【全国省级联考】安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考(12月)理数(解析版)

安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理科）试卷解析一、选择题1．【解析】由已知，可得或，，又，故选C．2．【解析】，又，时，符合题意，故选A．3．【解析】由, ① 可得, ② ①-②得，又，故选D．4．5．【解析】该程序框图表示的是分段函数，由可得，，由几何概型概率公式可得，的概率为，故选B．6．【解析】由已知中的三视图，圆锥母线，圆锥的高，圆锥底面半径为，故原圆锥的体积为，故选D．7．【解析】，，故选B.8．【解析】直线，过上的定点，画出表示的可行域，如图，由图知过时，最大值为，所以，故选A．【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．9．10．【解析】设是圆的切线，是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为，①又，② ①-②得，可得满足上式，即过定点，故选B．11．解析】要使函数与的图象上存在关于轴对称的点，只需关于轴的对称的函数图象与的图象有交点即可，即设与相切时，切点为，则，又点与两点连线斜率，由图知的取值范围是时，函数图象与的图象有交点，即范围是时，函数与的图象上存在关于轴对称的点，故选B．【思路点睛】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想，导数以及直线斜率的灵活应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度.12．【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象与性、余弦定理以及两角差的正切公式，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．二、填空题13．【解析】，得，将代入上式，得在方向上的投影为，故答案为．14．15．【解析】因为总有圆所以，半椭球的体积等于，椭球的体积为，所以，该椭环体积是，故答案为.【方法点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积公式以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题根据“幂势既同，則积不容异. ”这一结论求得椭球体积的．16．【方法点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决数列与函数的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的函数问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知交汇点上命题的特点.本题是将函数的单调性、数列的周期性和特殊数列求和综合起来命题，也正体现了这种命题特点.．三、解答题17．【解析】试题分析：（1）由,可得，从而可得结果；（2）在中，由，得，又由正弦定理，解得，故的长为. 18．【解析】试题分析：（1）连交于可得是中点，再根据面可得进而根据中位线定理可得结果；（2）取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，用表示面的一个法向量，由可得结果.19．20．21．【解析】试题分析：（1）求出，分五种情讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于的两个等式，由其中一个等式求得的范围，再根据另一个等式利用导数求得的范围．22．23．。

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值 极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

“皖南八校”2017届高三第二次联考数 学（文科）2016.12考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷．．．．．．．．．．．．．．．．．．、．草稿纸．．．上作答无效．．．．．。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设()12z i i -=+，则z =（ ）A ．2B ．2C ．102 D ．52 2. 已知集合{}2|60A x x x =--≤，1|1B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．[]1,3 B ．[)[]2,01,3- C ．[)2,0- D ．[)[]3,01,2-3. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．194. 已知双曲线()222103x y a a -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则a 为（ ）A ．19B ．1 C.2 D ．45. 已知命题()2:2,,2xp x x ∀∈+∞>；命题q ：函数()sin 23cos 2f x x x =+的一条对称轴是712x π=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 6.函数11xy x+=-的图象大致为（ ）7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A ．-1 B ．0 C.7 D ．18.过抛物线24y x =的焦点且倾斜角为30︒的直线交抛物线于,A B 两点， 则AB =（ ）A ．4B ．8 C.16 D ．329. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ,,所对的边长，已知c b a ,,成等比数列，22a c ac bc -=+，6a =，则sin sin b cB C+=+（ ）A ．12B ．62 C. 43 D ．610. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ）A. B. C. D.A. B. C. D.第7题图11.设,x y 满足约束条件5180,20,0,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则26z x y =++的最小值是（ ）A ． 9B ．6 C. 15 D ．65512.如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，PAB ABCD ⊥平面平面，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．282127π B ．73π C.28π D ．283π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()1,2a =，(),4b k =，若//a b ，则k = ． 14.若函数()23sin cos cos f x x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是132，则m 的值是 ． 15.某几何体三视图如下，则该几何体体积是16.