下载文档原格式
考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值 极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。
文科数学参考答案二、填空题(每题5分，共25分）11. 21,20140x x x ∀>-+-≤ 12. 13. 14. 15. ①⑤16.解：（1）由及，有 ……………………1分 有 解得 ………………………4分7(1)(3)310n a n n =+--=-+27(310)317222n n S n n n +-+==-+ …………………………6分（2）由题意有，又由（1）有 ………8分112(12)(32)(32)n n a a a -=++++++1121332()n n a a a -=+++++++ …12分17.(1)()2cos (sin cos cos sin )sin f x x x A x A A =-+ ……………………1分sin 2cos cos 2sin x A x A =- 在处取得最大值。
522,12A k k Z ππ∴⨯-=∈,即 , …………………………4分sin(2)12x A ∴-<-≤,即的值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦。
…………………………6分 （2）由正弦定理得sin sin sin b cB C A a++=…………………………9分2222cos a b c bc A =+-得 …………………………11分1sin 2ABC S bc A ∆== …………………………12分 18.（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为，所以在区间上是增函数， 故，解得． …………………………4分 （2）由已知可得，所以可化为，化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+2122112，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是 …………………………12分19.解:⑴在Rt△BOE中, ,在Rt△AOF中,在Rt△OEF 中, ,当点F 在点D 时,角最小, ……2分 当点E 在点C 时,角最大, ,所以50(sin cos 1),sin cos l αααα++=………4分定义域为 ……………………………6分⑵设]3,6[,cos sin ππααα∈+=t ,所以 ……………………8分250(1)1001)]112t l t t +==∈-- ……………………………10分所以当时, ,总费用最低为元 ……12分20.解:(1)由题意0,()xa f x e a '>=-, ……………………………1分 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>.∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 …………………………4分 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- ……………………………6分 (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n ()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ……………………………9分 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减, ∴ ()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = ……………………………13分 21.(Ⅰ) 当时,；当时, , ,相减得……………………………2分又, 所以是首项为,公比为的等比数列,所以 ……………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b所以23411232222n n n T +=++++ 34121212222n n n n ++-++++两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以 (或写成,均可给至8分) ………8分 （Ⅲ）=()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭…………11分 所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数恒成立,则， 所以存在最小正整数,使不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数恒成立 ……14分。
2023届“皖南八校”高三第二次大联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黒水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,(2)1,A B xx x =-=-∈R ∣，则A B ⋂=（ ）A.{}1,2B.{}0,1,2,3C.{}1,2,3D.{}2 若复数z 满足i i z z -=（i 为虚数单位），则z =（ ） A.12-B.12C.1i 2- D.1i 2 3.已知单位向量,a b 满足3a b +=，则a 在b 上的投影向量为（ ） A.a B.12a C.12b D.b 4.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>以正方形ABCD 的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线E 的离心率为（ ）1 1- C.2 D.25.在三棱锥P ABC -中，,12,16,45PA AB PA AB PC PBC ∠⊥====，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） A.40003π B.400π C.169π D.1693π 6.已知圆C 的方程为22680x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是（ ） A.35-B.45-C.65-D.125- 7.为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二､周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立､随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有ξ名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（ ）A.该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为14B.()()36P P ξξ=<=C.该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为34D.()()45P P ξξ===8.已知()2cos f x x x =--，若7881e ,ln ,98a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于直线2x π=对称B.函数()f x 的图象关于点()0,0对称C.函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πD.函数()f x 的导函数()f x '的最大值为410.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线的距离为4，过F 的直线与抛物线交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ） A.