安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值 极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

“皖南八校"2020届高三第二次联考数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R AC B =（ ） A. [2,)+∞B. (3,)+∞C. [0,3]D. (,2)[2,)-∞⋃+∞ 2.已知12i z i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加4.已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e -=，则12,e e 的夹角为（ ）A. 23πB. 34πC. 3πD. 4π 5.函数22sin ()cos x x f x x x=+在[2,2]ππ-上的图象大致为（ ） A. B. C. D.6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层.A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是,AB AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A. 直线EF ，AO 是异面直线B. 直线EF ，1BB 是相交直线C. 直线EF 与1BC 所成的角为30︒D. 直线EF ，1BB8.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<10.已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A. 9B. 8C.D.11.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的最小值为；②()f x 在[,2]ππ上单调递增；③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点；④曲线()y f x =关于直线x π=对称.其中所有正确结论的编号为（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ）A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为_______.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a =_______.15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.16.点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ︒∠=，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||d AB 的最大值为_______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边，cos2cos22sin (C B A -=sin A -sin )C .（1）求角B 的大小；（2）若1c =，ABC ∆b . 18.如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC =，2BD =，90BCD ︒∠=，沿BD 将BCD ∆折起，使C 至C '位置，如图（2）.（1）求证：AC BD '⊥；（2）当平面BC D '⊥平面ABD 时，求直线AC '与平面C DF '所成角的正弦值.19.设椭图2222:1(0)x yC a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3，O 是坐标原点，且1OB F B ⋅=（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程.20.已知函数1()4cos()23x f x x e π=--，()f x '为()f x 的导函数，证明： （1）()f x '在区间[,0]π-上存在唯一极大值点；（2）()f x 区间[,0]π-上有且仅有一个零点.21.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14πρθ-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB ∆面积的最大值. 选修4-5：不等式选讲23.已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：（1）2295a b +≥； （2）33814.16a b ab +≤。

安徽省皖南八校 2020 届高三上学期第二次联考数学（理）试题、单选题1．已知集合 A x x 2 ， B x 0 x 3 ，则 A (C R B) ( ) A ． [2, )B．(3, ) C ． [0,3] 【答案】 B D．( ,2) [2, )【解析】 先求出B 的补集， 再求交集。

详解】由题意 C R B {x |x 0或x 3} ，∴ A (C R B) {x|x 3}。

故选： B 。

点睛】详解】1 i (1 i)(2 i) 2 i 2i 1 13 z i ， 2 i (2 i)(2 i) 5 5 5 13 ∴z i 。

55 故选： B 。

点睛】 本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。

属于基础题。

3．某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况， 得到如图 所示：则下列结论正确的（ ）2．已知z 1 i，则 z 2i（ ） 1 313 A ． iB ．i 5 555【答案】BC ．13 i55D ．1 3i 55z ，再由共轭复数定义求出 z 。

1.2 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况， 本题考查集合的运算，属于基础题。

解析】 由复数除法计算出A．与2016 年相比，2019 年一本达线人数有所减少B．与2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 1 倍C．与2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同D．与2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】设2016 年参考人数为 a ，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数，然后比较得出结论。

【详解】设2016 年参考人数为 a ，则2016 年一本达线人数0.28a ，2019 年一本达线人数0.24 1.2a 0.288a 0.28a ，A 错；2016 年二本达线人数0.32a ，2019 年二本达线人数0.4 1.2a 0.48a ，增加了0.16a ，不是一倍， B 错；2016 年艺体达线人数0.08a ，2019 年艺体达线人数0.08 1.2a 0.096a ，C错；2016 年不上线的人数0.32a ，20196 年不上线的人数0.28 1.2a 0.336a 0.32a ，D正确。