已知不等式22x x ax a -+≤+恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n nb S =，且2258a b =，5352S =.（1）.求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）.求证：1232n b b b +++<….第12题图第15题图18.（本小题满分12分）某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了10个学生的成绩，成绩的茎叶图如下：（1）.根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值x 及方差2s ；（2）.若规定成绩不低于90分的等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀的学生中，随机抽取2人，求这两个人恰好都来自甲班的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为菱形，2AP AB PC ===. （1）.求证：AC BP ⊥； （2）.若2BP =，6AC =，求四棱锥P ABCD -的体积.第19题图20.（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且4121-=⋅k k ，//AP OM ，//BP ON .（1）.求椭圆C 的方程； （2）.求ON OM 的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()221xf x e ax ax =---.（1）.当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程； （2）.当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.第20题图请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为21,221,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=. （1）.说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程； （2）.1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P 的极坐标2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()124f x x x =-++.（1）求()y f x =的最小值； （2）求不等式()61f x -≤的解集.试卷答案一、选择题1-5:CBCBB 6-10:ABCCA 11、12：BD 二、填空题13. 2 14. 5 15.43 16.3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭三、解答题 17.（Ⅰ）1n nb S =，2258a b =，5352S =，（Ⅱ）()122222++1324352n b b b n n +++=++⨯⨯⨯+ (1111111113113)1324351122122n n n n n n =-+-+-++-+-=--<-++++….18.解：（Ⅰ）()17281818385878790931018610x =+++++++++=，()()()()()()()()()()2222222222217286818681868386858687868786908693861018610s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦()119625259111164922554.810=+++++++++=. （Ⅱ）记甲班获优秀等次的三名学生分别为：123,,A A A ， 乙班获优秀等次的四名学生分别为：1234,,,B B B B .记随机抽取2人为事件A ，这两人恰好都来自甲班为事件B .事件A 所包含的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}12131112131423,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A B A B A A {}21,,A B{}{}{}{}{}{}{}{}{}222324313233341213,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B B B B B {}{}1423,,,,B B B B {}{}2434,,,B B B B 共21个，事件B 所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A 共3个， 所以()31217P B ==. 19.（Ⅰ）证明：设BP 的中点为O ，连接,AO CO ，AO BP ⊥∴，OC BP ⊥，又AO CO O =，,AO CO AOC ⊂平面，BP AOC ⊥∴平面，又AC AOC ⊂平面，BP AC ⊥∴.（Ⅱ）解：AOC ∆中，3AO =，3CO =，6AC AO CO =⇒⊥.又AO BP ⊥，BPCO O =，,BP CO BPC ⊂平面，AO BPC ⊥∴平面，113A BPC BPC V S AO -∆==，22P ABCD A BPC V V --==.20.解：（Ⅰ）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭椭圆22:14x C y +=.（Ⅱ）1214OM ON k k k k ==-，设14OM ON k k k k=⇒=-， :OM l y kx =，:4ON x l y k=-， 22441Mx k =+，2222224444141Mk k y OM k k +=⇒=++， 2221641Nk x k =+，2222211614141N k y ON k k +=⇒=++，（法一）：222222441619521141412168k k ON OM k k k k⎛⎫⎛⎫++==+≤ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭++. （法二）：22222222244161333441414141k k ONOM k k k k ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==-++ ⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令2341t k =+，03t <<，234ON OM t t =-++当32t =时最大，最大值为52. （法三）：2222224416154141k k ON OM k k +++=+=++，22522ON OM ON OM +≤=. 21.