抛物线C 的准线方程为2y =-B.当3AF FB =，则直线AB 的倾斜角为30C.若16AB =，则点M 到x 轴的距离为8D.418AF BF+11.在底面边长为2､高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为棱1A A 上一点，且111,4AO A A P Q =､分别为线段1111B D A D ､上的动点，M 为底面ABCD 的中心，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（ ） 与QM 共面B.三棱锥A DMN -的体积为43C.PQ QO +的最小值为2D.当11113D Q D A =时，过,,A Q M三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为8312.已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，对任意,x y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的有（ ）A.()01g =B.函数()21f x -的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.()()111g g +-=D.若()1f =，则20231()n f n ==∑ 三､填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.13.国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩､喜迎二十大”为主题的青少年学生演讲比赛，其中10人比赛的成绩从低到高依次为：85,86,88,88,89,90,92,93,94,98（单位：分），则这10人成绩的第75百分位数是__________.14.在111x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，8xy 的系数为__________.15.已知(),0,,tan ,cos 326ππαβπαβ⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 2αβ-=__________. 16.已知0a <，不等式1e ln 0a x x a x +⋅+对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步棷.17.（10分）已知数列{}n a 的首项112a =，且满足()*123n n n a a n a +=∈+N . （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）若1231111121na a a a ++++<，求满足条件的最大整数n . 18.（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：（1）已知y 与x 具有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆya bx =+； （2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.（i ）若该市E 大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（ii ）若A 大学的毕业生中小明､小红选择自主创业的概率分别为1,2112p p p ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，该市政府对小明､小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p 的取值范围.参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑. 19.（12分）如图，将长方形11OAA O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.（1）在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAA O 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值. 20.（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，2,AB BC CD AD ====.（1）若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；（2）记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值. 21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ 面积的最大值. 22.（12分）已知函数()3e 1xf x x =-+，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）设曲线()y f x =与x 轴正半轴相交于点()0,0P x ，曲线在点P 处的切线为l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；（2）若关于x 的方程()f x m =（m 为正实数）有两个不等实根()1212,x x x x <，求证：21324x x m -<-. 2023届“皖南八校”高三第二次大联考･数学参考答案､解析及评分细则1.C 因为{}{}1,0,1,2,3,13,A B xx x =-=∈R ∣，则{}1,2,3A B ⋂=.故选C. 2.D 设i z a b =+，则()()i 1i i i i i.i i z a bz a b b a z z -=+-=⋅=-=+-=⋅，i b a =+，解得0,1,2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩即1i 2z =.故选D.3.C 因为,a b 是单位向量，所以1,1a b ==，故2222||1,||1a a b b ====，由3a b +=得，2||3a b +=，即2()3a b +=，解得12a b ⋅=.设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影向量为1cos 2b a b b a b b b b θ⋅=⋅=.故选C. 4.A 如图，正方形的顶点,A B 为双曲线的焦点，顶点,C D 在双曲线上，则(),0A c -，(),0B c ，故2,b C c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由正方形ABCD 得AB BC =，所以22b c a =，则2222ac b c a ==-即2220c ac a --=，两边同除2a 得2210e e --=，解得1e =或1e =（舍）.故选A.5.A 因为,12,16PA AB PA AB ⊥==，所以20PB =，在PBC 中，由正弦定理得sin sin PC PBPBC PCB∠∠=20sin PCB ∠=，所以sin 1PCB ∠=，取PB 的中点O ，可知O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，外接球的半径1102R PB ==，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为34400033V R ππ==，故选A. 6.D圆C 的方程为22680x y x +-+=，整理得：22(3)1,x y -+=∴圆心为()3,0C ，半径1r =，又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于22,2,5120k k +，化简得，解得120,5k k -∴的最小值是125-.