福建省仙游一中2014-2015学年度下学期期末考高二理科数学试题(含详细答案)

福建省南平市建瓯二中2014-2015学年高二（下）期中考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在答题卷上.1．（2015春•建瓯市校级期中）设集合M={0，1，2}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．ΦB．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由M与N，求出两集合的交集即可．解答：解：∵M={0，1，2}，N={﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（2015•漳州一模）复数i（1﹣i）等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：i（1﹣i）=i﹣i2=i+1．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则是解题的关键．3．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．4．（2015春•建瓯市校级期中）若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数值的符号进行判断即可．解答：解：∵sinα＜0，∴α是第三或第四象限或y轴的非正半轴，∵cosα＞0，∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴，综上α是第四象限的角．故选：D．点评：本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号关系是解决本题的关键．5．（2015春•建瓯市校级期中）已知向量=（3，2），=（x，4），且⊥，则x的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：通过向量的数量积为0，求解即可．解答：解：向量=（3，2），=（x，4），且⊥，可得3x+8=0，解得x=．故选：A．点评：本题考查向量的垂直，数量积的应用，考查计算能力．6．（2015春•建瓯市校级期中）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．命题：若x≠y，则sinx≠siny逆否命题D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用指数函数的值域判断A正误；反例判断B的正误；写出逆否命题，利用特例判断C的正误；利用充要条件判断D的正误；解答：解：对于A，因为指数函数的值域{y|y＞0}，所以∃x0∈R，e≤0，不正确，故A 不正确；对于B，∀x∈R，2x＞x2，例如x=3，2x=8，x2=9，显然2x＞x2，不正确故B不正确；对于C，命题：若x≠y，则sinx≠siny逆否命题：sinx=siny则x=y，显然不正确，利用x=0，y=π，由sinx=siny但是x≠y，故C不正确；对于D，a＞1，b＞1是一定有ab＞1，但是ab＞1，不一定有a＞1，b＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故D正确．故选：D．点评：本题考查命题的真假的判断，特称命题、全称命题以及四种命题的逆否关系，充要条件的应用，考查计算能力．7．（2015春•建瓯市校级期中）已知x∈（，1），a=log2x，b=2a，c=2a，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的单调性、不等式的性质、对数恒等式即可得出．解答：解：∵x∈（，1），∴a=log2x∈（﹣1，0），∴b=2a＜a＜0，而c=2a==x．∴b＜a＜c．故选：C．点评：本题考查了用对数的单调性、不等式的性质、对数恒等式，属于中档题．8．（2015春•建瓯市校级期中）为得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点： 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 把函数y=sin （2x ﹣）变为y=sin[2（x ﹣）]，然后由x 得变化得答案．解答： 解：∵y=sin （2x ﹣）=sin[2（x ﹣）]，∴要得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，只需将函数y=sin2x 的图象向右平移个长度单位．故选：B ．点评： 本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题．9．（2015春•建瓯市校级期中）设，是两个非零向量，且|+|=|﹣|，则与夹角的大小为（ ） A ． 120°B ． 90°C ． 60°D ．30°考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用．分析： 由已知得到以，两个非零向量为邻边的四边形是矩形，由此得到两个向量的夹角为90°．解答： 解：因为，是两个非零向量，且|+|=|﹣|， 所以以，为邻边的四边形是矩形，所以与夹角的大小为90°； 故选B点评： 本题考查了平面向量的加减法的几何意义的运用；关键是明确|+|=|﹣|的几何意义．10．（2015春•杭州期末）设M 是△ABC 边BC 上任意一点，N 为AM 上一点且AN=2NM ，若，则λ+μ=（ ）A ．B ．C ． 1D ．考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．解答：解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．点评：本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．11．（2012•泉州校级模拟）满足，它的前n 项和为S n，则满足S n＞1025的最小n值是（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：数列递推式；对数的运算性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由log2a n+1=log2a n+1可得递推式，判定为等比数列，又a1=1，求出前n项和公式，建立相应的不等式求解即可．解答：解：由log2a n+1=log2a n+1，移向log2a n+1﹣log2a n==1，可得，所以数列{an}为等比数列，公比q=2又a1=1，根据等比数列前n项和公式，S n＞1025即为＞1025 化简2n＞1026，n≥11最小n值是11．故选C．点评：本题考查等比数列的判定，前n项和的计算．简单的分式、指数不等式的求解．12．（2013•济宁一模）函数：①y=x•sinx②y=x•cosx③y=x•|cosx|④y=x•2x的图象（部）如图所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：数形结合．分析：依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．解答：解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选C．点评：本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．二、填空题：（本大题共4个小题，每题4分，共16分．把答案填在答题卷上.）13．（2014春•南京期末）已知tanα=2，求值tan（α+）=﹣3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正切公式计算求得结果．解答：解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．14．（2015春•建瓯市校级期中）若=（2，1），=（﹣3，﹣4），则向量在向量方向上的正射影是﹣2．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的两个向量的坐标，写出向量在向量方向上的射影的表示式，即的模长乘以两个向量夹角的余弦，变化一下不用求两个向量夹角的余弦，代入数据得到结果．解答：解：∵=（2，1），=（﹣3，﹣4），||cosθ=••=（2，1）•（﹣3，﹣4）=×（﹣10）=﹣2，则向量在向量方向上的正射影是﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查向量的投影，是一个基础题，这种题目单独考查的机会不大，遇到的机会也不多，希望引起注意．15．（2011•福建模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=sin，n∈N*，则S2011=0．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据a n=sin，n∈N*，则知a1=1，a2=0，a3=﹣1，a4=0，从第5项开始循环，据此即可求出S2011．