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高等数学上册教案不定积分的概念和性质

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第4章不定积分

不定积分的概念和性质

【教学目的】：

1. 理解原函数的概念；

2. 理解不定积分的定义，及几何意义；

3. 掌握不定积分的基本公式和性质；

4. 会用直接积分法计算不定积分。

【教学重点】：

1. 原函数的概念；

2. 不定积分的概念及几何意义；

3. 不定积分的基本公式和性质。

【教学难点】：

1. 基本积分公式；

2. 用直接积分法计算不定积分。

【教学时数】：2学时

【教学过程】：

定义1如果在区间I上，可导函数)(xF的导数为)(xf，即)()('xfxF或dxxfxdF)()(（Ix），那么函数)(xF就称为)(xf(或dxxf)()在区间I上的原函数．

如果)(xf有一个原函数，那么)(xf就有无穷多个原函数．

设)(x是)(xf的另一个原函数，则任意的Ix，有)()(xfx．于是

0)()()()()()(xfxfxFxxFx所以0)()(CxFx(0C为某个常数)这表明)(x与)(xF只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式CxF)(就可以表示)(xf的全体原函数，也就是说，)(xf的全体原函数所组成的集合，即函数族RCCxF|)(．

定义2如果)(xF是)(xf在某区间上的一个原函数，那么CxF)(（C为任意常数）称为)(xf在该区间上的不定积分．即dxxf)(=CxF)(．其中符号称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量．

由上面的讨论可知，若)(xF是)(xf的一个原函数，那么dxxf)(=CxF)(（C为任意常数）．因此，求函数)(xf的不定积分，只需求出被积函数)(xf的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．

从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算： 由于dxxf)(是)(xf的原函数，所以)(])(['xfdxxf或dxxfdxxfd)()(．

又由于)(xF是)('xF的原函数，所以CxFxdFCxFdxxF)()()()('或．

由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的，记号与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．

例3求dxx1．

解当0x时，由于xx1)(ln'，所以xln是x1在),0(内的一个原函数，因此在),0(内，有Cxdxxln1．

当0x时，由于xxx1)1(1)][ln('，所以)ln(x是x1在)0,(内的一个原函数，因此在)0,(内Cxdxx)ln(1．

把以上结果综合起来，得Cxdxx||ln1．

因为不定积分dxxf)(=CxF)(是)(xf的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．

积分曲线族CxF)(有如下特点：

（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线)(xFy沿y轴方向上、下平移得到；

（2）由于)()(])([xfxFCxF，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．

4.1.3基本积分公式表

（1）kdxkxC（k为常数）； （2）Cxdxx111；

（3）Cxdxx||ln1；（4）Caadxaxxln1，Cedxexx；

（5）Cxxdxsincos； （6）Cxxdxcossin；

（7）Cxxdxdxxtanseccos122；（8）Cxxdxdxxcotcscsin122；

（9）Cxdxxarcsin112；（10）Cxdxxarctan112；

（11）csccotcscxxdxxC；（12）Cxxdxxsectansec． 4.1.4不定积分的性质

性质1设函数)()(xgxf及的原函数存在，则

dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([．

性质2设函数)(xf的原函数存在，k为非零常数，则dxxfkdxxkf)()(．

例6求dxeexxx)3(33．

解dxedxedxdxxdxeexxxxx33333)3(

Cxeexxx3433ln141．

注意到被积函数中3x是幂函数，x3和xe是指数函数，而3e是常数，它们的积分公式是不同的．

【教学小节】：

通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。

【课后作业】：

无

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不定积分的性质

不定积分的性质

不定积分的性质

不定积分是指在一定的定义域范围内，求解定义域内函数与常量之和的运算，称为不定积分。其形式为∫abf(x)dx，其中f(x)是定义域[a,b]内定义的一个连续函数，则称为不定积分。