故选D. 7.B 依题意每次抽取工人甲被抽到的概率2536C 1C 2P ==，所以工人甲一周内被选中两次的概率为21124⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；依题意ξ的可能取值为3456､､､，则()()33366333336666C C C 1113,6C C 20C C 20P P ξξ==⋅===⋅=，所以()()36P P ξξ===，故B 错误；对于C ，工人甲一周内至少被选中一次的概率为2131124⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故C 正确；()()32131263363333336666C C C C C C 994,5C C 20C C 20P P ξξ==⋅===⋅=，所以()()45P P ξξ===，故D 正确.故选B.8.B 因为()()()()222cos ,,()cos cos f x x x x f x x x x x f x =--∈-=----=--=R ，所以()f x 为R 上的偶函数.当0x 时，()()2sin ,2cos 0f x x x f x x ''=-+'=-+<，所以()f x '在[)0,∞+上单调递减，所以()()00f x f ''=，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，又因为()f x 为R 上的偶函数.所以()f x 在(),0∞-上单调递增.因为788911e ,ln ln ,9888a f b f f c f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由e 1x x +，得7871e188->-+=，所以781e 8f f -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ln 1x x -，得991ln 1888<-=，所以91ln 88f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有a c b <<.故选B. 9.ABD 函数41sin[(21)]sin 3sin 5sin 7()sin 21357i i x x x xf x x i =-==+++-∑，对于A ，可以验证()()f x f x π+=-，故A 正确；对于B ，同样可以验证()()f x f x =--，故B 正确；对于C ，由诱导公式易知()()()f x f x f x π+=-≠，故C 错误；对于D ，易知()cos cos3cos5cos74f x x x x x =+++'，故D 正确.故选ABD .10.AD 对于A ，易知4p =，从而准线方程为2y =-，故A 正确；对于B ，如图分别过,A B 两点作准线2y =-的垂线，垂足分别为11,A B ，过A 点作1BB 的垂线，垂足为点H . 由于3AF FB =，不妨设AF t =，则3BF t =，由抛物线的定义易知：1AA t =，13,2BB t BH t ==，在直角ABH 中，30BAH ∠=，此时AB 的倾斜角为30，根据抛物线的对称性可知，AB 的倾斜角为30或150，所以B 错误；对于C ， 点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的定义知，122216AF BF y y +=+++=，有1212y y +=， 所以M 到x 轴距离1262y y +=，C 错误；对于D ，由抛物线定义知11212AF BF p +==，所以()4114242518BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4BF AF AF BF =，即2BF AF =时取得等号，所以D 正确.故选AD.11.ACD 对于A ，如图1，在ACQ 中，因为,M N 为,AC AQ 的中点，所以MN CQ ∥，所以CN 与QM 共面，所以A 正确；对于B ，由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值2，且ADM 的面积为1，所以三棱锥A DMN -的体积为23，所以B 错误；对于C ，如图2，展开平面11A ADD ，使点11A ADD 共面，过O 作11OP B D ⊥，交11B D 与 点P ，交11A D 与点Q ，则此时PQ QO +最小，易求PQ QO +的最小值为2，则C 正确；对于D ，如图3，取11113D H D C =，连接HC ，则11HQ A C ∥，又11AC A C ∥所以HQ AC ∥，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正四棱柱的截面为ACHQ，由3AQ CH ===，则ACHQ是等腰梯形，且1113QH A C ==，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为83，所以D 正确.故选AC D.12.ABD 对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，再令0y =，x =1，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()()100,01g g -==，故A 正确；对于B ，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()()00,01f g ==代入上式，得()(),f y f y -=-∴函数()f x 为奇函数，∴函数()21f x -关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确.对于C ，再令1,1x y ==-代入已知等式，得()()()()()()()()()()()2111111,2111f f g g f f f f f g g ⎡⎤=----=-∴=-+⎣⎦，又()()()()()()()221,1111f f f f f g g ⎡⎤=--=-∴-=-+⎣⎦，即()()()()()()11110,10,1110f g g f g g ⎡⎤-++=≠∴-++=⎣⎦得()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，再分别令1y =-和1y =代入已知等式，得以下两个等式()()()()()()()()()()111,111f x f x g g x f f x f x g g x f +=----=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，从而有()()()12,f x f x f x -=+∴为周期函数，且周期为()()()()()202313,122300,()n f f f f f f n ==∴-==∴==∴=∑.故D 正确.故选AB D. 13.93 1075%7.5⨯=，所以从小到大选取第8个数作为第75百分位数，即93. 14.495-由二项式展开式的定义易知8xy 的系数为()81113C C 495-=-. 