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。

1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R A C B =I （ ） A.[2,+∞) B. (3,+∞)C. [0,3]D. (－∞,2)∪[2,+∞)答案及解析：1.B 【分析】先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>I 。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.已知F 2是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ） A. 9B. 8C.D. 答案及解析：2.A答案第2页，总24页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】由212AF AF a =+，AB 的最小值是AE r -，转化为求1AF AE +的最小值即为1EF ．【详解】双曲线22193x y -=中3a =，3b =9323c =+=1(23,0)F -，圆E 半径为1r =，(0,2)E -， ∴21126AF AF a AF =+=+，1AB AE BE AE ≥-=-（当且仅当,,A E B 共线且B 在,A E 间时取等号．∴2AB AF +11615AF AE AF AE ≥++-=++2215(23)259EF ≥+=+=，当且仅当A是线段1EF 与双曲线的交点时取等号． ∴2AB AF +的最小值是9． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径． 3.已知两个单位向量12,e e u r u u r 满足12|2|7e e -u r u u r 12,e e u r u u r的夹角为（ ）A.23π B.34π C.3π D.4π 答案及解析：3.A 【分析】由已知模求出12e e ⋅u r u u r，再利用向量夹角公式计算。

安徽皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理一、单选题1．已知集合2A x x ，03B x x ，则()R AC B （）A ．[2,)B ．(3,)C ．[0,3]D ．(,2)[2,)【答案】B2．已知12i zi ，则z（）A ．1355iB ．1355iC ．1355iD ．1355i【答案】B 3．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（）A ．与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C ．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D4．已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e ，则12,e e 的夹角为（）A ．23B ．34C ．3D ．4【答案】A5．函数22sin ()cos x x f x xx 在[2,2]上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 7．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，点E ，F 分别是,AB AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30D ．直线EF ，1BB 所成角的余弦值为33【答案】C8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】B 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f xf x ，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a，121()4b，12log 2c，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（）A ．()()()f b f c f aB ．()()()f a f c f bC ．()()()f c f b f a D ．()()()f c f a f b 【答案】C10．已知2F 是双曲线22:193xyC 的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E xy上一点，则2ABAF 的最小值为（）A ．9B ．8C ．53D ．63【答案】A 11．关于函数()cos sin f x x x 有下述四个结论：①()f x 的最小值为2；②()f x 在[,2]上单调递增；③函数()1yf x 在[,]上有3个零点；④曲线()yf x 关于直线x对称.其中所有正确结论的编号为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D 12．已知三棱锥PABC 满足PA底面ABC ，在ABC 中，6AB ，8AC ，AB AC ，D 是线段AC 上一点，且3AD DC ，球O 为三棱锥P ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40，则球O 的表面积为（）A ．72πB ．86C ．112D ．128【答案】C二、填空题13．已知曲线()(1)ln f x ax x 在点(1,0)处的切线方程为1yx ，则实数a 的值为_______.【答案】214．已知正项等比数列n a 的前n 项和为n S ，若22S ，410S ，则5a _______.【答案】32315．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】31416．点,A B 是抛物线2:2(0)C ypx p上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为_______.【答案】33三、解答题17．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，cos 2cos 22sin (C BA sin Asin )C .（1）求角B 的大小；（2）若1c ，ABC 的面积为332，求b .【答案】（1）3；（2）31.18．如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC，2BD，90BCD，沿BD 将BCD 折起，使C 至C 位置，如图（2）.（1）求证：AC BD ；（2）当平面BC D平面ABD 时，求直线AC 与平面C DF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）48585.19．设椭图2222:1(0)x y C abab的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为33，O 是坐标原点，且1 6.OB F B（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ，求直线l 的方程.【答案】（1）22132xy；（2）210xy 或210xy .20．已知函数1()4cos()23xf x xe，()f x 为()f x 的导函数，证明：（1）()f x 在区间[,0]上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[,0]上有且仅有一个零点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p ；②规定p ，经过计算机计算可估计得11(1)i ii i p ap bp cp b ，请根据①中,,p p p的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列n p 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ；②116177iiip p p ，11156nnp .【解析】（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，由0p ，代入11(1)iii i p ap bp cp b，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}nn p p 是等比数列，由等比数列通项公式得1nn p p ，然后用累加法可求得n p ．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A ，2()3P B ，甲的得分X 的取值为1,0,1，(1)()P XP AB 121()()(1)233P A P B ，(0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B 12121(1)(1)23232，121(1)()()()(1)236P XP AB P A P B ，∴X 的分布列为：X－11P131216（2）由（1）116p ，2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P XP XP XP X111117()2662636，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2：记(1)P Xx ，(0)P X y ，(1)P X z ，则2(2)P Y x ，(1)P Yxyyx ，2(0)P Yxzzxy ，(1)P Yyzzy ，2(2)P Yz由此得甲的得分Y 的分布列为：Y－2－112P1913133616136∴3111111131143()()3362636636636216p ，∵11(1)iii i p ap bp cp b，00p ，∴1212321p ap bp p ap bp cp ，71136664371721636636a b a bc，∴6(1)717b a b c，代入11(1)i ii i p ap bp cp b得：116177iiip p p ，∴111()6iii i p p p p ，∴数列1{}n n p p 是等比数列，公比为16q，首项为1016p p ，∴11()6n n np p ．∴11210()()()n nn nn p p p p p p p 111111()()(1)66656n n n ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin xy（为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB 面积的最大值.【答案】（1）2221x y，2x y；（2）2.23．已知0,0a b，2 3.ab证明：（1）2295ab；（2）33814.16a bab【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