（一）不定积分的定义域在完成时会发生变化：

求不定积分就是求解一段区间上的函数加上一个常量的和。也就是说，每次求不定积分的时候，函数的定义域会发生变化，从而使积分的值也会随着变化。

不定积分的定义域会发生变化，由此引起积分限也会产生变化，比如，积分限变成以上，由此带来的积分值也会有所变化。

（三）不定积分的积分式有泰勒级数的性质：

由定义可知不定积分的求解结果具有和某个函数的泰勒展开式相似的性质，由此可知不定积分的求解过程可以当成是求某一函数泰勒级数展开式的过程。

（四）不定积分存在正则函数：

正则函数是指在可分离的每一个区间上，它的积分值都是不变的。而不定积分也可以表示为一个正则函数，即一分可分离的每一个区间上，其积分值都是不变的。

（五）不定积分有极限值：

不定积分的极限值是指在某一定域内的无穷大函数的最大值，这有助于我们在求解不定积分的时候能够给出一个合理的结果。

不定积分可以通过变换来改变积分式，这有助于我们求出一些不容易求出的积分值，比如要求b>a时的积分值，可以通过将变量x变成−x的形式来改变积分式，从而求出结果。

总之，不定积分具有定义域、积分限、正则函数及极限值、变换性等特性，是很重要的一类积分的概念。

不定积分-教案

不定积分-教案

1 高等数学教学教案

第4章 不定积分

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第4章 第1节 不定积分的概念与性质 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 原函数与不定积分的概念，直接积分法 教学难点 直接积分法

参考教材 作业布置 课后习题

大纲要求 1．理解原函数与不定积分的概念，了解原函数存在定理.

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质.

教 学 基 本 内 容

4.1.1原函数与不定积分的概念

1.原函数的定义

定义4.1设函数()Fx与()fx在区间I上有定义，并且在该区间内的任一点都有()()Fxfx或d()()dFxfxx,那么函数)(xF就称为函数)(xf在区间I上的一个原函数．

定理4.1（原函数存在定理）若函数()fx在区间I上连续，则在该区间上一定存在可导函数()Fx ，使得对任意xI 都有()()Fxfx．即区间上的连续函数一定有原函数．

注 （1）若)(xF是)(xf在区间I上的一个原函数，即)('xF=)(xf，则CxF)(也是)(xf在区间I上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.

（2）()fx的任意两个原函数只相差一个常数.设函数()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，那么()fx在区间I上的任意一个原函数可以表示为()FxC，其中C是任意常数．

2.不定积分的定义

定义4.2 在区间I上，函数()fx的全体原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记 2 作()dfxx.其中称为积分号，()fx称为被积函数，()dfxx称为被积表达式，x称为积分变量．

4.1.2不定积分的几何意义

不定积分()dfxx的几何意义就是，其表示了()fx的一族积分曲线()yFxC.这族积分曲线可由积分曲线()yFx向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.

不定积分的概念与性质及基本积分公式

不定积分的概念与性质及基本积分公式

不定积分的概念与性质及基本积分公式

不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。

一、不定积分的概念：

不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。

二、不定积分的性质：

1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。

2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。

3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x)

+ C，其中C为任意常数。

三、基本积分公式：

1.幂函数积分公式：

a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1

b. ∫1/x dx = ln，x， + C。

c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。

d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。

e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。 2.指数函数与对数函数积分公式：

a. ∫e^x dx = e^x + C。

b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1

c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1

d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。

3.三角函数积分公式：

a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。

c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。

d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。

第一节 不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质

高等数学教案 不定积分的概念与性质

1 第一节 不定积分的概念与性质

一．原函数与不定积分的概念

1.原函数的概念

引例 设xxfcos)(,求)(xf.

解 因为xxcos)(sin,所以cxxfsin)(.

此时称xsin为xcos的一个原函数.

定义 如果在区间I上,可导函数)(xF的导函数为)(xf,即Ix,有

)()(xfxF (或dxxfxdF)()()

则称)(xF为)(xf(或))(dxxf在区间I上的一个原函数.

如xarctan是211x的原函数;211x是)1ln(2xx的原函数.

什么样的函数具有原函数呢?有

定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即

如果函数)(xf在区间I上连续,则在区间I上存在可导函数)(xF,使得对Ix,有

)()(xfxF

即)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数.

其证明见289P.

注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(xF为)(xf在区间I上的原函数,则CxF)(也是)(xf的原函数,即)(xf若有原函数,则)(xf有无限多个原函数.

(2)设)(xF和)(x都是)(xf在区间I上的原函数,则)(xF=Cx)(.事实上

0)()()()(])()([xfxfxxFxxF

所以)(xFCx)(,即)(xF=Cx)(.

2.不定积分的概念

定义 在区间I上, )(xf的原函数的全体,称为)(xf(或))(dxxf在区间I上的不定积分,记作

dxxf)(.

其中:‘’——积分符号; )(xf——被积函数;dxxf)(—被积表达式;x——积分变量. 高等数学教案 不定积分的概念与性质