因为()cos 2cos 2sin 236236πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 2cos cos2sin 3636ππππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222sin cos 2tan 333sin 22sin cos 3333sin cos tan 1333πππαααπππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22222222cos sin 1tan 1333cos 2cos sin ;3333cos sin tan 1333πππαααπππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=+-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()cos 0,6πββπ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以0,62ππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 6πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1cos 233αβ-=-= 16.e - 由题意得1e ln 0a x x a x +⋅+化简得1ln 111e ln e ln a a x x a a a a a x x x x x x -==易知函数e x y x =是单调递增的函数，所以1ln a x x 对1x >恒成立，此时maxln x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()ln x f x x =-，则()21ln (ln )x f x x -='，当()0,e x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当()e,x ∞∈+时，()()0,f x f x '<单调递减，当e x =时，()max ()e e f x f ==-，即a 的最小值为e -.17.（1）证明：由123n n n a a a +=+，可得123132n n n na a a a ++==+， 11311331n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又11130a +=≠， 故数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知111333n n n a -+=⨯=，故131n na =-. ()123123313111133313131311322n n n n n n a a a a +-++++=-+-+-++-=-=---. 令()()1*33,22n f n n n +=--∈N ()()()2113333113102222n n n f n f n n n +++⎛⎫+-=--+---=-> ⎪⎝⎭易知()f n 随n 的增大而增大. (4)116121,(5)358121f f =<=>，故满足()121f n <的最大整数n 为4.18.解：（1）由题意得34560.10.20.40.54.5,0.344x y ++++++====.444214221114 6.14 4.50.3ˆ6.1,86,0.1486814i i i i i ii i i i x y xy x y x b xx ====--⨯⨯=====--∑∑∑∑. 所以ˆˆ0.30.14 4.50.33ay bx =-=-⨯=-故得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.140.33yx =-. （2）（i ）将7x =代入ˆ0.140.33yx =-，得ˆ0.1470.330.65y =⨯-=， 所以估计该市政府需要给E 大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为0.6510001650(⨯⨯=万元）. （ii ）设小明､小红两人中选择自主创业的人数为X ，则X 的所有可能值为0,1,2.()()()20122242P X p p p p ==--=-+，()()()()2112122451P X p p p p p p ==--+-=-+-，()()22212P X p p p p ==-=-.()()()()222024245112231E X p p p p p p p ∴=⨯-++-+-⨯+-⨯=-. 114311.4,1,225p p p -<<∴<，故p 的取值范围为14,25⎛⎤ ⎥⎝⎦. 19.解：（1）存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线，1BC AB ⊥.连接1,,BC AC B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥.因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥.11,,BC AC B C BC AC B C C ⊥⊥⋂=，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥.（2）以O 为原点，1,OA OO 分别为,y z 轴，垂直于,y z 轴直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示. ()()()110,1,2,0,0,2,0,1,0A O B -，因为11A B 的长为6π，所以()111111,2,0,1,262AO B B O B π∠⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，111,22O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11O B B 的法向量(),,m x y z =，20,10,22y z x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩令3x =-，解得y z ==，所以m ⎛=- ⎝⎭. 因为x 轴垂直平面11A O B ，所以设平面11A O B 的法向量()1,0,0n =.所以cos ,m n ==.所以平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值为17. 20.（1）证明：DB 平分,ADC ADB CDB ∠∠∠∴=，则cos cos ADB CDB ∠∠=，由余弦定理得22222222AD BD AB CD BD BC AD BD CD BD+-+-=⋅⋅， 22444BD BD +-=， 解得)241BD =；22212441cos 2AD AB BD A AD AB +-+-===⋅， )2224441cos 28CD BC BD C CD BC +-+-===⋅， cos cos A C ∴=-，又()()0,,0,,A C A C πππ∈∈∴+=.（2）解：2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅222cos BC CD BC CD C =+-⋅，1688cos A C ∴-=-，整理可得cos 1C A =-；222222221211sin sin 12sin 4sin 1212cos 44cos 1622S S AD AB A BC CD C A C A C ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212cos 1)24cos 1224cos 14A A A A A ⎛--=-++=--+ ⎝⎭， ()0,,A π∈∴当cos A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14. 21.