“皖南八校”2020届高三摸底联考数学（理科）2019.8 考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两郜分。

满分150分，考试时间120分钟。

2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

3. 本卷命题范围：必修①~⑤。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|50A x x x =-<，{}2|40B x x =-≤，则A B =I （ ） A . {}|05x x ≤<B . {}|02x x ≤<C . {}|05x x <<D . {}|02x x <≤2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A .23B .12C .13D .143. 若71tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A . 3B . -3C . 2D . -24. 已知()3,2AB =--uu u r ，(),1AC m =uu u r，3BC =uu u r ，则BA AC ⋅=uu r uuu r （ ）A . 7B . -7C . 15D . -155. 函数()()222cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A .B .C .D .6. 公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 1.732≈，sin150.2588≈o ，sin 7.50.1305≈o ）A . 24B . 32C . 38D . 467. 下列函数中，以2π为周期且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A . ()cos 2f x x =B . ()sin 2f x x =C . ()2sin cos f x x x =D . ()22sin 1f x x =-8. 已知5log 0.5a =，3log 0.3b =，0.30.5c =，则（ ） A . a b c <<B . b a c <<C . a c b <<D . b c a <<9. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A . 82π-B . 8π-C . 122π-D . 12π-10. 数列{}n a 满足21112n n n a a a +++=，11a =，8115a =，1n n nb a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则满足1123n S >的最小的n 的值为（ ） A . 9B . 10C . 11D . 121l . 在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13AD B π∠=，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A .3B .6C .7D .1412. 设函数()f x 的定义域为R ，且满足()()12f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()2f x x x =-.若(),x t ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则实数t 的取值范围是（ ）A .514,24⎛ ⎝⎦B .514,24⎡-⎢⎣⎭C .⎛⎝⎦D .⎡⎢⎣⎭ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件2311x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的取值范围是______.14. 某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[]80,130（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为______.15. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=-，则sin α=______. 16. 已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在等比数列{}n a 中，()3214a a a =-，且4a ，54a -，5a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()cos sin sin cos b A c B B B =-. （1）求角C ；（2）若a =4c =，求b 的值. 19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点.（1）求证：PE P 平面BFG ；（2）若1PD AD ==，2AB =，求点C 到平面BFG 的距离. 20.（本小题满分12分）影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）.y bx a =+$$$，其中()()()121n iii ni i x x y y b x x==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nx yx nx==-=-∑∑，a y bx =-$$；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？（b $的结果保留两位小数） （参考数据：6.9 4.6 6.4 4.4 6.2 3.984.08⨯+⨯+⨯=，2226.9 6.4 6.2127.01++=） 21.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心C 的坐标为()1,2，且圆C 与直线l ：270x y --=相切，过点()2,0A 的动直线m 与圆C 相交于M ，N 两点，直线m 与直线l 的交点为B . （1）求圆C 的标准方程； （2）求MN 的最小值；（3）问：()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分） 已知函数()2k f x x k x =+-，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求k 的值；（2）若不等式()22x x f m ≥⋅对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()221321x xtg x f t =-+--有3个零点，求实数t 的取值范围.“皖南八校”2020届高三摸底联考·数学（理科）参考答案一、选择题： 1-5：DBCBC 6-10：ADBAD11、12：DA7. D 周期为2π的有C 、D ，又在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，选D . 8. B ()()5533log 1log 2log 3log 10a b -=---3535log 21log 10log 10log 100=--+=->. ∴a b >，∵0c >，0a <，∴b a c <<.9. A 该几何体是一个棱长为2的正方体左右两旁各去掉半径为1的半个圆柱得到的，体积为32282ππ-=-.11. D 长方体中，11BC CC ==，1BC 11AD BC ==13AD B π∠=，知AB =，∴在11AB D ∆中，111AB B D ==，11cos 14B AD ∠==.又∵11BC AD P ，∴11B AD ∠是1AB 与1BC 所成的角.二、填空题：13. []1,7- 14. 220 15..三、解答题：17. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由()1314a a a =-，得()21114a q a q a =-，∴2440a a -+=，∴2q =，∵4a ，54a -，5a 成等差数列，∴()45624a a a +=-，∴()1118162164a a a +=-， ∴11a =， ∴12n n a -=.（2）12log 21n n n n b a a n -=+=+-，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()2110212221n n -=++++++⋅⋅⋅++-()()()2112220121n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-()112122n n n --=+- ()1212n n n -=-+. 