解答：解：∵a n=sin，n∈N*，∴a1=1，a2=0，a3=﹣1，a4=0，从第5项开始循环，∴S2011=a1+a2+a3+a4+…+a2008+a2009+a2010+a2011=0，故答案为：0．点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是找出数列各项循环规律，本题比较简单．16．（2015春•建瓯市校级期中）关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R）有如下说法：①由f（x1）=f（x2）=0可得，x1﹣x2是π的整数倍；②表达式可改写为f（x）=4cos（2x﹣）；③函数的图象关于点（﹣，0）对称；④函数的图象关于直线x=﹣对称；⑤函数在区间[﹣，]上是减函数；⑥函数为奇函数．其中你认为所有正确的说法的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：由正弦函数的周期性判断①；由诱导公式判断②；由正弦函数的对称性判断③、④；由正弦函数的单调性和整体思想判断⑤；由奇函数的定义判断⑥．解答：解：①由f（x1）=f（x2）=0得，x1﹣x2是半个周期的整数倍也成立，又f（x）=4sin（2x+）的周期是π，①不正确；②因为2x+=2x+，所以f（x）=4sin（2x+）=4cos（2x﹣），②正确；③当x=﹣时，2x+=0，则f（﹣）=0，所以函数的图象关于点（﹣，0）对称，③正确；④由③可得函数的图象不关于直线x=﹣对称，④不正确；⑤由x∈[﹣，]得，2x+∈[﹣，]，则函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数，⑤不正确；⑥因为f（﹣x）=4sin（﹣2x+）≠﹣f（x），则f（x）=4sin（2x+）不是奇函数，⑥不正确，综上可得，正确的命题是：②③，故答案为：②③．点评：本题考查命题的真假性判断，以及正弦函数的对称性、周期性，诱导公式的应用，掌握正弦函数的图象性质是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（2015春•建瓯市校级期中）已知向量=（cosx，cosx），向量=（cosx，sinx）（x∈R）．设函数f（x）=•（I）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．考点：正弦函数的单调性；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由条件利用两个向量的数量积公式求得f（x）的解析式，再利用三角函数的恒等变换化简，可得f（）的值．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）单调递增区间．解答：解：（I）f（x）=•=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，故f（）=sinπ+=．（Ⅱ）对于f（x）=sin（2x+）+，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得，即，故f（x）单调递增区间为[，]（k∈Z）．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．18．（2012•西城区一模）在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…（3分）∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…（6分）∵A∈（0，π），∴A=；…（7分）（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…（9分）∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…（11分）∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…（13分）点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（2015春•建瓯市校级期中）设O为坐标原点，A（4，a），B（b，8），C（a，b），（Ⅰ）若四边形OABC是平行四边形，求∠AOC的大小；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设AB中点为D，OD与AC交于E，求向量．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）通过求出a，b；然后求解数量积．（Ⅱ）求出D的坐标，E的坐标．利用求解即可．解答：解：（Ⅰ）由题意：，由得…（3分）所以又所以…（7分）（Ⅱ）因为D为AB中点，所以D的坐标为（5，5），又由，故E的坐标为（5λ，5λ）…．（9分）所以，因为A，E，C三点共线，故…（11分）得﹣4×（5λ﹣2）=（5λ﹣6）×2，解得，从而…．．点评：本题考查向量共线的充要条件的应用，向量的数量积，考查计算能力．20．（2015春•建瓯市校级期中）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a2，a4﹣2，a6成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（n∈N+），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2，a4﹣2，a6成等比数列．∴，∴（1+3d﹣2）2=（1+d）（1+5d），化为d2﹣3d=0，又d≠0，解得d=3．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（II）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=+…+=1﹣=．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2015春•建瓯市校级期中）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上一个最高点的坐标为（，3），与之相邻的一个最低点的坐标为（，﹣1）．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[，π]，求函数f（x）的零点．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）依题意可得T，由周期公式可求ω，由解得A，B，把（，3）代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，结合范围|φ|＜，可求φ，从而得解．（Ⅱ）令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，又x∈[，π]，可得≤2x+，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的零点．解答：解：（Ⅰ）依题意可得：，所以T=π，于是，…（2分）由解得A=2，B=1，…把（，3）代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，可得sin（+φ）=1，所以+φ=2k，所以φ=2k，因为|φ|＜，所以φ=，综上所述，f（x）=2sin（2x+）+1 …（7分）（Ⅱ）令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，又x∈[，π]，∴≤2x+，∴2x+=，故x=，函数f（x）的零点是x=．…点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．22．（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f （x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．。