解：（1）依题可得22222311,4,c ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,,,,PQ y kx m P x y Q x y =+， 由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++-=， 所以()222121222844,,Δ164101414mk m x x x x k m k k --+===+->++，即2241k m +>， 而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=--， 化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++ 化简得2260k mk m +-=，所以2m k =-或3m k =，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-.所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B SS S AB y y k x x -=-=-=-52=52k= == 因为Δ0>，且3m k =， 所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以4593APQ S ==， 当且仅当97t =，即2114k =时取等号，即APQ 面积的最大值为53. 22.证明：（1）由题意可得：00003e 10,e 31x x x x -+==+，()()00003e ,3e 33123x x f x f x x x =-=-=--=-''，可得曲线在点P 处的切线为()()00:23l y x x x =--.令()()()()()000233e 1,0x g x x x x x g x =----+=， ()()00000233e 13e ,3e 10x x x g x x x g x x =--+=--+=-+-'='，可得函数()g x 在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()00,g x g x ∴=∴曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方.（2）由（1）可得()3e 0xf x =-='， 解得()ln3,ln33ln3313ln32,03ln32x f m ==-+=-∴<<-，曲线在点P 处的切线为()()00:23l y x x x =--，00e 31x x =+，由零点的存在性定理知()01,2x ∈，同理可得曲线()y f x =在点()0,0处的切线为2y x =，y m =与()()002,23y x y x x x ==--的交点的横坐标分别为34,x x 则3400,223m m x x x x ==+-， 214300232m m x x x x x x ∴-<-=+--. 下面证明：00322324m m m x x +-<--. ()()()()00000000321238222423423432x x m m m x x m x x x x -+----=--⋅=-⋅---， ()0001,2,20,321x x x ∈∴->->，且01283430x m m -+>+>，0020423m m x x ∴--->- 0210332,223244m m m x x x m x ∴+-<-∴-<--.。
绝密★启用前安徽省皖南八校联盟2021届高三毕业班上学期第二次联考质量检测数学(文)试题2020年12月考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．． 3．做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选題目的题号涂黑．一、选择题：本题共12小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合21|4A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,集合{|B y y ==,则A B ⋃=（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．若复数z 满足(13)z i i =+,则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．2C ．iD ．2i3．已知132312,log ,log 23a b c ===,则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4．若等差数列{}n a 各项都是正数,12321a a a ++=,且34545a a a ++=,则1a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．25．执行如下图所示的程序框图,若输出的120S =,则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >6．如图所示,在边长为2的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为45,则阴影区域的面积为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．57．《海岛算经》第3题：今有南望方邑,不知大小．立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之．令东表与邑东南隅及东北隅参相直．当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半．又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合．问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步．译文如下：现在要测量南边的一个长方形城市ABCD ,不知道大小．在东西两个方向上树立两个标杆E 和F ,EF 相距6丈,标杆和人眼一样高,用绳索连接．令东边的标杆E 和城市的东南角C 和东北角B 平齐．面向标杆E 退5步到达G 处,从G 处向城市西北角A 看,视线交绳索EF 于距离东端的标杆E 2丈2尺6.5寸的H 处．从G 处再退到距离标杆E 13步2尺的I 处,再向城市西北角A 望。
合肥市2022年高三第二次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1-15.1478 16.2三、解答题：17.(本小题满分12分) (1)由题意得，()()10160.10.9988160.3iitty y r --=≈≈∑. 相关系数0.9988r ≈，说明y 与t 的线性相关性很高，所以，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ………………………5分 (2)由 5.5t =，()1021=82.5i i t t =-∑，160.1ˆ 1.9482.5b=≈得，ˆˆ15.5 1.94 5.5 4.83ay b t =-⋅=-⨯=， 所以 1.94 4.83y t =+. 当12t =时， 1.9412 4.8328.11y =⨯+=.据此可以预测，2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆. ………………………12分18.(本小题满分12分) 解：(1)若选①：∵sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b c ，2的等差中项，∴2sin 26a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即cos sin 20a C C b c+--=.由正弦定理得sin cos sin sin 2sin 0A C A C BC --=， 即()sin cos sin sin 2sin A C A C A CC -+-sin cos sin sin cos cos sin 2sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin 2sin 0A C A C C --=，注意到sin 0C ≠cos 20A A --=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∵()0A π∈，，∴5666A πππ-<-<，∴62A ππ-=，即23A π=.