + Ar +—尸+... + —卢
+...
8 k!
2! ml
在t的任何有限区间上是一致收敛的.
由于"了
8 II 4 * 广*
而数项级数£--收敛
旧 k\
2
矩阵指数的性质
(2)基解矩阵的一种■ I —求— 法
对n阶矩阵A设 A = T~XJT
其中7为奇异矩阵,/为/o汕〃矩阵.
则 出=T~leJtT.
其中
A
. . .
Jt e =
Jn_
eht
. . .
注1:由eAtT~l =广泌知,厂1泌也是基解矩阵
二基解矩阵的计算公式忝
分 1基解矩阵与其特征值和特征商量的关系
方
一、矩阵指数以pAt的定义和求法 再
1 expAt的定义
定义设A为〃 x 〃常数矩阵，则定义矩阵指数
expA为下列矩阵级数的和
8 Ak
A2 Am
expA = y ——= E + A + —— + ・・・ + ——
+… (5.34) U k!
2! m\
其中E为单位矩阵,为4的m次幕,A°=E,O! = 1. 注1：矩阵级数(5.34)是收敛的.
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
§4.3常系数线性方程组
常系数线性方程组
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一阶常系数线性微分方程组：
£
dx
:二仙+也），
dt
这里系数矩阵A为〃 x 〃常数矩阵,f Q）在
a<t<b上连续的向量函数;
若/。）二。,则对应齐线性微分方程组为
—dx=AA—x, dt
(5.33)
本节主要讨论（5.33的基解矩阵的求法.
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性方程组
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证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
解特征方程为
一 4 — 2 —1 1
det(2.E — A) =
— X1 — 62 + 9 = 0
1 2-4
因此4 = 3为两重特征根，为求其对应的特征向
量考虑方程组
「1 _f|「q
(AE — A)c — 1 1
=0
二 1 一1 q 1
解得 c — a , or # 0, 1
是对应于特征根人=3的特征向量
结论 微分方程组(5.33)有非零解如)=e〃的充要条件 人是是矩阵4的特征根,c是与4对应的特征向量.
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
2基解矩阵的计算方法“ ■常系数线性微分方程组的解法
定(是互1理)常不0矩(10系相阵0=如x数同A[果线)具e，它A矩性有[t那v们阵微}n,么个e相A分如矩线应具方“阵性的有程，无特n组个••关征•线，的值性％特为无*征们“关]向如,的-量…o特o时，<，征r&<e(向不+量o必o
的一个基解尤矩=阵Ax., (5.33)