18. 解：（1）在ABC ∆中，由()cos sin sin cos b A c B B B =-及正弦定理，得()sin cos sin sin sin cos B A C B B B =-.∵sin 0B >，()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+， ∴cos cos sin sin sin sin cos sin B C B C B C B C -+=-. ∴cos cos cos sin B C B C =.∵B ，C 都是锐角，∴tan 1C =，∴4C π=.（2）法一：在ABC ∆中，由余弦定理，得2161822b b =+-⨯，∴2620b b -+=，∴3b =±.当3b =时，a ，b ，c 中，b 最大，222cos 02a c b B ac +-==>，B 是锐角，当3b =a ，b ，c 中，a 最大，222cos 02b c a A bc +-==<，A 是钝角，与A 是锐角不符.∴3b =+.法二：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin 3sin sin 424a C A B ===.∵A 是锐角，∴cos 4A =，∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+34==.∴sin 3sin c Bb C== 19.（1）证明：连接DE ，∵在矩形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 中点，∴DF BE =，DF BE P ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE BF P . ∵G 是PA 的中点，∴FG PD P .∵,PD DE ⊄平面BFG ，,FG BF ⊂平面BFG ， ∴PD P 平面BFG ，DE P 平面BFG . ∵PD DE D =I ，∴平面PDE P 平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ，∴PE P 平面BFG .（2）解：法一：∵PD ⊥平面ABCD ，FG PD P ，∴FG ⊥平面ABCD . 过C 在平面ABCD 内，作CM BF ⊥，垂足为M ，则FG CM ⊥.∵FG BF F =I ，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离. 在矩形ABCD 中，F 是AD 中点，1AD =，2AB =，BCM FBA ∆∆:. ∴CM BCBA FB=.∵FB ==，1BC AD ==，∴CM =，即点C 到平面BFG . 法二：设C 到平面BFG 的距离为d ，在矩形ABCD 中，1122AF AD ==，2AB =，∴2BF ==. ∵PD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，∴PD BF ⊥，∵FG PD P ，∴FG BF ⊥，1122FG PD ==，∴BFG ∆的面积为128BF FG ⨯=. ∵BCF ∆的面积为112BC AB ⨯=，C BFG G BCF V V --=，∴11113832d ⨯=⨯⨯，∴17d =C 到平面BFG的距离为17. 20. 解：（1） 6.9 6.4 6.2 6.53x ++==， 4.6 4.4 3.94.33y ++==.284.083 6.5 4.30.230.88127.013 6.50.26b -⨯⨯==≈-⨯， 4.30.88 6.5 1.42a =-⨯=-，∴所求线性回归方程为0.88 1.42y x =-$.（2）当9.8x =时，0.889.8 1.427.204y =⨯-=$，7.204 6.60.6041-=<， 当 5.6x =时，0.88 5.6 1.42 3.508y =⨯-=$，3.8 3.5080.2921-=<， 所以得到的线性回归方程是可靠的.21. 解：（1）∵圆C 与直线l ：270x y --=相切，圆心为()1,2，∴半径r ==∴圆C 的方程为()()221220x y -+-=.（2）∵MN ==d 是圆心C 到直线m 的距离，∴d 最大时，MN 最小.∵当()2,0A 是弦MN 中点时，d 最大，且max d AC ===∴MN的最小值为=（3）设MN 中点为P ，则CP MN ⊥即CP AB ⊥，∴0CP AB ⋅=uu r uu u r， 且2AM AN AP +=uuu r uuu r uu u r ，∴()()22AM AN AB AP AB AC CP AB +⋅=⋅=+⋅uuu r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu r uu u r 222AC AB CP AB AC AB =⋅+⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r .当m 与x 轴垂直时，m 方程为2x =，代入圆C 方程得2y =MN 中点P 的坐标为()2,2，直线2x =与直线l 的交点B 坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴50,2AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r .∵()1,2AC =-uu u r ，∴5AC AB ⋅=-uuu r uu u r ，∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r ； 当MN 与x 轴不垂直时，设m 方程为()2y k x =-，由()2270y k x x y =-⎧⎪⎨--=⎪⎩，得475,2121k k B k k -⎛⎫- ⎪--⎝⎭， ∴55,2121k AB k k --⎛⎫= ⎪--⎝⎭uu u r ， ∴()551,2,2121k AC AB k k --⎛⎫⋅=-⋅ ⎪--⎝⎭uuu r uu u r ()5125105212121k k k k k -=-==----， ∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r ， ∴()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r 是定值，定值为-10. 22. 解：（1）当0k ≤时，()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11022f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，与已知不符. 当0k >且0x >时，()2f x k ≥，当且仅当x =. ()f x在(是减函数，在)+∞上是增函数.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，20f k =-=，1k =，此时()12f x x x =+-，()11222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭符合题意.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()122f =或()20f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得43k =而1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，不合题意. ∴1k =.（2）()22x x f m ≥⋅可化为12222x x x m +-≥⋅， ∴2212111222x x x m ⎛⎫⎛⎫≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵x R ∈，∴()10,2x∈+∞，∴0x =，112x =时，2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最小值0. ∴0m ≤即m 的取值范围是(],0-∞.（3）由题意知210x -≠，0x ≠， 令21x u -=，则()0,u ∈+∞，函数()g x 有3个零点，化为()232210u t u t -+++=有两个不等的实数解，且两解1u ，2u 满足101u <<，21u ≥， 设()()23221h u u t u t =-+++，则()()021010h t h t =+>⎧⎪⎨=-<⎪⎩或()()001032012h h t ⎧⎪>⎪=⎨⎪+⎪<<⎩， ∴0t >即t 的取值范围是()0,+∞.。