………………………5分若选②：由题设及正弦定理得sin cossin sin 2B CB A B +=. ∵0A π<<，sin 0B ≠，∴cos sin 2B CA +=①. ∵ABC π++=，∴cos sin 22B C A+=，∴①可化为sin 2sin cos 222A A A =.∵022A π<<，sin 02A≠，∴1cos 22A =，23A π=，∴23A π=.…………………………5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B C C ADCDCB(2)∵AE 是ABC ∆的角平分线，∴3BAE CAE π∠=∠=.∵ABC BAE CAE S S S ∆∆∆=+，即111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE b AE CAE ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即1211sinsin sin 232323bc c AE b AE πππ=⋅⋅+⋅⋅，∴326c c =+，6c =，∴121sin3623222ABC S bc π∆==⨯⨯⨯=. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分) (1)证明:∵3PMB π∠=，PM BM =，∴PMB ∆为等边三角形，∴PB PM PC BM BC =====2CM =. 取CM 的中点O ，连结BO PO ，PO CM ⊥.又∵2CBM CPM π∠=∠=，∴112BO PO CM ===，∴222BO PO PB +=，∴PO BO ⊥.∵CM BO ⊂，平面AMCD ，CM BO O = ，∴PO ⊥平面AMCD .又∵PO ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面AMCD .………………………5分 (2)由(1)知，PO ⊥平面AMCD ，且1PO =. 连结DO DM ，，则DM CM ⊥，且2DM =，∴DO ==，PD ==.∵12PM AB =，∴2BPA π∠=.∵PA ==，∴12PAD S ∆==. 设点M 到平面PAD 的距离为d ，则P MAD M PAD V V --=，即11113232d ⋅=⋅⋅，解得d =，∴点M 到平面PAD . ………………………12分 20.(本小题满分12分)解：(1)()2cos f x x a x '=-.设()2cos g x a x x =-，则()2sin g x a x '=+.∵函数()g x 是区间0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的增函数， ∴()s 02in x a x g '=+≥在区间0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立. 若0x =，则()20g x '=≥恒成立，此时a R ∈；若0,2x π⎛∈⎤⎥⎝⎦，此时0sin 1x <≤，∴()s 02in x a x g '=+≥恒成立，即2sin a x ≥-恒成立.∴2a ≥-. 综合上述得，a 的取值范围是[)2-+∞，. …………………………5分 (2)当2a =时，()()22sin 10f x x x x π=--∈，，，则()22cos f x x x '=-.∴()f x '在区间()0 π，上单调递增.∵06622f ππ⎛⎛⎫-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭'=，20022f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=， ∴存在0 62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()00f x '=. 当()00x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0x x π∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增.注意到()001f =-<，()201f ππ=->， ∴函数()f x 在区间()0 π，上有且仅有一个零点. …………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .由椭圆的几何性质可知，当点M 位于椭圆短轴端点时，FAM ∆的面积取得最大值，此时()12FAM S a c b ∆=+，即()1=2a c b+，∴()a c b +=由离心率12c a =得2a c =.∴b =，解得12c a b ===，，，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………………5分(2)设()11M x y ，，()22N x y ，.由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880.k x kx ++-=∵点(0，1)在此椭圆C 的内部，∴0∆>，121222884343k x x x x k k +=-=-++，， ∴()212122286224343k y y k x x k k +=++=-+=++， ∴点P 的坐标为2243 4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-.将直线OP 的方程代入椭圆C 的方程得，22943D y k =+，2221643D k x k =+. 设点Q 43k y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169343434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭.化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，即3y =，∴点Q 在直线3y =上. 当直线l 的斜率0k =时，此时()01P ，，(0D . 由2OP OQ OD ⋅= 得()03Q ，，也满足条件. 综上所述，点Q 在直线3y =上. ………………………12分22.(本小题满分10分)解：(1)由11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)得2x y +=，∴直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=. 由2cos 2a ρθ=得2cos 2a ρθ=，∴()2222222cos sin cos sin a a ρθθρθρθ-=-=，， ∴22x y a -=，∴曲线C 的直角坐标方程为22x y a -=.……………………………5分(2)直线l 的极坐标方程为cos +sin 2ρθρθ=，将=4πθ代入直线l的极坐标方程得ρ=，∴点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭，. 将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程2cos 2aρθ=得12ρρ==∴12AB ρρ=-=.∵AM BM ⊥，且O 为线段AB 的中点，∴12OM AB ===，∴1a =.………………………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)依题意得，()34 221221341.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=--<<-⎨⎪+≥-⎩，，，，， 当且仅当1x =-时，()f x 取得最小值1，即()f x 的最小值1m =.………………………5分(2)由(1)知，abc ==，∴()2224a b c ab c ≥+++(当且仅当a b =时等号成立).∴22422ab c ab ab c +=++6≥===， 当且仅当22ab c =，即1a b c ===，时等号成立，∴()22a b c ++的最小值为6. …………………………10分。