解：（Ⅰ）当1a =时，()221xf x e x x =---，()11f e -=，所以切点坐标为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()22x f x e x =--′，所以()11f e-=′，故曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为：()()111y x e e -=--，即：12y x e e=+. （Ⅱ）()221xf x e ax ax =---求导得：()22xf x e ax a =--′， 令()()22xg x f x e ax a ==--′，()()20xg x e a x =->′①当21a ≤时，即12a ≤时，()2120x g x e a a =->-≥′， 所以()()22xg x f x e ax a ==--′在()0,+∞上为增函数，()()0120g x g a >=-≥， 即()()0g x f x =≥′，所以()221xf x e ax ax =---在()0,+∞上为增函数，所以()()010010f x f >=---=，故即12a ≤时符合题意. ②当21a >，即12a >时，令()20x g x e a =-=′，得ln 20x a =>，当()0,ln 2x a ∈时，()()0120g x g a <=-<，即()0f x <′.所以()f x 在()0,ln 2a 为减函数，所以()()00f x f <=，与条件矛盾，故舍去. 综上，a 的范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（Ⅰ）2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=， 化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=.（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线1C 上，将1C 的参数方程为21,221,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入22230x y x +--=中得： 22222112130222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得： 2230t t +-=.设两根分别为12,t t ，由韦达定理知：12122,3,t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩所以AB 的长()2121212421214AB t t t t t t =-=+-=+=，定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==.23.解：（Ⅰ）()33,2,1245,21,33, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=+-<≤⎨⎪+>⎩所以：当2x ≤-时，[)3,y ∈+∞；当21x -<≤时，(]3,6y ∈；当1x >时，()6,y ∈+∞. 综上，()y f x =的最小值是3. （Ⅱ）()124f x x x =-++，令()()39,2,61,21,33,1,x x g x f x x x x x --≤-⎧⎪=-=--<≤⎨⎪->⎩①2,391,x x ≤-⎧⎨--≤⎩解得：108,33x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，②21,11,x x -<≤⎧⎨-≤⎩解得：[]0,1x ∈，③1,331,x x >⎧⎨-≤⎩解得：41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上，不等式()61f x -≤的解集为：[]10841084,0,11,,0,333333⎡⎤⎛⎤⎡⎤⎡⎤--=-- ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎦⎣⎦⎣⎦.。

安徽省百校论坛2017届高三上学期第二次联考（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = ( ) A ．1[0,)2B ．1(,0]2-C ．1(,1]2-D ．1[1,)2- 2．“a =1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 ( ) A ．若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C ．若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m αD ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ4．已知,αβ是锐角，且α≠45°，若c o s ()s in ()αβαβ-=+，则ta n β= （ ） A ． 2 BC ． 1 D5.若函数y =)1(log 2+-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( )A.0<a <1B. 0<a <2，a≠1C. a ≥2D. 1<a <26．若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （*N ,n d ∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知 数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于 ( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．407.双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点为21,F F ,渐近线分别为21,l l ，点P 在第一 象限内且在1l 上，若212,l PF l ⊥∥2PF,则双曲线的离心率为 ( ) A . 2 B. 3 C. 2D. 8．已知函数()R f x ∈,()R g x ∈，有以下命题：① 若)()]([x f x f f =，则x x f =)(； ② 若x x f f =)]([，则x x f =)(；③若x x g f =)]([，且)()(y g x g =，则y x =；④若存在实数x ，使得x x g f =)]([有解，则存在实数x ，使得1)]([2++=x x x f g .其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号） ( )A.①②B.②③C. ③④D. ③二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．函数()2cos()13f x x π=+-的对称轴为，最小值为. 10．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为，该该几何体的体积为.11.设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =， 则实数a =，则函数f (x )的单调增区间为．12．已知抛物线C :23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ，弦AB 中点到抛物线C 的准线距离为.13．已知直线20x y --=及直线60x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积 是14．已知平面向量α，β满足|α|＝1,1≤|α+β|≤3，则α·β的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A ={ (x,y )| x + ty < 2,且t ∈R,0,0}x y ≥≥，若 平面区域B ={ (x, y )|(x +y , x-y )∈A }的封闭区域面积不小于1，则t 的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分15分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c =1，6C π=． (Ⅰ)若ab 的值；(Ⅱ)求cos A cos B 的取值范围．