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题一、单选题1．若集合{}2,1,0,1A =--，{}220B x x x =+<，则AB =（ ）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-2．若{} n a 是公比为e 的正项等比数列，则{}31ln n a -是（ ） A ．公比为3e 的等比数列 B ．公比为3的等比数列 C ．公差为3e 的等差数列 D ．公差为3的等差数列二、未知3．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker ，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i 为虚数单位，复数(2)43z i i -=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i -D ．12i +40y ±=，且与椭圆2228x y +=有共同焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．222213y x -=B ．2213y x -=C ．2214y x -=D ．2219y x -=5．(6,13)A 和(12,11)B 是平面上圆C 上两点，过A ，B 两点作圆C 的切线交于x 轴上同一点，则圆C 的面积为（ ） A ．838πB ．212πC ．858πD ．434π6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1PA =．过BD 作与侧棱PC 垂直的平面BDE ，交PC 于点E ．则CE 的长为（ ）A ．3B C ．2D ．37．已知正实数a ，b ，满足a b >，则（ ） A ．ln(1)0a b -+< B ．3a b a b π--<C ．11a b a b+>+ D ．11a b a b->- 8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（ ）A ．12B ．23C ．9πD ．99．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里||,||x y ππ<<，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．sin()0x y ->B ．sin()0x y -<C ．cos()0x y ->D ．cos()0x y -< 10．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果*n ∀∈N 都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足*9,2n nb S n +=∈N ，数列{}nc 满足12,n n n n c b b b n *++=∈N ．设n T 为{}n c 的前n 项和，则当n T 取得最大值时，n 的值等于（ ） A ．17B ．18C ．19D ．2012．已知直线(1)(0)y a x a =->与曲线()cos ((,))f x x x ππ=∈-相切于点A 、与曲线的另一交点为B ，若A 、B 两点对应的横坐标分别为1212,()x x x x <，则()111tan x x -=（ ） A ．1- B ．2C ．1D ．2-13．已知角6πα+的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________．14．若21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含4x 项的系数为________．（用数字作答）．15．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．16．已知(,0)(0),(1,0)a x x b =>=||||||a b a a +-=，则a =___________．17．已知三角形ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos 2A Cb A +=． （1）求角B ； （2）若4A π=，角B 的平分线交AC 于点D ，2CD =，求BCD S △．18．8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为ξ，求ξ的分布列与期望．参考数据：51566ii y==∑，511750i i i x y ==∑．参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====--⋅-⋅===---∑∑∑∑．19．已知函数1()()x f x x m e m x -⎛⎫=-+⋅∈⎪⎝⎭R ． （1）求证：当0m =时，函数()f x 在(,0)-∞内单调递减；（2）若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围．20．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点P 为y 轴左侧一点，A ，B 为抛物线C 上两点，当直线AB 过抛物线C 焦点F 且垂直于x 轴时，AOB 面积为2． （1）求抛物线C 标准方程；（2）若直线,PA PB 为抛物线C 的两条切线，设PAB △的外心为M （点M 不与焦点F 重合），求sin PFM ∠的所有可能取值．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=．（1）求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程； （2）点P 极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 的交点为A ，B 两点A ，B 中点为Q 求线段PQ 的长．22．已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y +≥；（21+．三、解答题23．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，,//AD CD AB CD ⊥,122AB AD CD ===，点M 是线段EC 的中点.（1）求证：//BM 面ADEF ；（2）求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值.。

