1.5.3定积分的概念
教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分；
理解掌握定积分的几何意义；
重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、
定积分的几何意义
难点 定积分的概念、定积分的几何意义
复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<
<<<
<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x n
-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：
1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数
S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：
()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为()b
a f x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；
③求和：1
()n
i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b
a S f x dx =⎰；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰；
变力做功 ()b
a W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义
如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有()0f x ≥，那么定积分
()b
a
f x dx ⎰
表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的
曲边梯形的面积。 例1．计算定积分2
1(1)x dx +⎰
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5
2
。 即：2
15(1)2
x dx +=⎰ 思考：若改为计算定积分
2
2
(1)x dx -+⎰
呢？
改变了积分上、下限，被积函数在
[2,2]-上出现了负值如何解决呢？
（后面解决的问题） 练习 计算下列定积分
1．5
0(24)x dx -⎰ 解：5
0(24)945x dx -=-=⎰ 2．11x dx -⎰
解：11111111122
x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰
例2．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：2
01y x x y x
⎧=⎪==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积
S=1
20
0x dx =-⎰⎰
，所以⎰1
20S =x )dx 32
1
3023
3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13 在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；
2.求交点；
3.用定积分表示所求的面积；
4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.
课堂小结：
定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 课后反思：
定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误
