高中数学北师大版选修2-3学案：1.3.1 组合与组合数公式 Word版含解析

§3 组合

第1课时 组合与组合数公式

1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)

2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点)

3．会解决一些简单的组合问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 组合的概念

阅读教材P12～P13“练习1”以上部分，完成下列问题．

一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

【答案】 为一组

下面几个问题中属于组合问题的是( )

①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．

A．①③ B．②④

C．①② D．①②④

【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关． 【答案】 C

教材整理2 组合数的概念、公式、性质

阅读教材P13“练习1”以下至P16部分，完成下列问题．

组合数

定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数

表示法

________

组合数

公式 乘积式

Cmn＝________＝________

阶乘式 Cmn＝________

性质 Cmn＝________，Cmn＋1＝________

备注 ①n，m∈N＋且m≤n；②规定：C0n＝1

【答案】 所有组合 Cmn AmnAmm

nn－1n－2„n－m＋1m！ n！m！n－m！ Cn－mn

Cmn＋Cm－1n

1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．

【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.

【答案】 3

2．C26＝________，C1718＝________.

【解析】 C26＝6×52＝15，

C1718＝C118＝18.

【答案】 15 18

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑： 疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

组合的概念

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？

(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？

(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？

【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．

【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．

(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．

(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．

(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．

1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．

2．区分有无顺序的方法

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

[再练一题]

1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．

【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：

由此可得所有的组合为

ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

组合数公式的应用

(1)式子nn＋1n＋2„n＋100100！可表示为( )

A．A100n＋100 B．C100n＋100

C．101C100n＋100 D．101C101n＋100

(2)求值：C5－nn＋C9－nn＋1.

【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．

【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，

故nn＋1n＋2„n＋100100！

＝101·nn＋1n＋2„n＋100101！

＝101C101n＋100.

【答案】 D

(2)由组合数定义知：

 0≤5－n≤n，0≤9－n≤n＋1，

所以4≤n≤5，又因为n∈N＋，

所以n＝4或5. 当n＝4时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C14＋C55＝5；

当n＝5时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C05＋C46＝16.

关于组合数计算公式的选取

1．涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2„n－m＋1m！计算．

2．涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算．

3．计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．

[再练一题]

2．求等式C5n－1＋C3n－3C3n－3＝195中的n值．

【解】 原方程可变形为C5n－1C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，

即n－1n－2n－3n－4n－55！

＝145·n－3n－4n－53！，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．

[探究共研型]

组合的性质

探究1 试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？

【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．

法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．

经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cmn＝Cn－mn.

探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？

【提示】 共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．

探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？

【提示】 若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．

由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C610＝C59＋C69.

一般地：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.

(1)计算C34＋C35＋C36＋„＋C32 016的值为( )

A．C42 017 B．C52 017

C．C42 017－1 D．C52 017－1

(2)解方程3Cx－7x－3＝5A2x－4；

(3)解不等式C4n＞C6n.

【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．

【自主解答】 (1)C34＋C35＋C36＋„＋C32 016

＝C44＋C34＋C35＋„＋C32 016－C44

＝C45＋C35＋„＋C32 016－1＝„

＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1.

【答案】 C

(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为

3·x－3！x－7！4！＝5·x－4！x－6！，

则3x－34！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.

∴x2－9x－22＝0，

解得x＝11或x＝－2. 经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．

∴方程的根为x＝11.

(3)由C4n＞C6n，得

 n！4！n－4！＞n！6！n－6！，n≥6⇒ n2－9n－10＜0，n≥6，

⇒ －1＜n＜10，n≥6.又n∈N＋，

∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

1．性质“Cmn＝Cn－mn”的意义及作用

2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意．

[再练一题]

3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；

(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．

【解析】 (1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.

【答案】 0

(2)根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，

变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，

由组合数的性质，可得 C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，

解得n＝14.

[构建·体系]

1．下列四个问题属于组合问题的是( )

A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作

B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数

C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式

D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员

【解析】 A，B，D项均为排列问题，只有C项是组合问题．

【答案】 C

2．若A3n＝12C2n，则n等于( )

A．8 B．5或6

C．3或4 D．4

【解析】 A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝12n(n－1)，

所以n(n－1)(n－2)＝12×12n(n－1)．

由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.

【答案】 A

3．C58＋C68的值为________. 【导学号：62690012】

【解析】 C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.