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ） A ．()1,1- B ．(]0,1 C ．1,0 D ．1,02．已知命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数 B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数 C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数 D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．x =B ．2x =-C ．y =D ．2y =- 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A ．10B ．2CD 5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ）A ．72里B ．60里C ．48里D ．36里7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A ．)41B ．)41C ．12D ．410．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310 D11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．1010B ．-2020C ．2020D ．404012．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．,0B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0二、填空题 13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________15．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a a b b b ++++是正整数，则实数q =____________. 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+. 19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.参考答案1．D【分析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．D【分析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数， p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．B【分析】 根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为b ，进而得到抛物线的方程求解.【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为所以22262a b ⎛+== ⎝⎭，解得a b ==所以 2y =，所以抛物线的准线方程是x =， 故选：B.【点睛】 本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D【分析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解.【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．B【分析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式．【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B.【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．A【分析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解.【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =， 23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以此人第3天和第4天共走了72里.故选：A.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】根据程序流程图输出结果补全条件即可.【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =，当3a =时，执行224b ==，4a =，当4a =时，执行4216b ==，5a =，∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤.故选：B【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题.8．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．D【分析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．D 【分析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =所以cosEAB ∠==.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题. 11．C 【分析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称． 12．D 【分析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间. 【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13【分析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故12z i =+=，【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题. 14【解析】由约束条件240{2030x y x y y +-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x =-+的最短距离为()2,0A 到直线220x y +-=的距离，等于.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．12【分析】由已知等差、等比数列以及1a d =，21b d =，222123123a a a m b b b ++=++是正整数，可得2141q q m++=，结合11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，即可求m 的值，进而求q . 【详解】由1a d =，21b d =，令()()223222111123221231112141a a d a d a a a m b b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m 为正整数，有2141q q m ++=，又11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， ∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 【分析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论.【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.17．（1）3B π=；（2）4. 【分析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 2223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯⋅=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 2cos 222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题. 18．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C ,∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得12AC =,1AD =,1BD A D DC ====BC ∴()0,0,0D ,()1,0,0A,(B ,()11,0,0C -,()C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,(AB =-,(0,BC =,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得0x ⎧-=⎪=,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =, ∵5cos 5m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C .【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．（1）23.1；（2）35.【分析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x xx +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【分析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =可得出椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l的距离为d =根据三角形面积公式，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC 的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得y ==，即2AM =，所以322S PM AM =⋅=⋅=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。