安徽省示范高中2022届高三其次次联考 数学（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)函数3()|1|5x f x x -=+-的定义域为A.表示不大于x 的最大整数，函数()f x =-x ，则f （f (1.5))=A ．一lB ．—12C ．12 D ．1(6)命题“三角形ABC 中，若cosA<0，则三角形ABC 为钝角三角形”的逆否命题是 A ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为钝角三角形，则cosA<0 B ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA ≥0 C ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA <O D ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角或直角三角形，则cosA ≥O(7)下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性都相同的是 11232.().().().()A f x x B f x x C f x x D f x x -= = = =(8)函数()sin ln ||f x x x =⋅的图象大致是(9)已知函数()()()()()2014121321cos sin ,(),(),(),,(),n n f x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x -=++===⋅⋅⋅=则2015()2f π为A ．一1B ．0C ．1D ．2021 (10)已知函数()f x =| e x-1|，满足()()()f a f b a b =<，则A. a + b =0 .B. a +b>0C. a + b <0D. a + b ≥0(11)已知函数()|2|xe f x x =-至多有一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．（一∞，0） B ．(一∞，0] C ．(一∞，0](e 3，+∞) D ．（一∞，e 3）(12) 函数()f x 在R 上可导，下列说法正确的是A ．若()'()0f x f x +>对任意x ∈R 恒成立，则有e f (2)<f (1)B ．若()'()0f x f x -<对任意x ∈R 恒成立，则有e 2f (一1)<f (1)c ．若()f x > l 对任意x ∈R 恒成立，则有f (2)>f (1) D ．著()f x < l 对任意x ∈R 恒成立，则有f (2)>f (1)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． (13)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是 ．(14)如图，函数f (x)的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)， (2，0)，(6，4)，f ’(x)为()f x 的导函数，则f (1) +f (4)= 。
安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月）联考数学文试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A,根据交集求解.【详解】因为,所以.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集，属于中档题.2.为虚数单位，若，则在复平面中，复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】计算，根据实部，虚部确定复数对应的点所在的象限.【详解】因为，所以复数对应的点在第三象限.故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的几何意义，属于中档题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.4.已知，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质，估算三个数的大致范围，即可比较大小.【详解】因为，，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的增减性，属于中档题.5.已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【详解】因为,所以，由，可得，根据余弦定理，，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.6.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把转化为、求解即可.【详解】因为，，，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.7.直线与圆：相交于两点，若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】【详解】由圆：可知，圆心为，半径，圆心到直线的距离，因为圆心距，半弦长，半径构成直角三角形，所以, 解得.故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的相交，圆的平面几何性质，属于中档题.8.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,因此点到点的路径中，最短路径的长度为.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.9.已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，写出切线方程，把点代入，列方程求出，代入切线方程化简即可.【详解】设切点为,切线斜率，则切线方程是，又过点，所以，①又，②由①②解得，或，代入切线方程化简可得：切线方程为或.故选B.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.10.已知函数的图像与函数的图像关于轴对称，将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可得，向左平移个单位长度可得，再由诱导公式即可求解.【详解】因为的图像与函数的图像关于轴对称所以，向左平移个单位长度可得，因为故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性，三角函数图象的平移变换，诱导公式，属于中档题.11.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．12.已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得. 【详解】对于，，使得,等价于，因为是增函数，由复合函数增减性可知在上是增函数，所以当时，，令，则，若时，，，所以只需，解得.若时，，，所以只需，解得.当时，成立.综上，故选D.