17.（本小题满分15分）如图，四棱锥S -ABCD 中，SD 底面ABCD ，AB //DC ，AD DC ，AB =AD =1，DC =SD =2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC 平面SBC . （Ⅰ）求EBSE 的值； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小．18．（本小题满分15分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， ⊥⊥⊥（I ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）若对任意的*N n ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本题满分15分） 椭圆C:13422=+y x 的左焦点为F ，右顶点为1A ,过点F 斜率为k 的直线交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的中点为G ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，O 是坐标原点，记GFD ∆的面积为1S ，记OED ∆的面积为2S(I)求点D 的坐标（用k 表示）；（II ）求2221212S S S S +的范围.20．（本题满分14分）设函数b x b a ax x f ++-=)(23)(2，（)10≤≤x 其中0>a ，b 为任意常数.（I ）若21=b ，|21|)(-=x x f 在]1,0[∈x 有两个不同的解，求实数a 的范围. （II ）当2|)0(|≤f ，2|)1(|≤f 时，求|)(|x f 的最大值参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．B 4. C 5．D 6.B 7．A 8．D二、填空题:多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9. ()3x k k Z =-∈ππ ,-3 10. 23 ，323 11. 2，[)+∞,0 12.5133y x =--，5512 13. 27π 14. []2,4- 15. 01t <≤三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分15分）解：（Ⅰ）解法一：由余弦定理2222cos ,c a b ab C =+-………………………3分得2320b b -+=，所以b =1或b =2. ………………………7分解法二：由正弦定理sin sin sin a c A A C ==得，………………………2分 233A A ππ==∴或． ………………………4分 当,232AB b ππ===时，;当2,136A B b ππ===时，综上，b =1或b =2. ………………………7分(Ⅱ)51cos cos cos cos cos sin 62A B A A A A A ⎛⎫π⎛⎫⋅=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111sin cos sin 22sin 22423A A A A A A π⎛⎫=+=-=+- ⎪⎝⎭……………10分因为540,26333A A ππππ<<-<-<,所以sin 213A π⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤,………13分所以cos A cos B 的取值范围是12⎛ ⎝⎦．………15分17．（本题满分15分）（I ）18．（本题满分15分）（I ）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴= ----------------4分5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -----------------7分（II ）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， -------------9分 311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363n n k -∴≥对*n N ∈恒成立， ----11分 令363n n n c -=，11363927333n n n n n n n n c c -----+-=-=，当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<， --------------13分max 32()9n c c ∴==，29k ≥． ---------15分 19．（本题满分15分） （I ）将)1(+=x k y 带入13422=+y x 中可得：01248)34(2222=-+++k x k x k 则3482221+-=+k k x x ，346221+=+k k y y ----3分 所以G(,34422+-k k 3432+k k ) ---5分 因为AB DG ⊥ ,则 D （,3422+-k k 0） ----7分 （II ）GFD ∆与OED ∆相似，则2221OD GD S S =299k +=9> ----10分 令t S S =21，则2221212S S S S +t t 12+=4199192=+< ----13分 1222122S S S S ∈+)419,0( ----15分 20.（本题满分14分）（I ）04)21(<-=a f ----1分 ①当210<≤x 时，则x x a ax -=++-2121)12(32，即0232=-ax ax ，解得0=x ----3分 ②当121≤≤x 时，则2121)12(32-=++-x x a ax ，即01)1(232=++-x a ax 令1)1(23)(2++-=x a ax x t ，因为04)21(<-=a t ，只要01)1(≥-=a t 即可----5分 所以1≥a ----6分(II)设|)(|x f 的最大值为M①当13≥+ab a ，函数)(x f 在]1,0[递减函数，M |)0(|f =2≤ ----8分 ②当03≤+a b a ，函数)(x f 在]1,0[递增函数，M |)1(|f =2≤ ----10分 ③当130<+<a b a 时，即a b a 2<<-时，aab b a a b a f 3|)3(|22-+=+ （ⅰ）当2130<+<a b a 时，即2a b a <<- 则230a b a <+<，则-)1(f aab b a a b a f 322|)3(|22--=+a b a a 3)(322+-=42a ≥0> 所以 2≤M ---12分(ⅱ)当1321<+<a b a 时，即a b a 22<<时，可得0)2)(2(<--a b a b ，即 02522<-+ab b a 则-)0(f a b a ab a b a f 34|)3(|22--=+a b a ab 32522-->0> 所以2≤M ----14分综上2=M ，当2,2==b a ，21212)(2+-=x x x f ，2=M。