安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 22.已知集合，，则A. B.C. D.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 325.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -86.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B. C. D.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．14.已知，且，则__________．15.记为数列的前项和，，记，则__________．16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得，有，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 32【答案】B【解析】【分析】数列为等差数列，由，可得，进而又由，代入即可求解.【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把转化为、求解即可.【详解】因为，，，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.6.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,因此点到点的路径中，最短路径的长度为.故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得，得出函数的解析式，由此可求解函数图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为，又由函数的图像关于轴对称，则，即，解得，当时，，此时函数，令，当时，，所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象，设，且，由，得，进而得，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，又由存在实数，，，且，设，且，则，即，解得，所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意点到直线的距离，可求得圆的方程，又由存在这样的点，当与圆相切时，转化为，由此列出不等式，求得，即可求解.【详解】由题意点到直线的距离为，可得圆的方程为.若存在这样的点，当与圆相切时，即可，可得，得，则.解得：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可.【详解】作出可行域如图：作出直线：，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，如图平移过点时，.故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.14.已知，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得，进而，代入即可求解.【详解】由题意有，得，由，，有，得，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.记为数列的前项和，，记，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据数列的通项和的关系，求得，再由等比数列的定义，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得通项公式为，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意有，得，当时有，两式做差得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式为，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义和前项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意，可得知是周期为2的偶函数，利用与的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，可得，所以是周期为的周期函数，又由，则函数的图象关于对称，由当时，，要使得与直线有5个交点，即与直线的图象由5个交点，作出函数与直线的图象，如图所示，则当时，，解得，当当时，，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数与直线的交点，转化为与直线的图象的交点，分别作出函数与直线的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得，得到，即可求解的值；（Ⅱ）由的面积为，求得，再由余弦定理，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有，有，得，由，得，有，由，得.（Ⅱ）的面积为.又，，∴.由余弦定理得：.∴.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC 1B 1，故AB⊥BC 1，又CB∩AB=B，所以C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量的所有可能取值为，的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴.（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0，∴.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，将点代入椭圆的方程得：，解得：故椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：联立方程，消去得：，，.有直线的斜率为：.同理直线的斜率为：.由.由上得直线与的斜率互为相反数，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值. （Ⅱ）当，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，得函数的减区间为，增区间为，求得函数的最小值，没有零点；当时，函数仅有一个零点为；当时，得函数的增区间为，减区间为，求得，由此时函数有两个零点，即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）当时，，令可得.故函数的增区间为，减区间为故当时，函数的最小值为.（Ⅱ）由∵，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，则，，有，故函数的减区间为，增区间为，有当时，，又函数单调递减，（1）当时，，此时，函数没有零点；（2）当时，函数仅有一个零点为；（3）当时，有，由，有令，有，故函数的增区间为，减区间为，由，可得不等式（当且仅当时取等号）成立故有当时，，则此时函数有两个零点.由上知时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时函数没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ），.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C和直线的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线所过定点的坐标为，曲线上任一点到P的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可. 【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为：联立，解得：或，曲线与的交点为与.（Ⅱ）当时，，，则直线过定点的坐标为，故曲线上任一点到点的距离为：由，故，【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得.∴不等式的解集为.（Ⅱ）根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴.当且仅当，即时，取“=”.∴的最小值为1.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。