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，换元法求值域，转化思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可.【详解】作出可行域如图：作出直线：，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，如图平移过点时，.故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.14.若，是第二象限角，则__________．【答案】【分析】根据，是第二象限角，可得，由二倍角公式可得，，再由两角和的正弦公式即可求解.【详解】因为，是第二象限角，所以，由二倍角公式可得，，所以.故填.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系，正余弦的二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题.15.已知过的直线与双曲线：只有一个公共点，则直线的条数为__________．【答案】2【解析】【分析】求出双曲线：的渐近线方程，结合双曲线的性质讨论，直线斜率不存在时和双曲线右支相切，有一个公共点，直线过点，可作与平行的直线，此时与双曲线有一个公共点.【详解】双曲线：的渐近线方程,其中一条渐近线过点，所以过点的直线与双曲线右支相切，只有一个公共点，过与平行的直线和双曲线右支相交，只有一个公共点，综上共有2条直线符合要求.故填2.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题.16.若函数为奇函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】根据函数为奇函数知求出，原不等式转化为，又函数在上为增函数，即可求解.【详解】因为为奇函数，所以有，得，故，所以.不等式可化为，由函数在上为增函数，可得，解得：或.所以不等式的解集为，故填.【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，不等式的解法，转化思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，可得，，转化为由求（Ⅱ）根据等比中项列方程即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，解得：，可得，当时，，由符合（且），故数列的通项公式为，（Ⅱ）由，，，有解得或-2.【点睛】本题主要考查了与的关系，等比中项，属于中档题.18.如图是2011年至2018年天猫双十一当天销售额（单位：百亿元）的折线图，为了预测2019年双十一当天销售额，建立了与时间变量的线性回归模型.（Ⅰ）根据2011年至2018年的数据（时间变量的值依次为1，2，3，4，5，6，7，8），用最小二乘法，得到了关于的线性回归方程，求的值，并预测2019年（此时）双十一当天销售额；（Ⅱ）假设你作为天猫商城董事会成员，针对双十一当天销售额增长情况，给天猫商城管理层制定一个股权奖励方案.从2012年开始到2017年，如果该年度双十一当天销售对比上一年增长超过五成，则对天猫商城管理层进行股权奖励.从2012年到2017年中，求天猫商城管理层连续两年都能获得股权奖励的概率. 附：，【答案】（Ⅰ）预测2019年双十一当天销售额大约为22.24百亿元；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据回归直线过样本中心点即可求出，直线回归方程代入，即可（Ⅱ）根据图象计算可知从2012年到2017年管理层只有2012年、2013年、2014年、2015年能获得股票奖励，连续两年作为基本事件，基本事件总数5，连续两年能得到股票奖励的基本事件共有3个，由古典概型计算其概率即可.【详解】（Ⅰ）由，，代入线性回归方程，有，得，可得关于的线性回归方程为，当时，，可预测2019年双十一当天销售额大约为22.24百亿元.（Ⅱ）由，，，，，，故从2012年到2017年管理层只有2012年、2013年、2014年、2015年能获得股票奖励.从2012年到2017年中连续两年，基本事件为、、、、，共5个基本事件；连续两年能得到股票奖励的基本事件为、、，共3个基本事件.从2012年到2017年中，天猫商城管理层连续两年都能获得股权奖励的概率为.【点睛】本题主要考查了线性回归方程，古典概型，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点.（Ⅰ）在侧棱上找一点，使平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）为的中点.取的中点为，连、，可证四边形为平行四边形，可得即可证明（Ⅱ）连接，交于点，连接，根据，可证平面，根据棱锥体积公式计算即可.【详解】（Ⅰ）为的中点.取的中点为，连、.∵为菱形，为的中点，∴，∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）连接，交于点，连接，∵是边长为2的菱形，，∴，，，∵，∴，.又，∴，∴.∵，平面，∴平面.∵易求得菱形的面积为，∴四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，线面垂直，棱锥体积公式，属于中档题.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，将点代入椭圆的方程得：，解得：故椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：联立方程，消去得：，，.有直线的斜率为：.同理直线的斜率为：.由.由上得直线与的斜率互为相反数，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，对任意的，求证：.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）写出导函数，根据分类讨论的正负，即可求出单调区间（Ⅱ）时，，根据（Ⅰ）知，原不等式转化为,再转化为，根据可证.【详解】（Ⅰ）.当时，恒成立.∴此时的单调递增区间为，无单调递减区间.当时，由得：，由，得.∴此时的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）时，，由（1）知在上为增函数，在上为减函数，∴，∴，当且仅当时取“”...∵，∴，，，∴.∴只要证明：.又，∴上式成立.∴.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性，利用导数证明不等式，分类讨论思想，转化思想，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ），.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C和直线的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线所过定点的坐标为，曲线上任一点到P的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可. 【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为：联立，解得：或，曲线与的交点为与.（Ⅱ）当时，，，则直线过定点的坐标为，故曲线上任一点到点的距离为：由，故，【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得.∴不等式的解集为.（Ⅱ）根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴.当且仅当，即时，取“=”.∴的最小值为1.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。