仙游一中2015-2016学年度上学期期末考高二年数学（理科）试卷命题人：张金标，审题人：林宝坚，满分150分，答卷时间2小时.第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．32()32f x ax x =++,若()41=-'f ,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2．若平面α与平面β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，与b ＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判定3．“a >1”是“11<a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝31，y ＝1B ．x ＝21，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝41- D ．x ＝1，y ＝－15.已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，双曲线的方程应是( )A.14-1222=y xB.112-422=y x C ．112-422=x y D ．14-1222=x y6.双曲线13-622=y x 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝ ( ) A.3 B ．2 C ．3 D ．6 7.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1， CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.35 B. 55 C.552 D.539．若曲线y ＝e 2x 的一条切线l 与直线x+2y-8=0垂直,则l 的方程为（ ）A ．y ＝21x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋110．已知命题p ：x 2-4x ＋3<0与q ：x 2-6x ＋8<0；若“p 且q ”是不等式2x 2-9x ＋a <0成立的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(9，＋∞)B ．{0}C ．(－∞，9]D ．(0,9]11．在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为32，则切点A 的坐标为（ ）A ．(1,1) B.（2，4） C.()2,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2112．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则b 的取值范围是（ ）A.()2--，∞ B.()1--，∞ C.()13-， D.()∞+，1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分。

2014——2015学年度下学期高二年级一调考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．-1B ．1C ．-ID ．i2、复数Z 点Z 对应，12,Z Z 为两个给定的复数，12Z Z ≠，则12Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（ ）A ．过12,Z Z 的直线B ．线段12,Z Z 的中垂线C ．双曲线的一支D ．以12,Z Z 为端点的圆3、设两个不同的直线,a b 的方向向量分别是12,e e ，平面α的法向量是n ，则下列推理①121//////e e b e n α⎫⎪⇒⎬⎪⎭；②12//////e n a b e n ⎫⎪⇒⎬⎪⎭；③1212////e e b b e eαα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊥⎭；④121////e e b e n α⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭； 其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④4、若24()b ax x+的展开式中3x 的系数为20，则22a b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、222(2cos tan )2xx dx ππ-+=⎰（ ） A．2π+ BC ．2πD．π 6、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80,3.43-=-==，定义{}[]x x x =-，求1232014{}{}{}{}2014201420142014++++=（ ） A ．2013 B ．20132C ．1007D ．20147、若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3[2,]2-B ．3(2,]2- C ．[3,2]- D ．(3,1)- 8、将2n 个正整数21,2,3,n 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方，记()f n 为n 阶幻方对角线的和，如图就是一个3阶幻方，可知()315f =，则()5f =（ ）A ．63B ．64C ．65D ．669、某班班会准备从含有甲乙丙的7名学生中选取4人发言，要求甲乙至少有一人参加，若甲乙同时参加市，丙不能参加，且甲乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）A ．484种B ．552种C ．560种D ．612种10、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小雷节目和1个相声类急忙的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16811、用a 代表红球，b 代表篮球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个求的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来，依次类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球，5个无区别的篮球，5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（ ） A ．234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++ B ．523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++ C ．523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++ D ．552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++ 12、已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）A()()34f ππ< B()()34f ππ-<- C．(0)()4f π< D ．(0)2()3f f π<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共/4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+110．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为．15．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．17．（13分）叙述并证明余弦定理．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数【解答】解：A中由幂函数的定义m﹣1=1，所以f（x）=x﹣1，在（0，+∞）上递减正确；B中函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点⇔方程ln2x+lnx=a有解，而y=ln2x+lnx∈故a∈，所以结论正确；C中取时成立，故正确；D中φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos（2x），是偶函数，故错误故选：D．4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx【解答】解：y=1﹣2sin2x=cos2x，向右平移个单位得y=cos2（x﹣）=cos（2x ﹣）=sin2x=2cosx•sinx的图象，就是函数y=f′（x）sinx的图象，故f′（x）=2cosx，∴f（x）=2sinx，故选：A．5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【解答】解：依题意，由得，又α是第二象限角，所以，，故选：C．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．7．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选：D．8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函数y+1=可以化为y=，函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，）上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（，3）上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4．故选：B．9．