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精品 4.2 三角形
[过关演练] (30分钟 75分)
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C= (C)
A.45° B.60° C.75° D.90°
【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∴3x+4x+5x=180°,即12x=180°,解得x=15°,∴∠C=5x=75°.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 (A)
A.5,6,10 B.5,6,11
C.2,4,8 D.4a,4a,8a(a>0)
【解析】A项,∵10-5<6<10+5,∴三条线段能组成三角形,故正确;B项,∵5+6=11,∴三条线段不能组成三角形;C项,∵2+4=6<8,∴三条线段不能组成三角形;D项,∵4a+4a=8a,∴三条线段不能组成三角形.
3.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是 (B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】设三角形三个内角分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°,则3x=90°,所以该三角形是直角三角形.
4.如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是 (D)
A.AB=DC,AC=DB
B.AB=DC,∠ABC=∠DCB
C.BO=CO,∠A=∠D
D.AB=DC,∠A=∠D
【解析】对于A项,由题中隐含BC=CB,利用SSS可判定其全等;对于B项,由题中隐含BC=CB,利用SAS可判定其全等;对于C项,由题中隐含BC=CB,利用AAS可判定其全等;对于D项,根据已知条件不能证明其全等.
5.(xx·长春)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为(C)
A.44° B.40° C.39° D.38°
【解析】∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°,∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCB=×78°=39°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°..
第2节 三角形及其性质
(必考，1～2道，近3年每年考查1道，4～19分)
玩转重庆10年中考真题(2008～年)
命题点 直角三角形的相关证明及计算(10年13考，多在解答题中涉及考查)
1. (2013重庆B卷9题4分)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为( )
A. 2 B. 23 C. 33＋1 D.
3＋1
第1题图
2. (2009重庆10题4分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D.
③④⑤
第2题图
3. (2012重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
第3题图
答案
1. D 【解析】∵CD⊥AB，∴△ADC与△CDB都是直角三角形．又∵∠A＝45°，∠B＝30°，CD＝1，∴AD＝1，CB＝2CD＝2，∴DB＝BC2－CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝1＋3.
2. B 【解析】如解图，连接CF，由SAS定理可证△CFE≌△AFD，∴∠CFE＝∠AFD，从而可证∠DFE＝90°，DF＝EF.∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；当EF⊥CB，DF⊥AC时，易得四边形CDFE为正方形，故②错误；∵△DEF是等腰直角三角形，DE＝2DF，当DF与AC垂直时，DF最小为4，DE取最小值为42，故③错误；再由△CDF≌△BEF可知S四边形CDFE＝S△CDF＋S△CEF＝S△BEF＋S△CEF＝S△CFB＝12S△ABC，保持不变，故④正确；△CDE的最大面积等于四边形CDFE的面积减去△DEF的最小面积，由③可知S△DEF最小＝12×4×4＝8，又由④可得S四边形CDFE＝S△CFB＝16，故⑤正确．综上可得正确的结论为①④⑤.
1 第四节 等腰三角形
课标呈现 指引方向
1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
3．探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
4．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
考点梳理 夯实基础
1．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两底角，简称为“等边对”
（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线；
（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是．
2．等腰三角形的判定
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对”．
3．等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都，且都等于．
（2）等边三角形的每条边上都有；
（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条．
4．等边三角形的判定
（1）相等的三角形是等边三角形；
（2）有两个角是的三角形是等边三角形；
（3）有一个角为的等腰三角形是等边三角形．
5．角平分线的性质和判定
（1）性质：角平分线上的点到角两边的．
（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的．
6．线段的垂直平分线的性质和判定定理
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离．
（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
考点精析 专项突破
考点一 等腰三角形的性质和判定
【例1】（1）（2016泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（ ）
— 1 — 2021年中考数学总复习第四章《三角形》
第二节 三角形及其性质
1. (2019信阳模拟)如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是( )
第1题图
A. 13米 B. 12米 C. 5米 D.
119米
2.
(2019甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ .
海伦—秦九韶公式
3. (2019宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝a＋b＋c2，那么三角形的面积为S＝p（p－a）（p－b）（p－c）.如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为( )
第3题图
A. 66 B. 63 C. 18 D. 192
参考答案 数学核心素养提升
数学文化专练
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1. A 【解析】如解图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，AB＝13，CD＝8，∵BE＝CD，DE＝BC，∴AE＝AB－BE＝AB－CD＝13－8＝5，∵在Rt△ADE中，DE＝BC＝12，∴AD2＝AE2＋DE2＝52＋122＝169，∴AD＝13(负值舍去)，∴小鸟飞行的最短路程为13米．
第1题解图
2. 85或14 【解析】当∠A为顶角时，则底角∠B＝∠C＝12(180°－∠A)＝50°，此时的特征值k＝80°50°＝85；当∠A为底角时，则顶角＝180°－2∠A＝20°，此时的特征值k＝20°80°＝14.综上所述，k为85或14.