“皖南八校”2020届高三第二次联考理科综合2019．12 本卷命题范围：生物：必修①+必修②+选修①/③。

化学：必修1，必修2，选修4第一章～第三章，选修3和选修5(二选一)。

物理：必修①②，选修3-1，选修3-5，选考内容。

可能用到的相对原子质量：H-1 B-11 C-12 O-16 Na-23 P-31 S-32一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2019年诺贝尔生理学或医学奖揭晓：三名获奖科学家发现了“细胞如何感知和适应不断变化的氧气供应”，并确认了“能够调节基因活性以适应不同氧气水平的分子机制”。

红细胞的主要工作就是输送氧气，关于人体红细胞的叙述错误的是A．血浆中氧气浓度的变化会影响红细胞运输氧气的速率B．缺铁会导致人体细胞无法合成血红蛋白而影响氧气运输C．吞噬细胞清除衰老红细胞的过程与细胞间的信息交流有关D．成熟红细胞只进行无氧呼吸，可在细胞质基质中产生NADPH2．图甲表示某动物卵原细胞中的一对同源染色体，图乙表示该卵原细胞形成的卵细胞中的一条染色体。

若只考虑图中字母所表示的基因，下列分析正确的是A．该卵原细胞形成的第一极体的基因型为aeDB．甲中基因E与e的分离可发生在有丝分裂后期C．形成乙的次级卵母细胞中不存在同源染色体，但可能存在等位基因D．甲形成乙的过程中发生了基因重组和染色体结构变异3．下列关于生物学实验的叙述，正确的是①在“脂肪的鉴定”实验中，体积分数为50%的酒精溶液的作用是溶解组织中的脂肪②在“观察紫色洋葱鳞片叶细胞质壁分离与复原”实验中，原生质层的形态和位置变化为因变量，该实验不存在对照③在“用过氧化氢酶探究pH对酶活性的影响”实验中，过氧化氢分解速率最快的实验组的pH就是过氧化氢酶的最适pH④小鼠吸人18O2，则在其尿液中可检测到H218O，呼出的CO2也可能含有18O⑤在“光合色素的提取和分离”实验中，若层析分离结果显示某相邻两条色素带间距很小，说明此二者在层析液中的溶解度差异小A．①③B．④⑤C．②④D．③④4．某种小鼠(XY型)的体色有黑色、黄色和白色，让黄色雌鼠与白色雄鼠杂交，获得F1，F1中雄鼠都表现为黄色，雌鼠都表现为黑色。