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+1【解答】解：设，，；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系，∵||=4，||=2，与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵（﹣）•（﹣）=﹣1，∴x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，|﹣|表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离；∵圆心到A的距离为，∴|﹣|的最大值为，故选：D．10．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意知，．在描述①中，由x＞1，将a=2及代入f（x）=af（x﹣1）中，得=，可知描述①正确．在描述②中，（1）若0＜a＜1，当0≤x≤1时，，其图象是一条折线段，当x＞1时，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，且每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的a倍，由知，0≤f（x）≤2．其图象如图1所示．（2）若a=0，则，此时亦有0≤f（x）≤2．（3）若﹣1＜a＜0，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，每条折线段在x轴上下交替出现，且从第二段起，每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x 轴距离的|a|倍，此时，﹣2＜f（x）≤2．其图象如图2所示．综合（1），（2），（3）知，f（x）的值域为（﹣2，2]，所以描述②错．在描述③中，取a=44，，则，而＜1，故描述③错．在描述④中，由图2知，当n=1时，f（x）的图象与直线y=2a1﹣1即y=2在[0，1]内的交点个数为1，即；当n=2时，f（x）的图象与直线y=2a2﹣1即y=2a在[0，2]内的交点个数为1，即；当n=3时，f（x）的图象与直线y=2a3﹣1即y=2a2在[0，3]内的交点个数为3，即；当n=4时，f（x）的图象与直线y=2a4﹣1即y=2a3在[0，4]内的交点个数为3，即；…由此猜想：当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．现用数学归纳法证明之．（1）由上可知，当n=1时，猜想成立．（2）假设n=k时，猜想成立，即函数f（x）的图象与直线y=2a k﹣1（k∈N*）在[0，k]内的交点个数为k﹣．则当n=k+1时，如图2所示，若k为奇数，则交点个数与n=k时情形相同；若k为偶数，则交点个数在n=k时的基础上增加2个，所以当n=k+1时的交点个数在n=k时的基础上增加了1+（﹣1）k个，从而交点个数为=，得，即当n=k+1时，猜想也成立．综合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正确．故选：C．二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=xe x．【解答】解：∵x＞0，∴﹣x＜0，又x＜0时，f（x）=xe﹣x，∴f（﹣x）=﹣xe x，又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=xe x．故答案为：xe x．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是y=﹣2和y=9x+16．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣3t），∵f′（x）=3x2﹣3，∴切线斜率为3t2﹣3=3（t2﹣1），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点M（﹣2，﹣2），故坐标M满足切线方程，∴﹣2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（﹣2﹣t），整理得2t3+6t2﹣8=（t+2）2（t﹣1）=0解得t=﹣2或t=1．当t=﹣2时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=9；当t=1时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=0；故切点为（﹣2，﹣2）时，切线斜率为9，则切线方程为y+2=9（x+2）；切点为（1，﹣2）时，切线斜率为0，则切线方程为y+2=0（x﹣1）；∴切线方程为9x﹣y+16=0或y=﹣2故答案为：9x﹣y+16=0或y=﹣2．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为1：3．【解答】解：由可得，∴==，∴=2∴P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R分别AB，BC的一个三等分点，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴S=S△ABC﹣△PQR（++）=S△ABC﹣（×+×+×）=S△ABC﹣（S△ABC+S△ABC+S△ABC）=S△ABC∴所求的面积比为1：3，故答案为：1：315．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为（2e+，e2+2）．【解答】解：函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），如图，不妨设a＜b＜c，由已知条件可知：0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2，∵﹣lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2﹣1nc∴bc=e2，∴a+b+c=b+，（1＜b＜e），由（b+）′=1﹣＜0，故（1，e）为减区间，∴2e+＜a+b+c＜e2+2，∴a+b+c的取值范围是：（2e+，e2+2）．故答案为：（2e+，e2+2）．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1∴A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a﹣1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．∴解可得0≤a≤317．（13分）叙述并证明余弦定理．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，解得．…．（6分）（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max =h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．…（14分）19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积S==sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，）．…（2分）体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．…（3分）（2）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）．∵θ∈（0，），∴θ=．…（5分）当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＜0，V（θ）为减函数．…（7分）∴当θ=时，体积V最大．…（8分）（3）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．侧∴表面积S=2（siθcosθ+sinθ）+20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．…（10分）设g（θ）=cosθ+2sin+1，θ∈（0，）．∵g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，即q=时，g（q）最大．…（12分）又由（2）知θ=时，sinθcosθ+sinθ取得最大值，∴θ=时，木梁的表面积S最大．…（13分）综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．…（14分）21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．【解答】解：设：）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（f（x），f（x））|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=所以：当且仅当：==即sinx=0，即x=kπ时，函数第21页（共21页）。